樂享數(shù)學(xué)之美
——記北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副院長章志飛

□ 杜月嬌

2006年的一天，章志飛像往常一樣與他在國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院做博士后時(shí)的合作導(dǎo)師張平聯(lián)系?！八X得我可以嘗試一下水波方程問題”，時(shí)隔13年，已經(jīng)是北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副院長的章志飛對記者說，那是不同尋常的一天，“有旋水波問題的局部適定性研究是我數(shù)學(xué)生涯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”。

和應(yīng)用學(xué)科相比，數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實(shí)中歸納出來，但證明卻隱藏得很深。一路走來，章志飛欣賞數(shù)學(xué)中的美感，或有感慨，卻從不過分急切?！白鍪虑橐徊揭粋€(gè)腳印。我一般不會(huì)預(yù)設(shè)特別大的目標(biāo)，但沿著某個(gè)方向一直努力的決心不會(huì)變，一直往前走，總會(huì)有進(jìn)步?！?/p>

做“對胃口”的研究

20世紀(jì)90年代末，數(shù)學(xué)家鄔似玨以調(diào)和分析為利器，在無旋水波問題的局部適定性研究上做出了突破性進(jìn)展。這令張平和章志飛看到了另一種希望——將調(diào)和分析應(yīng)用到有旋水波問題局部適定性研究中會(huì)不會(huì)出現(xiàn)新的奇跡？

“水波是運(yùn)動(dòng)的，如果不考慮流體黏性問題，可以用歐拉方程來描述其自由邊界的局部適定性。一般情況下，這個(gè)邊界是固定的，但在有旋水波方程中，隨著時(shí)間變化，邊界一直在運(yùn)動(dòng)。要研究這個(gè)界面如何運(yùn)動(dòng)，也就相當(dāng)于研究其解的存在性和唯一性。從理論上講，正好在調(diào)和分析的范疇內(nèi)?！闭轮撅w分析道，“難，但是非常對我胃口?！?/p>

2008年，他與張平合作的研究結(jié)果被發(fā)表在頂尖數(shù)學(xué)期刊CPAM上。兩年后，著名數(shù)學(xué)家Strauss在其綜述論文中將這篇文章列為領(lǐng)域內(nèi)的一篇關(guān)鍵性論文。菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Fefferman等也多次引用。贏得了國際同行的認(rèn)可，章志飛自然欣喜，但更令他滿足的是這項(xiàng)“對胃口”的工作讓他真正享受到了做研究的樂趣，“也開了一個(gè)好頭兒”。如其所言，從此以后，章志飛在水波方程領(lǐng)域展開了一系列深入性的研究。

水波方程有多復(fù)雜，一眾數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家都深有體會(huì)，他們更習(xí)慣利用更簡單的方程來描述水波運(yùn)動(dòng)，如Shallow Water方程、KDV方程、KP方程等。從形式上看，這些方程都可以作為水波方程在某種物理尺度模式下的極限。“KDV方程就是被用來描述在淺水、長波和小振幅情形下水波的運(yùn)動(dòng)?！闭轮撅w舉例道。如此一來，如何在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地從水波方程導(dǎo)出各種漸近方程就成為一個(gè)重要且困難的數(shù)學(xué)問題。就在有旋水波問題局部適定性發(fā)表的前一年，著名數(shù)學(xué)家Craig等在綜述論文里列出了一個(gè)重要的公開問題：“證明具有自由表面的三維水波方程的極限。”

2008年，Alvarez-Samaniego和Lannes在各種物理尺度模式下嚴(yán)格證明了三維不帶表面張力水波方程到相應(yīng)漸進(jìn)方程的極限。章志飛注意到，他們推導(dǎo)出了Bond數(shù)為零時(shí)的KPII方程，但一般情形下的KP方程還是未知?！叭绻鸅ond數(shù)小于1/3，可以得到KPI方程；Bond數(shù)大于1/3，能得到KPII方程，在臨界情形，也就是Bond數(shù)等于1/3時(shí)，我們得到了5階KP方程。”這個(gè)結(jié)果，是章志飛與明梅、張平合作得到的，他們的工作在JMPA、ARMA、SIAM發(fā)表后，完全解決了水波方程到KP方程的嚴(yán)格波長極限問題。

“2018年我們也有一項(xiàng)工作發(fā)表在CPAM上”，章志飛口中的這項(xiàng)工作與開爾文—亥姆霍茲不穩(wěn)定性有關(guān)。開爾文—亥姆霍茲不穩(wěn)定性現(xiàn)象最常見的就是波狀云。在平原地區(qū)，風(fēng)速迅速改變形成渦流，移動(dòng)迅速的輕密度云朵滑動(dòng)到移動(dòng)緩慢的云層上，制造出波浪的視覺效果?？焖僖苿?dòng)且密度較低的云層在速度較慢且密度更高的云層上方移動(dòng)，形成云浪。云浪是一層卷云內(nèi)部出現(xiàn)湍流的結(jié)果，卷云內(nèi)的氣流速度和方向存在差異，導(dǎo)致云朵形成好似在水上翻滾的景象。1953年，蘇聯(lián)物理學(xué)家Syrovatskij發(fā)現(xiàn)，磁場能夠阻止開爾文—亥姆霍茲不穩(wěn)定性，并提出了相應(yīng)的穩(wěn)定性條件?！八芯康氖蔷€性穩(wěn)定性，但Syrovatskij條件下的非線性穩(wěn)定性還是一個(gè)長期的公開問題?！苯?jīng)過反復(fù)思考和驗(yàn)證，章志飛發(fā)現(xiàn)水波方程可以為這一問題提供重要的靈感?；诖?，他與孫永忠、王偉合作，在國際上率先提出了Syrovatskij條件下的非線性穩(wěn)定性結(jié)果，論文發(fā)表后產(chǎn)生了重要的影響力。

打一場“硬仗”

浴缸里的水在排水口形成一個(gè)渦旋、煙頭升起的青煙在空氣中擴(kuò)散、河流繞著石頭流動(dòng)……當(dāng)一個(gè)有序流動(dòng)的流體變化成看似不可預(yù)知的漩渦，往往關(guān)聯(lián)著湍流。湍流問題是物理界最難理解的問題之一，而用來描述流體運(yùn)動(dòng)的Navier-Stokes方程（簡稱“NS方程”），對解決湍流問題有很大的助益。數(shù)學(xué)家們更關(guān)心這個(gè)方程中解的存在性，以及這些解是否有邊界。作為千禧年大獎(jiǎng)難題之一，NS方程一直都沒有被破解?！斑@個(gè)方程中遇到的問題在其他方程中也可能存在，這個(gè)問題突破不了，其他方程中遇到的也同樣突破不了?！迸c前赴后繼的數(shù)學(xué)家一樣，章志飛對NS方程這座極具挑戰(zhàn)性的險(xiǎn)峰滿懷憧憬，由衷地想要做些什么，他瞄準(zhǔn)了可壓縮NS方程的適定性和爆破機(jī)制。

這場“仗”要怎么打？章志飛從不可壓縮NS方程研究中找到了靈感。1994年，法國科學(xué)院院士Meyer等學(xué)者對一類大能量的高振蕩初值證明了不可壓縮NS方程光滑解的整體存在性，這一重要成果被稱為Cannone-Meyer-Planchon定理。能不能將這一定理推廣到可壓縮NS方程中？章志飛覺得這條路值得趟一趟。他聯(lián)合北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所研究員陳瓊蕾、苗長興將設(shè)想變現(xiàn)，借助微局部分析工具發(fā)展了求解雙曲拋物耦合方程組的半群方法。而通過引入加權(quán)的Besov空間，他們還發(fā)展了一套在臨界Besov空間下求解可壓縮NS方程的方法，并被國際同行稱之為“Chen-Miao-Zhang方法”。其后數(shù)年，章志飛與合作者再接再厲，不僅證明了使用該方法所得局部適定結(jié)果的最優(yōu)性，還利用該方法和Hoff方法證明了對一類動(dòng)能大而勢能小的初值可壓縮NS方程的整體適定性。

除此之外，章志飛幾乎同步在鉆研另一個(gè)重要問題——可壓縮NS方程的光滑解是否在有限時(shí)間爆破？這是一個(gè)長期公開的問題。早在1958年，著名數(shù)學(xué)家納什就在其著名論文中提出了這樣的猜想：只要密度和溫度不會(huì)產(chǎn)生集中，解應(yīng)該不會(huì)產(chǎn)生奇性。

“想要證明納什猜想，本質(zhì)數(shù)學(xué)困難就是僅在密度和溫度有上界的情形下，做出速度場的梯度估計(jì)?！闭轮撅w解釋道，“這是一個(gè)雙曲拋物耦合系統(tǒng)，傳統(tǒng)的Nash-Moser-De Giorgi方法、極值原理等方法都不適用。”

如何解決這一問題？他與孫永忠、王超合作找到了新的思路：在證明的主要想法是在密度和溫度有界的情況下，得到有效黏性通量的高階估計(jì)；再利用連續(xù)方程與Logarithmic-Sobolev不等式得到密度的W1，P估計(jì)，最后利用橢圓估計(jì)得到速度場的梯度估計(jì)。2011年，他們相繼在JMPA、ARMA等權(quán)威期刊發(fā)表了工作進(jìn)展，針對等熵流，他們證明了只要密度不發(fā)生集中，光滑解就不會(huì)爆破；而非等熵流，只要密度和溫度不發(fā)生集中，光滑解就不會(huì)爆破。

這些工作為納什猜想做了一個(gè)合理的注腳，得到了國內(nèi)外同行的廣泛關(guān)注。2016年，德國Springer出版社刊發(fā)Handbook of Mathematical Analysis in Mechanics of Viscous Fluids（《黏性流體力學(xué)數(shù)學(xué)分析手冊》），章志飛團(tuán)隊(duì)?wèi)?yīng)邀為其撰寫章節(jié)：Blow-up criteria of strong solutions and conditional regularity of weak solutions（《強(qiáng)解的爆破標(biāo)準(zhǔn)和弱解的條件正則性》）。

“被動(dòng)”型精彩

“我中學(xué)時(shí)更擅長數(shù)學(xué)和物理，但也沒有確定到以后一定要這些專業(yè)?！闭轮撅w回憶道，隔著時(shí)空望向當(dāng)初的少年，他給那時(shí)的自己定位是“被動(dòng)”。

1994年高考后，在班主任的建議下，章志飛填報(bào)了杭州大學(xué)數(shù)學(xué)系。大學(xué)4年，作為一個(gè)數(shù)學(xué)系的學(xué)生，他的計(jì)算機(jī)也學(xué)得很漂亮。“如果不是推免讀研，我大概率會(huì)試水IT業(yè)?！闭\如斯言，世事難有如果，章志飛還是在數(shù)學(xué)道路上更進(jìn)了一步。他讀研時(shí)，原浙江大學(xué)與杭州大學(xué)、浙江農(nóng)業(yè)大學(xué)、浙江醫(yī)科大學(xué)合并組建成新的浙江大學(xué)，章志飛也成為新浙江大學(xué)的研究生，師從王斯雷教授。

“王斯雷教授是國內(nèi)研究調(diào)和分析、偏微分方程比較權(quán)威的專家。但調(diào)和分析本身理論發(fā)展比較高潮的時(shí)期是二十世紀(jì)七八十年代?！闭轮撅w稱，到了他讀研時(shí)，調(diào)和分析本身的理論已經(jīng)相對比較完善和成熟了。當(dāng)時(shí)，國際上從事調(diào)和分析的研究者已經(jīng)有人在探索交叉融合方向，比如向小波分析、數(shù)論等角度轉(zhuǎn)變。其中，將調(diào)和分析與偏微分方程相結(jié)合也備受青睞，菲爾茲獎(jiǎng)獲得者布爾蓋恩、陶哲軒等都非常重視。而當(dāng)這一方向出現(xiàn)在導(dǎo)師王斯雷列出的選項(xiàng)中，章志飛也做出了選擇。2003年，章志飛的博士論文《發(fā)展型方程中若干問題的研究》順利通過了答辯。同年，他進(jìn)入中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，跟隨張平研究員進(jìn)行博士后研究。2005年起任職于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。“除了去法國巴黎第十一大學(xué)做過一年的博士后工作，這十幾年基本沒有離開過北京大學(xué)。”

章志飛的事業(yè)生涯呈現(xiàn)出穩(wěn)定的狀態(tài)，同樣穩(wěn)定的還有他的研究主線，用他的話說從讀研開始的20余年，流體力學(xué)方程一直與他形影相隨?！耙膊皇钦f不做別的方程，像液晶方程，某種程度上是一種復(fù)雜的流體方程。液晶既可以看成流體，又不是普通的流體，要考慮NS方程與其他方程耦合。”章志飛盡量通俗地去解釋。液晶方程的3個(gè)基本理論——Doi-Onsager理論、Landau de-Gennes理論和Ericksen-Leslie理論是從不同的物理觀點(diǎn)出發(fā)而得到的。它們之間究竟有什么聯(lián)系，一直是液晶數(shù)學(xué)理論研究中一個(gè)基本而重要的問題。在液晶無缺陷情形下，章志飛與王偉、張平文合作給出了這些不同理論一致性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明。另外，他們在液晶的相變問題上也取得了系列重要的成果。

對“非線性Schrodinger方程是否有Anderson局域化”問題的探索，是章志飛的又一項(xiàng)嘗試。這個(gè)問題很難用數(shù)值方法分析，必須借助理論方法，因?yàn)樗枰呔群烷L時(shí)間的計(jì)算。2009年，章志飛與W.M.Wang合作證明了一維非線性隨機(jī)Schrodinger方程的長時(shí)間Anderson局域化，澄清了這個(gè)有爭議問題。該結(jié)果一經(jīng)發(fā)表即引發(fā)了國際數(shù)學(xué)界的高度評價(jià)。國際數(shù)學(xué)家大會(huì)45分鐘報(bào)告者Soffer認(rèn)為他們做出了這個(gè)方向上“最重要的結(jié)果”?！稊?shù)學(xué)評論》則盛贊其成果尤為“簡潔、漂亮”。2010年第16屆國際數(shù)學(xué)物理會(huì)議上，美國普林斯頓大學(xué)教授、美國科學(xué)院院士Aizenman也在特別報(bào)告中介紹了他們的結(jié)果。

破解公開問題、澄清爭議問題，章志飛享受著解題過程的快樂。從被動(dòng)選擇到享受熱愛，不知不覺中，他走出了腳踏實(shí)地的精彩。但不論如何嘗試，他都沒有離開自己的研究主線。近年來，他和團(tuán)隊(duì)在流體動(dòng)力學(xué)方程穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論方面取得了重要的進(jìn)展。

“在二維流體中有一個(gè)非常重要的現(xiàn)象，非對稱的渦會(huì)很快地形成對稱的Oseen渦。要想從數(shù)學(xué)上解釋這個(gè)現(xiàn)象，最關(guān)鍵的就是要解決法國數(shù)學(xué)家Gallay提出的關(guān)于Oseen渦度算子的擬譜和譜界猜想。我們做到了。”更令章志飛自豪的是，他們的工作發(fā)表后，又被Gallay應(yīng)用到了非線性問題的解決上，也算是一段佳話了。

層流到湍流的次臨界轉(zhuǎn)換問題是流體力學(xué)中一長期公開問題。1993年，Trefethen等在《科學(xué)》雜志上提出理解這個(gè)問題的關(guān)鍵之一是要分析線性化算子的擬譜，而不能只分析算子的譜，因?yàn)檫@是一個(gè)非正常算子?；谝粋€(gè)NS方程的簡化有限維動(dòng)力學(xué)模型的分析，他們提出了流動(dòng)穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)換閾值猜測。在三維庫埃特流中，章志飛等人解決了這個(gè)猜測。

朗道阻尼是指粒子和波相互作用使波的振幅減小的現(xiàn)象，屬于等離子體動(dòng)力學(xué)中十分重要的結(jié)果。但在1903年，物理學(xué)家就在庫埃特流中發(fā)現(xiàn)了速度場會(huì)隨時(shí)間衰減到零，這個(gè)現(xiàn)象如今被稱為無粘阻尼。這意味著無粘流體中也有類似朗道阻尼的現(xiàn)象。1960年，物理學(xué)家Case對一般的單調(diào)剪切流預(yù)測出了精確的速度衰減速率。直到2018年，章志飛等人才在CPAM上發(fā)表的文章中真正嚴(yán)格驗(yàn)證了物理學(xué)家Case預(yù)測的結(jié)果。

與之相對，法國數(shù)學(xué)家Bouchet等在一類非單調(diào)的剪切流中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象?！霸谒飻嚢杩Х?，軸心處渦度為零”，章志飛形象地打著比方，“但它某種程度上是由于對稱性引起的”。2019年，章志飛等人證明這種現(xiàn)象具有普遍性。

目前，章志飛已經(jīng)在國際核心數(shù)學(xué)期刊發(fā)表學(xué)術(shù)論文80余篇，出版專著1本，入選教育部新世紀(jì)人才計(jì)劃、中組部首批青年拔尖人才支持計(jì)劃，2014年獲得國家杰出青年科學(xué)基金。

數(shù)學(xué)之美

20世紀(jì)90年代，章志飛讀研后，最直觀的體會(huì)是國內(nèi)的文獻(xiàn)信息來源非常慢。他所說的“慢”指向信息延時(shí)。由于當(dāng)時(shí)互聯(lián)網(wǎng)和信息技術(shù)不發(fā)達(dá)，他們看到一篇文章常常是這篇文章發(fā)表三四年之后?！靶畔⒀訒r(shí)常常會(huì)導(dǎo)致，當(dāng)你有了一些設(shè)想時(shí)，人家已經(jīng)做完了?！?/p>

這的確不是什么愉快的現(xiàn)實(shí)，所幸的是章志飛極為沉得住氣。讀研的5年里，他的精力更多放在夯實(shí)基礎(chǔ)上。用他的話說，數(shù)學(xué)不同于別的學(xué)科，本科基礎(chǔ)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用，像代數(shù)幾何耗上5年能搞懂就不錯(cuò)了，而分析學(xué)科就算門檻略低，想要做出更好的東西要付出的努力還是有過之而無不及的。從那時(shí)起，他在流體力學(xué)方程理論研究上的工作基本沒有脫離開NS方程和歐拉方程。兩者都是流體力學(xué)的基本方程，一個(gè)極繁，一個(gè)極簡，但在章志飛眼中，它們都一樣美?！昂芏鄬W(xué)過微積分的人都能看得懂歐拉方程，這么簡單的方程能夠去描述復(fù)雜的物理過程，難道你不覺得美嗎？”他反問道，眼中光芒大盛。

蘇聯(lián)哲學(xué)家柯普寧曾說：“當(dāng)數(shù)學(xué)家導(dǎo)出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風(fēng)景，聽到優(yōu)美的曲調(diào)等一樣而得到充分的快樂。”章志飛深以為然，他誠懇地表示，“如果真正把數(shù)學(xué)鉆研進(jìn)去，哪怕不是你自己證明的，也能夠欣賞到別人的證明過程，感受到數(shù)學(xué)的美”。

章志飛當(dāng)然遇到過挫折。在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院做博士后時(shí)，他曾嘗試過將半經(jīng)典分析與調(diào)和分析交叉，去探討一些更深入的問題，卻很難進(jìn)行下去。但他也很難真的放棄，在法國巴黎第十一大學(xué)期間還去聽完了“半經(jīng)典分析”課程，沒想到卻有了另一種層面上的收獲。這門課程，由兩位教授主講。上半學(xué)期，一位教授講授基礎(chǔ)理論；下半學(xué)期，另一位教授講授最新研究進(jìn)展，甚至是還沒有正式寫好發(fā)表的進(jìn)展?！盎A(chǔ)+前沿”，章志飛觸動(dòng)很大。作為分管研究生工作的副院長，他也希望在有條件的情況下，通過這種模式推動(dòng)學(xué)生們盡快接觸科研前沿。

章志飛其實(shí)是個(gè)很操心的導(dǎo)師，除了討論班要做好，學(xué)生的選題、生活、心理狀況等，都要引導(dǎo)?！半S著年齡的增長，科研文章可能會(huì)相對寫得少一點(diǎn)了，教學(xué)上會(huì)更加增強(qiáng)。寫一本好的教材比出一篇好文章的影響力更大。”如今，他的研究問題正在慢慢收縮，會(huì)逐漸集中到一兩個(gè)比較有意思的問題上?！白屓思夷苷f，在北京大學(xué)還有這么一波人做出這么厲害的成果?！闭劦轿磥?，章志飛神采飛揚(yáng)。