三角函數(shù)法對同方向同頻率簡諧振動(dòng)合成的求解

張旸

【摘 要】本文運(yùn)用三角函數(shù)方法，對同頻率同方向簡諧振動(dòng)的合成做了計(jì)算，結(jié)果與通常使用矢量圖示法得出的結(jié)論一致。

【關(guān)鍵詞】簡諧振動(dòng);矢量圖示法;三角函數(shù)法

【中圖分類號】O436.1 ??????【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）15-0009-01

在醫(yī)用物理學(xué)的教學(xué)中，振動(dòng)和波相關(guān)章節(jié)是十分重要的內(nèi)容。因?yàn)椴ㄊ亲匀唤缡制毡榈倪\(yùn)動(dòng)形式，不同性質(zhì)的波在醫(yī)學(xué)不同領(lǐng)域獲得了重要應(yīng)用，如超聲波、次聲波、X射線、γ射線等等。波的干涉是波與波相互作用的特殊情況，在理論和應(yīng)用上都有重要意義。而干涉的理論基礎(chǔ)就是同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成。

多數(shù)教材對簡諧振動(dòng)合成的計(jì)算采取了矢量圖示的方法[1][2]。借助簡諧振動(dòng)與一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的對應(yīng)關(guān)系，將簡諧振動(dòng)直接合成的問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的矢量合成的問題，具有直觀性，物理圖景清晰，計(jì)算過程也十分簡潔。

是否可以不用矢量圖示法而直接用三角函數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算呢？可以想象，計(jì)算過程會(huì)比矢量圖示法復(fù)雜，但是它沒有利用簡諧振動(dòng)與一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的對應(yīng)關(guān)系，比較直截了當(dāng)，數(shù)學(xué)味較濃。下面給出三角函數(shù)法對簡諧振動(dòng)合成問題的推導(dǎo)。

設(shè)兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的函數(shù)分別為：

x1=A1cos（ωt+φ1），x2=A2cos（ωt+φ2）

其中x1，x2表示兩個(gè)獨(dú)立分振動(dòng)的位置坐標(biāo)，A1，A2表示兩獨(dú)立分振動(dòng)的振幅，ω為共同的振動(dòng)頻率，φ1φ2表示各自的初相位。

由運(yùn)動(dòng)的疊加原理，合成振動(dòng)為：

x=x1+x2=A1cos（ωt+φ1）+A2cos（ωt+φ2）（1）

由公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，（1）式可化為：

x=A1（cosωtcosφ1-sinωtsinφ1）+A2（cosωtcosφ2-sinωtsinφ2）（2）

整理，可得

x=cosωt（A1cosφ1+A2cosφ2）-sinωt（A1sinφ1+A2sinφ2） （3）

對形如x=Acosα-Bsinα ?的表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)知識可化為：

Acosα-Bsinα=〖KF（〗A2+B2〖KF）〗cos（α+θ），其中θ滿足

sinθ=B〖〗〖KF（〗A2+B2〖KF）〗 ???????cosθ=A〖〗〖KF（〗A2+B2〖KF）〗 ??tanθ=B〖〗A

因此，（3）式可化為

x=Acos（ωt+φ） （4）

其中〖XC1.JPG;%21%21〗（5）

φ=tan-1（A1sinφ1+A2sinφ2〖〗A1cosφ1+A2cosφ2）（6）

（4）、（5）、（6）三式表明，合成振動(dòng)依然是一個(gè)簡諧振動(dòng)，振幅與初相分別滿足（5）、（6）兩式。

由（5）、（6）兩式可知，1.三角函數(shù)方法與矢量圖示法得出的結(jié)論完全一致，它從理論上驗(yàn)證了矢量圖示法的結(jié)果。2.計(jì)算過程的復(fù)雜程度比想象的要小，幾乎只是拼湊兩角之和的三角函數(shù)，就證明了合振動(dòng)依然是一個(gè)簡諧振動(dòng)，而且得出了振幅與初相位。3.不需要作圖，用純代數(shù)辦法處理，思路簡單而直接。

綜上所述，在教學(xué)中可以適當(dāng)介紹三角函數(shù)法，讓同學(xué)們比較兩種方法的優(yōu)劣，加深對簡諧振動(dòng)合成公式的理解。而對相關(guān)的數(shù)學(xué)計(jì)算也會(huì)更熟悉，感受數(shù)學(xué)與物理之間的聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)

[1]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程-力學(xué)（第二版）.高等教育出版社，2004.

[2]胡新岷，王磊，冀敏，李曉春，吳明海.醫(yī)學(xué)物理學(xué)（第八版）.人民衛(wèi)生出版社，2017.