巧妙構(gòu)造輔助函數(shù) 解極值點(diǎn)偏移問題

浙江省寧波市第四中學(xué)(315016) 董亞 魏定波

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題在近些年的高考和各地?？贾谐３３霈F(xiàn)， 由于命題方法簡單， 解法多樣， 引起了眾多老師們的關(guān)注， 在[1-2]對(duì)解決極值點(diǎn)偏移問題的研究中， 列出了二種解題方法， 即構(gòu)造“對(duì)稱差”函數(shù)：F(x) = f(x0+x) - f(x0-x)， 以及運(yùn)用“對(duì)數(shù)均值不等式”：但對(duì)于如下的問題這些方法往往很難湊效(詳見[3])：

題目(2018年高考全國I 卷理科) 已知函數(shù)f(x) =若f(x) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1， x2， 證明：

針對(duì)這種情形，本文從以下幾個(gè)不同的角度，通過構(gòu)造函數(shù)對(duì)含參數(shù)極值點(diǎn)偏移問題能得到有效解決， 且具有通性、通法的作用.

1.消去參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)

例1(浙江省衢州市五校聯(lián)盟2019 屆高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題) 已知函數(shù)f(x) = ex-x2-ax 有兩個(gè)極值點(diǎn)，x1,x2(x1＜x2).

(1)求a 的取值范圍; (2)證明： ex1+ex2＞4.

解析由f′(x) = ex- 2x - a， 得a = ex1- 2x1，a=ex2-2x2，則ex1-2x1=ex2-2x2，即只需證：即于是，構(gòu)造函數(shù)

所以， F(t) = (t-2)et+t+2 在(0,+∞)上單調(diào)遞增， 則F(t) ＞F(0) = 0，于是有，成立，故ex1 +ex2＞4.

例2(寧波效實(shí)中學(xué)2018 學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中試卷)設(shè)a ∈?，函數(shù)f(x)=(x+1)e-x+ax 有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求a 的取值范圍; (2)證明： x1+x2+2 ln a ＜0.

解析f′(x) = a - xe-x， 依題意， 得a = x1e-x1=x2e-x2，不妨設(shè)x2＞x1＞0，

因此， 只須證明： x1x2＜1.由a = x1e-x1= x2e-x2，得ln x1- x1= ln x2- x2， 即只需證：即證：等價(jià)于于是，構(gòu)造函數(shù)

評(píng)注上述二題的解題過程中，實(shí)際上體現(xiàn)了：

指數(shù)平均值不等式： 對(duì)任意二個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2，則

對(duì)數(shù)平均值不等式： 對(duì)任意二個(gè)不相等的正數(shù)x1,x2，則

下一步，市人大常委會(huì)將及時(shí)把評(píng)議結(jié)果反饋給市政府及有關(guān)部門，督促其提高對(duì)代表建議辦理工作的重視程度。未辦理完成的重點(diǎn)建議，將由市人大常委會(huì)分管副主任繼續(xù)加強(qiáng)跟蹤督辦，確保件件有落實(shí)，向代表和群眾交上滿意答卷。

如運(yùn)用這類均值不等式， 對(duì)解決某些極值點(diǎn)偏移問題，達(dá)到秒殺作用.

2.引入變量，構(gòu)造函數(shù)

例3(2017年湖南省高中數(shù)學(xué)競賽試題改編)已知函數(shù)f(x)=ln x-mx.當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)a,b 時(shí)，證明： ab ＞e2.

解析依題意， 設(shè)b ＞ a ＞ 0， 得ln a - ma = 0，ln b-mb = 0， 于是， 有令所以，ln a-ma = 0，ln a+ln t-mat = 0，得要證： ab ＞ e2， 即證即證(t+1)ln t-2(t-1)＞0，設(shè)F(t)=(t+1)ln t-2(t-1)(t ＞1)，則(t ＞1)，令所以h(x) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增， F′(t) = h(x) ＞h(1) =0， 所以F(x) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增， 即當(dāng)t ＞ 1 時(shí)，(t+1)ln t-2(t-1)＞0，所以ab ＞e2.

例4(2015年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生試題)已知函數(shù)設(shè)0 ＜a ＜b，且ab=ba，證明： a+b ＞2e.

解析依題意， 設(shè)b ＞a ＞0， 得b ln a = a ln b， 令= t， b = ta， ln b = t ln a， ln t + ln a = t ln a，(t ＞1).要證： a+b ＞2e，即證a(1+t) ＞2e，即證即證

設(shè)

所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，F(xiàn)′(t) = h(x) ＞h(1) =0， 所以F(x) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增， 即當(dāng)t ＞ 1 時(shí)，ln t+(t-1)ln(t+1)-(1+ln 2)(t-1)＞0，所以a+b ＞2e.

評(píng)注上述解題方法， 具有通法效應(yīng)， 一些省市的高考及模擬試題的導(dǎo)數(shù)壓軕題都可以用此法求解， 例如： 已知函數(shù)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1x2)，證明：(浙江省名校協(xié)作體2019 屆高三第二學(xué)期聯(lián)考試題).

3.借助夾逼，構(gòu)造函數(shù)

例5(2015年天津市高考理科試題)已知函數(shù)f(x) =nx-xn,x ∈?，其中n ∈??,n ≥2.關(guān)于x 的方程f(x)=a(a 實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)根x1,x2，求證：

解析從函數(shù)f(x) = nx-xn,x ∈? 性質(zhì)出發(fā)， 易知0 ＜a ＜n-1， 不妨設(shè)x1＜x2.曲線f(x) = nx-xn與x 軸的交點(diǎn)為O(0,0)，P(x0,0)，其中曲線在原點(diǎn)處的切線方程為y = nx，設(shè)h(x) = nx，顯然當(dāng)x ＞0 時(shí)，有f(x) ＜h(x)， 設(shè)h(x) = a 的根為因?yàn)閔(x) = x 在(-∞,+∞) 上單調(diào)遞增， 則a = h() = f(x1) ＜h(x1)，可得≤x1.同理， 曲線在P(x0,0) 處的切線方程為y =(n-n2)(x-x0)， 設(shè)g(x) =(n-n2)(x-x0)， 容易證明， 當(dāng)x ＞0 且xx0時(shí)， 有f(x) ＜g(x)， 設(shè)方程g(x) = a 的根為， 可得當(dāng)n ≥2時(shí)，可得x2＜x′2.由此可得(如圖1).因?yàn)閚 ≥2，所以2n-1=(1+1)n-1≥1+=1+n-1=n,

圖1

圖2

例6已知f(x) = ex- x - a 有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1＜x2)，求證： x1+x2＜0.

解析易知f(x)min= f(0) = 1-a ＜0， 所以a ＞1，且x1＜0 ＜x2.令則g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為x3,x4(x3＜0 ＜x4)，顯然x3+x4= 0.構(gòu)造函數(shù)則F′(x) =ex-x-1 ≥0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x ＜0 時(shí)，F(xiàn)(x)＜F(0)=0，即f(x) ＜g(x)， 所以g(x3) = 0 = f(x1) ＜g(x1)， 又因?yàn)間(x) 在(-∞,0) 上單調(diào)遞減， 所以x1＜x3.同理可得x2＜x4(如圖2).故x1+x2＜x3+x4=0.

評(píng)注從上面二例來看，在用“夾逼函數(shù)”證明這類問題時(shí)，在理論上是可行的，但在實(shí)際運(yùn)用中，其操作時(shí)還是有相當(dāng)難度的，上述的例1 運(yùn)用的切線逼近，例2 借助的是拋物線，其根源是函數(shù)的泰勒展開式，至于選用什么形式的“夾逼函數(shù)”，需要根據(jù)函數(shù)的特征和相關(guān)數(shù)據(jù)(如函數(shù)的極值點(diǎn))進(jìn)行分析，有時(shí)還要考慮題中的前呼后應(yīng)關(guān)系.