高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“問題鏈”的設(shè)計

李應(yīng)春

摘 要 “問題鏈”是常見的一種問題設(shè)計方式。在教學(xué)中，如果教師總能根據(jù)不同的教材課型、不同的目的要求、不同的學(xué)習(xí)對象巧妙地設(shè)置“問題鏈”，創(chuàng)設(shè)特定的問題情境。能極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣，突出學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體地位，鼓勵學(xué)生獨立思考、大膽質(zhì)疑，不知不覺中既解決了問題，又獲得了知識或方法。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 教學(xué) 問題鏈 設(shè)計

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A

“問題鏈”是常見的一種問題設(shè)計方式。根據(jù)高中數(shù)學(xué)抽象思維要求較高的特征，有時為了解決一個難度較大或靈活性較強的問題，往往需要通過設(shè)置一連串的中間問題進行啟智導(dǎo)學(xué)，這一連串問題就是一個問題鏈。一般在給出問題的大前提后，把問題分成幾問，再對各問層層加深，不斷提高。而各問間既相對獨立，又具有或緊或松的聯(lián)系，往往前一個問題是后一個的基礎(chǔ)和鋪墊，后一個問題是前一個問題的深化和遞進。

問題鏈?zhǔn)墙處熢谔囟ǖ臈l件下，為實現(xiàn)某一特定的教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計的。從形式上看，問題鏈?zhǔn)且粏柦右粏?，一環(huán)套一環(huán);從內(nèi)容上看，它是問問相連，環(huán)環(huán)緊扣;從目標(biāo)上看，它是步步深入，由此及彼。它的每一問都可使學(xué)生的思維產(chǎn)生一次飛躍，它像一條鎖鏈，把疑問和目標(biāo)緊緊地連在一起。“問題鏈”不是教師提幾個問題加上學(xué)生的回答，而是師生雙方圍繞環(huán)環(huán)相扣的問題情境，進行多元的、多角度的、多層次的探索、學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)。

在教學(xué)中，如果教師總能根據(jù)不同的教材課型、不同的目的要求、不同的學(xué)習(xí)對象巧妙地設(shè)置“問題鏈”，創(chuàng)設(shè)特定的問題情境。隨著“問題鏈”的逐一呈現(xiàn)，學(xué)生或獨立思考，或合作交流，或師問生答共同探討，將學(xué)生的思維一次又一次地推向高潮，極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣，突出學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體地位，鼓勵學(xué)生獨立思考、大膽質(zhì)疑，不知不覺中既解決了問題，又獲得了知識或方法。

“面對數(shù)學(xué)問題，當(dāng)我們通過對它進行深化、推廣、類比，從而發(fā)現(xiàn)矛盾和缺陷（問題所在），探索到新的發(fā)展規(guī)律（需要論證的問題），或找到了問題與問題之間的新的聯(lián)系時，這就是形成“問題鏈”的開始。”下面我們從“問題鏈”的幾種常見形式入手對如何設(shè)計出一個“好”的“問題鏈”進行分析。

1“問題設(shè)計”對教師的要求

1.1吃透教材

教師講課的依據(jù)是教材，確定課堂教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)是新課程標(biāo)準(zhǔn)。教材本身由于各種原因，不可能照顧到方方面面，教師只有在吃透教材，熟悉教材前后聯(lián)系以及全面了解學(xué)生情況的基礎(chǔ)上，才能設(shè)計出一環(huán)緊扣一環(huán)，引人入勝的問題。

1.2扎實的專業(yè)基礎(chǔ)

每設(shè)計一個問題都涉及一定的知識面，每一個問題都隱含多少知識點教師都要心中有數(shù)，這樣指導(dǎo)學(xué)生才能得心應(yīng)手。

1.3要有耐心

設(shè)計問題，一般都在了解學(xué)生的基礎(chǔ)上進行的，若遇到特殊情況，如有時教師覺得容易的問題，學(xué)生反而不能解決，此時，教師要冷靜、耐心，尋找原因，加打“橋梁”，切不可責(zé)怪學(xué)生“笨”。

2問題鏈設(shè)計的基本形式

2.1推廣式問題鏈

推廣是事物發(fā)展所遵循的規(guī)律之一，它的原則是由特殊向一般推進。對一個問題的推廣有多種途徑可循，一般是把條件進行相似性變換，即在數(shù)學(xué)元素的數(shù)量上和維數(shù)上進行推廣，可以得到一些層次不同或形式相似的命題，它反映了數(shù)學(xué)對象之間的縱向或橫向間的聯(lián)系，可以拓廣命題的外延表現(xiàn)形式并加深對命題內(nèi)涵的認識。幾何方面常表現(xiàn)為線段數(shù)或邊數(shù)（角數(shù)）的增加，或從平面到空間的推廣，代數(shù)方面常表現(xiàn)為變量個數(shù)的增加。

例如，已知拋物線以及點

問題1：的三個頂點在拋物線上，記的三邊所在直線的斜率分別為，求的值;

問題2：四邊形的四個頂點在拋物線上，記四邊形的四邊所在直線的斜率分別為，求的值;

問題3：請你給出一個以為頂點，且其余各頂點均為拋物線上的動點的多邊形，寫出多邊形各邊所在直線的斜率之間的關(guān)系式，并說明理由。

得到的結(jié)論表明，偶數(shù)邊形，其中，=0;而奇數(shù)邊形，其中，=1。從數(shù)學(xué)思維角度領(lǐng)會，對于邊數(shù)是奇數(shù)和偶數(shù)這兩種數(shù)量類別特征上的差異，就造成了性質(zhì)的差異。

由特殊到一般的推廣，不僅可以訓(xùn)練思維的深度和廣度，培養(yǎng)歸納思維習(xí)慣，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，而且常?？梢垣@得新的數(shù)學(xué)方法，解決新的數(shù)學(xué)問題。

2.2變式問題鏈

變式問題設(shè)計師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的一種方式，這種方式能改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?？梢杂行У倪_到教學(xué)目的。

例如：人教版必修2“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)中，設(shè)計了這樣一個問題：自點作圓的切線的方程。學(xué)生得出了多種解法，這時學(xué)生的思維活躍，興趣盎然，教學(xué)出現(xiàn)了“高潮”。我覺得的這是一個非常難得的教學(xué)契機，于是圍繞教學(xué)中心，提出了新的問題，創(chuàng)設(shè)變式命題。問題提出后，學(xué)生表現(xiàn)很活躍，學(xué)生通過類比、推廣、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法進行探究，討論提出了許多變式問題，最后根據(jù)同學(xué)的提出的變式問題進行歸納總結(jié)主要有如下的問題。

變式一：若圓的方程為，求過圓外一點的切線方程。

變式二：若為圓外的一點，判斷直線與圓的位置關(guān)系。

變式三：若為圓外的一點，過作圓的切線，求過兩切點的直線方程。

變式四：若圓的方程是，求經(jīng)過圓上一點的切線方程。

變式五：若圓的方程是，求過圓上一點的切線方程。

變式六：已知為圓內(nèi)異于圓心的一點，判斷直線與圓的位置關(guān)系。

通過變式，從特殊到一般，改變背景將其推廣，讓學(xué)生真正感受到“源于課本，而高于課本”的深刻含義，也真正使學(xué)生品嘗到探究性問題中“探究”的滋味.課本習(xí)題與資料題目很自然地結(jié)合，使學(xué)生知道了知識的來龍去脈，使他們的認知產(chǎn)生了飛躍，通過不同的思路，提供多種解題方法既拓寬了學(xué)生的解題思路，又從不同的角度將已學(xué)過的知識加以復(fù)習(xí)，解題方法的多樣化，活躍了學(xué)生的思維，使學(xué)生增強了解決問題的信心，進而又深化了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想.這樣將知識、能力和思想方法在更多的新情景、更高的層次中，不斷地反復(fù)地滲透，達到了螺旋式的再認識，再深化，乃至升華的效果。

2.3逆向思維式問題鏈

心理學(xué)研究表明：每一個思維過程都有一個與之相反的思維過程，在這個互逆過程中，存在著正、逆思維的聯(lián)結(jié)。所謂逆向思維，是指和正向思維方向相反而又相互聯(lián)系的思維過程，即我們通常所說的“倒著想”或“反過來想一想”。逆向思維屬于發(fā)散性思維的范疇，是一種創(chuàng)造性的求異思維。有時逆向思維是創(chuàng)新的蹊徑，許多偉大的科學(xué)家都是逆向思維的奇才，“電能產(chǎn)生磁”，那么“磁能產(chǎn)生電嗎？”逆向思維使法拉第總結(jié)出了偉大的電磁感應(yīng)定律。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往對正向思維關(guān)注較多，長期的正向思維定勢會影響逆向思維的建立。因此，設(shè)計逆向問題鏈的目的就是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，對于鞏固深化所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識、能力，開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)創(chuàng)造性學(xué)習(xí)是非常有必要的。例如，在2006年上海高考數(shù)學(xué)理科卷第20題就出現(xiàn)了一個逆向問題：寫出第（1）小題中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。

又如，在研究直線與拋物線的相交問題時，可以設(shè)計如下“問題鏈”：

問題1：過拋物線的焦點作一直線交此拋物線于兩點，求證：。

（由問題1變式探究，引出問題2）

問題2：過拋物線的焦點作一直線交此拋物線于兩點，判斷是否為定值？

（由問題1、2逆向思考，引出問題3、4。）

問題3：設(shè)是拋物線上的兩點，若，則直線是否過焦點？

問題4：設(shè)是拋物線上的兩點，若，則直線是否過焦點？

（問題螺旋式上升，引出問題5，啟發(fā)學(xué)生思考，促進知識的遷移。）

問題5：已知拋物線和定點，過點作一直線交拋物線于、兩點。則的坐標(biāo)之間有何關(guān)系？

通過逆向鏈從不同角度的設(shè)問，學(xué)生可以從多個視角來看待同一背景中條件與結(jié)論的關(guān)系，更深刻的認識和理解問題的本質(zhì)，對提升學(xué)生的思維品質(zhì)有很大的益處。

2.4探究式問題鏈

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，課題引入需要情境，解題教學(xué)需要情境，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力也需要創(chuàng)設(shè)問題情境。許多數(shù)學(xué)問題稍加一些問題情境，就會情趣盎然。

例如：《高中數(shù)學(xué)》選修2-1？.3.2拋物線的幾何性質(zhì)

在教學(xué)時，我選擇了這樣一道例題：斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長。

（1）嘗試解決：

方法1：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出A、B兩點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式。

方法2：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出A、B兩點橫坐標(biāo)，再運用拋物線定義，推出本題的解法并不難，學(xué)習(xí)程度中上的學(xué)生大都用方法二，學(xué)習(xí)中下學(xué)生大都用方法一。然而僅僅就題論題，顯然不能充分體現(xiàn)該題的教學(xué)價值，所以在教學(xué)中我進行了如下設(shè)計。

（2）問題探究：

問題1：同學(xué)們能不能不求坐標(biāo)就可以求出線段AB的長

方法3：在方法2的基礎(chǔ)上由韋達定理可實現(xiàn)不解方程就能解決問題的目的。

問題2：將上題變?yōu)椋盒甭蕿閗的直線經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長

探究結(jié)果：

①過拋物線焦點的弦長公式。

②當(dāng)直線垂直于x軸時，|AB|=2p，此時|AB|叫拋物線的通徑，可以讓學(xué)生進一步理解通徑的幾何意義。

③學(xué)生自主提出問題：

問題3：在方法一中能不能不求出點的縱坐標(biāo)通過同學(xué)們的探索和教師的點拔得出成果：圓錐曲線的弦長公式

（3）理性歸納：

①體現(xiàn)了方程的思想。

②得到了求直線與圓錐曲線相交所得弦長的一般公式。（與焦點無關(guān)）

③為下一節(jié)課“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”的順利進行奠定了基礎(chǔ)。

通過此例的教學(xué)，使學(xué)生認識到解決問題時要多層次、多角度地思考，圍繞問題多方尋求解決問題的答案，這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力又培養(yǎng)了學(xué)生的探究的精神。這樣，通過獨立思考，分組協(xié)作，互相交流，再通過師生共同解答過程進行反思，比較，使學(xué)生主動領(lǐng)悟，吸收，內(nèi)化解題規(guī)律，訓(xùn)練了思維的深刻性，靈活性，在學(xué)生主動探究學(xué)習(xí)的活動中，能力得到了提高。

參考文獻

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