基于梁變形微分方程與奇異函數(shù)的軸系校中計(jì)算研究

王建午，樓京俊，李欣一，楊慶超

(海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

軸系校中是船舶推進(jìn)軸系安裝或檢修過程中的重要環(huán)節(jié)，軸系的校中狀態(tài)關(guān)乎軸系工作的安全性、可靠性與穩(wěn)定性，校中不良會引起軸承不均勻磨損、減速齒輪嚙合不良、軸系振動等問題[1]。軸系校中計(jì)算須綜合考慮軸系的各性能指標(biāo)，如軸承負(fù)荷、軸段內(nèi)應(yīng)力、軸系截面轉(zhuǎn)角等，通過對這些性能參數(shù)進(jìn)行計(jì)算分析從而得出最佳的軸系校中方案。目前，關(guān)于軸系校中計(jì)算方法的研究較多，主要有三彎矩法、傳遞矩陣法及有限元法，周瑞平[2]，李冬梅[3]，楊勇等[4]采用三彎矩法對軸系校中進(jìn)行了分析；張輝等[5]將傳遞矩陣法與智能微群優(yōu)化算法相互結(jié)合，并運(yùn)用于軸系校中計(jì)算；尤國英等[6]用ALGOR FEAS軟件對某試驗(yàn)船舶軸系進(jìn)行了有限元校中計(jì)算。研究表明，三彎矩法對理論基礎(chǔ)的要求高且計(jì)算過程較為復(fù)雜，傳遞矩陣法的計(jì)算精度與通用性略差，有限元法程序?qū)崿F(xiàn)比較困難、對計(jì)算人員素質(zhì)要求較高，故以上幾種方法都存在一定的局限性[7]。

本文基于梁變形微分方程與奇異函數(shù)，針對某型船舶推進(jìn)系統(tǒng)傳動軸系校中，推導(dǎo)出了一種更為簡潔易懂的軸系校中計(jì)算方法，并在直線校中、負(fù)荷校中2種不同軸系校中方案下，對實(shí)船軸系各狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算分析。結(jié)果表明，該方法能滿足船舶推進(jìn)軸系校中的計(jì)算精度要求，且可以更為快速準(zhǔn)確地表述出軸系的校中狀態(tài)。

1 校中計(jì)算方法研究

1.1 梁變形微分方程

在橫向外力或軸線平面內(nèi)外力偶的作用下，軸系會發(fā)生彎曲變形，其軸線將變?yōu)閾锨€，由高等代數(shù)知識可知，撓曲線上任一點(diǎn)的曲率方程為：

式中：ρ為曲率；w為撓曲度；x為軸線橫坐標(biāo)。當(dāng)軸系變形量較小時(shí)，軸系截面轉(zhuǎn)角很小，此時(shí)有：

又在材料力學(xué)中，軸系剪力Q、彎矩M、載荷集度q有如下微分關(guān)系[8]：

由以上各式可知，只要將軸系承受的復(fù)雜外力以載荷集度函數(shù)的形式給出，并按次序進(jìn)行積分運(yùn)算，就可以求得軸系上各軸向位置的剪力、彎矩、截面轉(zhuǎn)角、撓曲度等狀態(tài)參數(shù)。

1.2 奇異函數(shù)

奇異函數(shù)是指函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的一類函數(shù)，又稱麥考利函數(shù)或脈沖函數(shù)，其基本表達(dá)式如下[9]：

式中：< >常稱麥考利括號，當(dāng)各變量取不同值時(shí)，奇異函數(shù)有不同的形式，具體定義如下：

由于奇異函數(shù)特有的形式與定義，其在進(jìn)行微、積分運(yùn)算時(shí)可避免積分常數(shù)的求解，這就大大簡化了計(jì)算的工作量，為快速求解軸系各狀態(tài)方程提供了可能。奇異函數(shù)具體的微、積分形式歸納如下：

奇異函數(shù)的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是其對不連續(xù)性的表達(dá)，只要將軸向各位置的載荷集度函數(shù)相互疊加就能把軸系上承受的復(fù)雜外力以一個(gè)方程式的形式給出，這就避免了對軸系狀態(tài)方程進(jìn)行分段積分，進(jìn)一步提高了運(yùn)算速度與準(zhǔn)確度，且有利于計(jì)算機(jī)的編程。

1.3 軸系校中計(jì)算方法的推導(dǎo)

為使軸系校中計(jì)算方法更具通用性，取某一受典型載荷的軸段進(jìn)行分析，簡化后的軸段模型載荷分布如圖1所示。以螺旋槳末端為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系X0Y，取船首方向?yàn)閄軸正方向，過原點(diǎn)垂直X軸向上為Y軸正方向。qi為軸系所受均布載荷；Fh為軸系所受集中載荷；Rk為軸承支反力；Mj為軸系所受外力矩；ai，bi分別為均布載荷作用起點(diǎn)與作用終點(diǎn)在X軸上坐標(biāo)；ah為集中載荷作用點(diǎn)在X軸上的坐標(biāo)；ak為軸承支反力作用點(diǎn)在X軸上的坐標(biāo)；aj為外力矩作用點(diǎn)在X軸上的坐標(biāo)。

圖1 簡化軸段載荷分布圖Fig. 1 Load distribution of simplified shafting

基于梁變形微分方程與奇異函數(shù)的軸系校中計(jì)算模型構(gòu)建的關(guān)鍵是將各典型載荷用奇異函數(shù)的形式表示為軸系載荷集度函數(shù)[10]。

1）將作用于[ai，bi]區(qū)域的均布載荷qi轉(zhuǎn)化為載荷集度函數(shù)為：

2）將作用于ah點(diǎn)的集中載荷轉(zhuǎn)化為載荷集度函數(shù)為：

3）作用在ak處的軸承支反力的載荷集度載荷函數(shù)為：

4）將作用于aj點(diǎn)的外力偶轉(zhuǎn)化為載荷集度函數(shù)為：

綜合式（8）～式（11），并結(jié)合梁彎曲變形疊加原理，可得到軸系的載荷集度函數(shù)表達(dá)式：

對載荷集度函數(shù)依次積分可得到軸系剪力、彎矩、截面轉(zhuǎn)角及撓曲線方程，當(dāng)q（x）中各項(xiàng)均由奇異函數(shù)表達(dá)時(shí)，在求解軸系剪力與彎矩時(shí)為定積分，故可得：

剪力方程

彎矩方程

截面轉(zhuǎn)角方程

撓曲線方程

式中：C，D為可由邊界條件確定的積分常數(shù)。

軸系校中實(shí)質(zhì)是軸承標(biāo)高的改變，采用不同軸系校中方案，各軸承支撐處的軸線撓曲度也不同，已知某特定校中方案下各軸承支點(diǎn)處的軸承標(biāo)高為Y（xi），結(jié)合軸系靜力平衡條件：1）力平衡條件qi(bi?ai))=0；2）力矩平衡條件，即可求得該方案下各軸承載荷 R1······Rl與積分常數(shù) C，D。結(jié)合求出的各變量與已知載荷函數(shù)，可反向推出軸系的狀態(tài)參數(shù)，得到軸系校中結(jié)果。

2 推進(jìn)軸系校中模型

以某型船舶主推進(jìn)軸系為例，依據(jù)軸系簡化基本原則[3]與以上校中計(jì)算方法，構(gòu)建其校中計(jì)算模型。該船舶推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)如圖2所示，軸系總長為20.270 0 m，由首至尾依次為主推進(jìn)裝置、輪胎離合器、中間軸承、經(jīng)航電機(jī)、彈性聯(lián)軸器、推力軸承、尾前軸承、尾中軸承、尾后軸承、螺旋槳。整個(gè)軸系為中空結(jié)構(gòu)，內(nèi)徑為0.120 0 m，尾軸軸段外徑為0.270 0 m，推力軸段與中間軸段外徑均為240.0 mm，螺旋槳質(zhì)量為3 940 kg，推力盤質(zhì)量為686.5 kg，彈性聯(lián)軸器質(zhì)量為426 kg，輪胎離合器質(zhì)量為3 000 kg，軸系材料密度為7 800 kg/m3，彈性模量為2.1E11 N/ m3。

圖2 某船舶推進(jìn)軸系結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 2 The schematic diagram of ship propulsion shafting

2.1 軸系的簡化

在對推進(jìn)軸系開展校中計(jì)算前，需要對軸系各結(jié)構(gòu)要素進(jìn)行合理簡化，如軸段的自重、軸系上作用的載荷、外力及支反力的作用點(diǎn)、推力盤、輪胎離合器等，以確保理論計(jì)算結(jié)果與軸系實(shí)際校中后的狀態(tài)在一定的精度要求范圍內(nèi)相吻合。

對以上主推進(jìn)軸系作簡化如下：

1）軸段自重的簡化

在推進(jìn)系統(tǒng)中，軸段以連續(xù)質(zhì)量的形式作用于各軸承上，因而對模型進(jìn)行處理時(shí)，將其視為均布載荷，由于與軸承接觸處的軸徑比相鄰軸段稍大，將軸徑與同長度相鄰軸段質(zhì)量差簡化為集中載荷，并作用于各軸承上。該軸系尾軸與中間軸、推力軸外徑不一致，故需進(jìn)行分段加載。根據(jù)以上軸系直徑與材料參數(shù)，可求得各軸段質(zhì)量及軸承接觸處軸徑與同長度相鄰軸段質(zhì)量差，采用均布載荷與集中載荷分別將它們加載于軸系如圖3所示。圖中q1為尾軸軸段自重簡化后的均布載荷；q2為推力軸及中間軸自重簡化后的均布載荷；F2，F(xiàn)3，F(xiàn)4分別為尾后軸承，尾中軸承，尾前軸承處軸徑與同長度相鄰軸段質(zhì)量差簡化后的集中載荷。

圖3 某船舶推進(jìn)軸系載荷分布圖Fig. 3 Load distribution of ship propulsion shafting

2）載荷的簡化

作用在軸系上的載荷，如螺旋槳、推力盤、彈性聯(lián)軸器、輪胎離合器等均作為施加在軸上的集中載荷處理（見圖3），圖中F1為螺旋槳質(zhì)量簡化后的集中載荷，F(xiàn)5為推力盤質(zhì)量及船體通過推力盤作用在軸系上的力簡化后的集中載荷，F(xiàn)6為彈性聯(lián)軸器質(zhì)量及經(jīng)航電機(jī)通過彈性聯(lián)軸器作用在軸段上的力簡化后的集中載荷，F(xiàn)7為輪胎離合器質(zhì)量簡化后的集中載荷。

3）軸承支點(diǎn)的簡化

除尾后軸承外，其它各軸承支點(diǎn)位置均取軸承長度中點(diǎn)。對于不同材料的尾軸后軸承，其支點(diǎn)位置的選取方式也不同，常以支點(diǎn)距軸承襯套后端面的距離S取推薦值來確定支點(diǎn)位置（其中B為軸襯長度、D為尾軸后軸承孔直徑）：

在該計(jì)算模型中S取0.3B。簡化結(jié)果見圖3。R1，R2，R3，R4，R5分別為尾后軸承、尾中軸承、尾前軸承、推力軸承、中間軸承載荷及其作用點(diǎn)位置。

4）軸的簡化

校中計(jì)算時(shí)將軸系視為放置在剛性鉸鏈支座上的連續(xù)梁，在建立物理模型時(shí)對軸的有關(guān)部分作如下簡化：

①軸系中每個(gè)軸承都視為梁的一個(gè)實(shí)支座；

②軸系尾端懸伸于尾軸后軸承外，作自由端處理；

③軸系通過輪胎離合器與主機(jī)主軸相連，計(jì)算模型首端取到輪胎離合器從動部分，且作自由端處理；

④階梯軸系各段剛度差小于30%時(shí)，軸系抗彎剛度可視為常數(shù)，故只要在以上軸系模型簡化時(shí)對軸段自重進(jìn)行合理簡化，可將整個(gè)軸系看作等剛度均勻軸。

2.2 校中計(jì)算模型的構(gòu)建

由以上實(shí)船推進(jìn)軸系載荷分布圖，結(jié)合式（8）～式（16）可列出該軸系總的載荷集度、剪力、轉(zhuǎn)矩、截面轉(zhuǎn)角及撓曲線方程。又已知該船舶軸系直線校中及負(fù)荷校中2種校中方案下各軸承標(biāo)高數(shù)據(jù)如表1所示。表中軸系各軸承由尾至首依次編號為1#～5#軸承，其中直線校中時(shí)各軸承標(biāo)高都恒定為0，負(fù)荷校中時(shí)2#與3#軸承標(biāo)高的改變主要是為了使各軸承負(fù)荷在標(biāo)高改變后都處于規(guī)定的范圍內(nèi)，這是經(jīng)反復(fù)校中優(yōu)化計(jì)算后得到的結(jié)果。將這2組數(shù)據(jù)代入軸系撓曲線方程，分別可列出由5個(gè)軸承支點(diǎn)處撓曲線方程綜合所構(gòu)成的線性方程組，結(jié)合軸系固有的2個(gè)靜力平衡條件，可以求得2種校中方案下的各軸承載荷R1～R5與積分常數(shù)C，D。將各軸承載荷回代入軸系剪力、彎矩、截面轉(zhuǎn)角方程，即可得到該船舶軸系任一軸向位置的狀態(tài)參數(shù)。

表1 軸承標(biāo)高表（mm）Tab. 1 Height of bearings (mm)

3 校中計(jì)算結(jié)果

根據(jù)上述某型船舶主推進(jìn)軸系校中模型，對該船軸系直線校中、負(fù)荷校中2種校中方案進(jìn)行校中計(jì)算。其中各軸承載荷計(jì)算結(jié)果如表2所示。由表中可以看出，直線校中狀態(tài)下，該軸系1#軸承載荷較其它軸承載荷明顯偏大，這是由于軸系尾部懸臂安裝著重且大的螺旋槳，同時(shí)這也使得2#軸承的載荷偏小，在軸系運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)存在脫空的可能。負(fù)荷校中狀態(tài)下，1#軸承載荷有所改善，2#軸承的載荷則明顯加大，整個(gè)軸系軸承負(fù)荷分配更為均勻。

表2 校中計(jì)算軸承負(fù)荷結(jié)果對比表Tab. 2 Comparison of bearing load in alignment calculation

在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步計(jì)算了2種不同校中方案下，軸系軸向位置各點(diǎn)的剪力、彎矩、截面轉(zhuǎn)角及撓曲度，計(jì)算結(jié)果如圖4和圖5所示。由圖4可知，2種不同校中方案下，軸系總的剪力與彎矩改變較少，只是在部分軸段有所不同，剪力與彎矩改變量最大位置都位于尾中間軸承附近，最大改變量分別為0.6829×104N與3.1044×104N·m。由圖5可知，校中方案改變對軸系截面轉(zhuǎn)角影響較大，負(fù)荷校中后，軸系的截面轉(zhuǎn)角曲線更陡，截面轉(zhuǎn)角變化率較直線校中時(shí)變大；工程規(guī)范中要求軸系校中后，尾后軸承處軸段截面轉(zhuǎn)角不應(yīng)大于3.5×10–4rad，否則需對后軸承進(jìn)行斜鏜孔處理[11]。在這2種校中方案下，后軸承處的軸段截面轉(zhuǎn)角均大于該數(shù)值，故需對尾后軸承進(jìn)行斜鏜孔。撓度曲線直觀地反映出軸系校中后軸系靜態(tài)條件下軸向位置各處的變形量，2種校中方案下，尾軸軸段都存在不同程度的“中拱”現(xiàn)象，負(fù)荷校中時(shí)，“中拱”的峰值變大且向船首方向移動，整個(gè)軸系的變形比直線校中時(shí)為更明顯。

圖4 軸系剪力與彎矩圖Fig. 4 Shear force and bending moment of shafting

圖5 軸系截面轉(zhuǎn)角與撓曲度圖Fig. 5 Sectional angle deflection of shafting

4 結(jié) 語

以上計(jì)算結(jié)果表明，運(yùn)用本文推導(dǎo)出的計(jì)算方法能快速有效地求解軸系在不同校中方案下的各狀態(tài)參數(shù)。直線校中、負(fù)荷校中2種不同校中方案下，負(fù)荷校中狀態(tài)時(shí)各軸承負(fù)荷分布更為合理；校中方案的改變對軸系所受剪力、彎矩影響相對較小，但各軸段截面轉(zhuǎn)角及軸系撓度有明顯變化，這是由于軸系截面轉(zhuǎn)角與撓度是載荷集度函數(shù)的高次積分。

本文基于梁變形微分方程與奇異函數(shù)推導(dǎo)出的校中計(jì)算方法能較好地適應(yīng)船舶推進(jìn)軸系校中計(jì)算的要求，為實(shí)船軸系校中方案的選取與評估提供了理論參考。