鋼管混凝土柱徐變穩(wěn)定性分析

趙人達(dá) ，吳德寶 ，王永寶 ，賈 毅 ，廖 平

（1.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川 成都 610031；2.太原理工大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，山西 太原 030024）

鋼管混凝土柱相對(duì)于普通鋼筋混凝土柱具有更優(yōu)的強(qiáng)度和性能，廣泛應(yīng)用于國(guó)內(nèi)外的橋梁、高層建筑等結(jié)構(gòu)中[1-2].受長(zhǎng)細(xì)比、邊界條件等因素影響，鋼管混凝土柱的設(shè)計(jì)往往受壓桿穩(wěn)定控制.由于鋼管混凝土（CFST）柱長(zhǎng)期處于受壓狀態(tài)，管內(nèi)混凝土的徐變導(dǎo)致柱內(nèi)力重分布和多余的幾何變形，直接影響到結(jié)構(gòu)能否長(zhǎng)期安全工作[3].因此，CFST 柱的徐變穩(wěn)定問(wèn)題需做進(jìn)一步研究.

目前，學(xué)者們對(duì)CFST 結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變形、穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行了較多的試驗(yàn)[4-6]，研究表明管內(nèi)混凝土的徐變作用對(duì)CFST 結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期穩(wěn)定行為有較大影響，但未給出定量解析式，實(shí)際工程的應(yīng)用性有限.現(xiàn)有論文中，對(duì)考慮徐變作用影響的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定研究當(dāng)前僅針對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)：Behan 等[7]進(jìn)行鋼筋混凝土柱的軸壓試驗(yàn)，以時(shí)間為控制變量進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，得到該類柱在持續(xù)荷載作用下的壽命評(píng)估方法；Distefano[8]線性化分析了實(shí)際的臨界荷載組合，提出一種鋼筋混凝土柱隨混凝土強(qiáng)度等級(jí)降低時(shí)的徐變穩(wěn)定承載力估計(jì)方法；Bazant[9]結(jié)合靜力平衡方程，求解得到了鉸接鋼筋混凝土柱的徐變穩(wěn)定承載力解析式.基于線性徐變理論，結(jié)合曲率-應(yīng)變方程和靜力平衡方程，林南薰[10]求解得到了鋼筋混凝土鉸接柱的長(zhǎng)期穩(wěn)定承載力；孫寶俊等[3]運(yùn)用有效模量法，建立了兩端鉸接的鋼筋混凝土柱的靜力平衡方程，推導(dǎo)了柱結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期與短期臨界荷載間的關(guān)系式；壽楠椿等[11]分別采用有限元和靜力平衡法研究了鉸接的鋼筋混凝土柱，考慮構(gòu)造初始缺陷、彈性和徐變變形等因素的基礎(chǔ)上，求解了鋼筋混凝土柱的徐變穩(wěn)定臨界力.上述研究多為采用靜力平衡法推導(dǎo)的鋼筋混凝土柱長(zhǎng)期穩(wěn)定臨界力.鋼管混凝土結(jié)構(gòu)與之不同，且目前采用能量法對(duì)CFST 柱的徐變穩(wěn)定研究較為欠缺.

為了探討混凝土徐變對(duì)鋼管混凝土柱軸向荷載作用下長(zhǎng)期穩(wěn)定性的影響，本文基于能量法和按照齡期調(diào)整的有效模量法，應(yīng)用失穩(wěn)條件，推導(dǎo)了考慮徐變和初始缺陷，兩端鉸接、固定-鉸接和固定-自由3 種邊界條件鋼管混凝土柱的長(zhǎng)期穩(wěn)定極限荷載計(jì)算公式，研究了該類柱徐變穩(wěn)定臨界力與管內(nèi)混凝土強(qiáng)度的影響規(guī)律，對(duì)比了規(guī)范取值與該臨界力的規(guī)律，得到的相關(guān)結(jié)論對(duì)后續(xù)的CFST 結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)期穩(wěn)定研究提供有益的參考.

1 管內(nèi)混凝土等效彈性模量

徐變作用，會(huì)導(dǎo)致混凝土的彈性模量隨時(shí)間增長(zhǎng)而逐漸減小.現(xiàn)有論文中，有效模量法作為主流的方法來(lái)描述混凝土受徐變的影響，彈性模量用E（t）表示.有效模量法中，按齡期調(diào)整的混凝土彈性模量應(yīng)用最為廣泛[12]：

式中：φ（t，t0）、χ（t，t0）分別為從時(shí)刻t0到時(shí)刻t的徐變系數(shù)和老化系數(shù).

由式（1）可得時(shí)刻tCFST 截面的抗彎剛度為[13]

式中：Es為鋼管的彈性模量；Is、Ic分別為鋼管和管內(nèi)混凝土的抗彎慣性矩；Ie（t）為鋼管混凝土組合截面時(shí)刻t的等效慣性矩，如式（3）.

2 能量法求徐變穩(wěn)定臨界力

求穩(wěn)定臨界力時(shí)，該平衡方程常常用勢(shì)能駐值原理表達(dá).但勢(shì)能駐值原理必須對(duì)勢(shì)能方程進(jìn)行變分計(jì)算，方可求得臨界力的精確解，求解過(guò)程較為復(fù)雜.于是，為避免復(fù)雜的運(yùn)算，本文采用一種能量守恒原理與失穩(wěn)準(zhǔn)則相結(jié)合的求解方法，有效地簡(jiǎn)化了求解過(guò)程.

能量守恒原理，即外力對(duì)系統(tǒng)做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量[14].同時(shí)做如下假定：在外力作用下結(jié)構(gòu)的變形過(guò)程極其緩慢，動(dòng)能增量為0，不計(jì)熱能損失，機(jī)械能增量全部轉(zhuǎn)化為CFST 柱的彈性勢(shì)能增量，即

式中：UP為外力對(duì)系統(tǒng)做的功，即機(jī)械能增量；U為系統(tǒng)的勢(shì)能增量.

2.1 構(gòu)件的應(yīng)變能

在生產(chǎn)中，實(shí)際受壓構(gòu)件不可避免會(huì)存在初始缺陷y0(x) （t=t0）.在時(shí)刻t0，于桿件上施加外力Fp，在t=t0時(shí)，桿軸線位置x產(chǎn)生橫向位移y(x，t).那么，桿件受壓變形積蓄了彈性勢(shì)能（彈性勢(shì)能增量）.并假定CFST柱在屈曲前桿件本身未開裂.那么，彈性勢(shì)能可以表示為

式中：σ(t)、ε(t) 分別為桿件內(nèi)微分體積塊在時(shí)刻t產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變.

若混凝土壓應(yīng)力小于0.4 倍的承載能力，徐變規(guī)律被認(rèn)為是按線性變化的[15].于是，線性徐變的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系為

式中：σ0為時(shí)刻t0管內(nèi)混凝土的應(yīng)力值.

將式（6）代入式（5）進(jìn)行積分運(yùn)算，得CFST 柱考慮初始缺陷、徐變效應(yīng)的應(yīng)變能為

式中：M(t0)、M（t）分別為時(shí)刻t0、t構(gòu)件上任意位置x的彎矩值；Ie0為時(shí)刻t0CFST 組合截面的換算截面慣性矩；l為桿件長(zhǎng)度.

2.2 構(gòu)件的外力功

在外力FP作用下，構(gòu)件從直線平衡過(guò)渡到彎曲平衡狀態(tài)，F(xiàn)P在力作用方向上仍會(huì)有一定豎向位移Δ（假設(shè)不考慮構(gòu)件的軸向壓縮），如圖1，圖中：l0為柱的計(jì)算長(zhǎng)度（l0=μl），μ為長(zhǎng)度系數(shù).

圖1 不同邊界條件的受壓構(gòu)件失穩(wěn)示意Fig.1 Buckling modes of compression columns with three common boundary conditions

當(dāng)構(gòu)件達(dá)到彎曲平衡狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)P沿力方向的豎向位移為Δ（圖1）.設(shè)積分段dx因傾角θ引起的豎向位移為dΔ，即

沿著構(gòu)件的總長(zhǎng)積分，得受力點(diǎn)的豎向位移為

考慮構(gòu)件的初始缺陷，時(shí)刻t外力做功為

3 鋼管混凝土柱徐變穩(wěn)定臨界力

實(shí)際工程中，CFST 柱有3 種常用的形式：鉸接-鉸接、鉸接-固定、固定-自由.由結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，上述3 種邊界形式的長(zhǎng)度系數(shù)μ分別為1.0、0.7、2.0.

分別對(duì)上述3 種邊界的CFST 柱推導(dǎo)軸壓作用下的徐變穩(wěn)定臨界力計(jì)算式.

3.1 兩端鉸接CFST 柱

要研究徐變對(duì)軸壓構(gòu)件的穩(wěn)定性規(guī)律，需注意以下兩點(diǎn)：正確的CFST 柱非線性平衡關(guān)系；正確的柱屈曲前變形（對(duì)應(yīng)邊界條件下）.

鉸接柱的初設(shè)變形為正弦級(jí)數(shù)曲線，參照文獻(xiàn)[16]對(duì)彈性穩(wěn)定的求解方法，下文同取三角級(jí)數(shù)第1 項(xiàng)作為屈曲前變形曲線的近似，那么時(shí)刻t和初始時(shí)刻（t=t0）橫向位移表達(dá)式分別為[9]

式中：f、f0分別為兩端鉸接柱軸線方向中在時(shí)刻t、t0的最大位移值.

結(jié)合式（11）和圖1可得時(shí)刻t、t0的彎矩分別為

將式（11）、（12）代入式（7），得兩端鉸接CFST柱時(shí)刻t的彈性勢(shì)能為

將式（11）代入式（10），得時(shí)刻t外力做功為

將式（13）、（14）和式（1）代入式（4），得

式中：FPcr為理想軸壓CFST 柱彈性穩(wěn)定臨界力.

以f為目標(biāo)函數(shù)，化簡(jiǎn)式（15），得

長(zhǎng)期荷載作用下，軸壓CFST 柱的失穩(wěn)準(zhǔn)則[9]為桿件的橫向變形趨于無(wú)窮大，即

若要滿足該失穩(wěn)準(zhǔn)則，只有式（16）根式分母趨于0，即

整理式（18），得到兩端鉸接的CFST 軸壓柱考慮管內(nèi)混凝土長(zhǎng)期徐變效應(yīng)的失穩(wěn)臨界力為

本文采用能量法得到的失穩(wěn)臨界力與文獻(xiàn)[3]求解的公式一致.

3.2 鉸接-固定CFST 柱

以一端鉸接一端固定為邊界的CFST 柱為一次超靜定結(jié)構(gòu)，考慮該柱的外力作用形式及邊界變形協(xié)調(diào)條件[16]，得時(shí)刻t和初始時(shí)刻t0的橫向位移分別為

式中：FR、FR0分別為時(shí)刻t、t0構(gòu)件鉸接端產(chǎn)生的約束反力；α為考慮混凝土徐變作用的相關(guān)參數(shù)，

那么時(shí)刻t和初始時(shí)刻t0對(duì)應(yīng)的彎矩分別為

將式（20）代入式（22）化簡(jiǎn)得

同理，將初始缺陷和變形方程（20）代入式（7），得到一端鉸接一端固定柱時(shí)刻t的應(yīng)變能為

將式（20）代入式（10），可得時(shí)刻t外力功為

令變量Γ、Λ分別為

聯(lián)立式（24）、（25）、（1）及式（26）、（27），代入式（4），得

將式（21）代入式（28），并按FR為目標(biāo)函數(shù)化簡(jiǎn)可得

長(zhǎng)期荷載作用下，軸壓CFST 柱的失穩(wěn)準(zhǔn)則[9]為時(shí)刻t桿件的約束反力趨于無(wú)窮大（limFR→∞），式（29）根式分母趨于0 即可滿足，即

將式（26）、（27）代入式（30），得

利用MATLAB 的數(shù)值迭代功能，得到最小正解αl= 4.493，結(jié)合式（21）得一端鉸接一端固定CFST柱的失穩(wěn)臨界力為

由式（32）可得，當(dāng)不考慮徐變效應(yīng)時(shí)，一端鉸接一端固定CFST 柱的徐變穩(wěn)定臨界力公式的計(jì)算值和龍馭球等[16]運(yùn)用靜力平衡法求得的彈性穩(wěn)定承載力數(shù)值一致，間接證明了該公式在時(shí)間上具有更廣的適用性.

3.3 一端固定一端自由CFST 柱

一端固定一端自由的CFST 柱在軸向力作用下，滿足該邊界條件的屈曲形狀可用三角級(jí)數(shù)表達(dá).與兩端鉸接柱相同，取三角級(jí)數(shù)第1 項(xiàng)為近似變形曲線，那么時(shí)刻t、t0位移為

時(shí)刻t、t0對(duì)應(yīng)的彎矩為

同理，將初始缺陷和變形方程（33）代入式（7），得到懸臂CFST 柱的應(yīng)變能為

將式（33）代入式（10），可得時(shí)刻t的外力功為

結(jié)合式（35）、（36）及（1），代入式（4），得

按f為目標(biāo)函數(shù)對(duì)式（37）進(jìn)行化簡(jiǎn)，得

長(zhǎng)期荷載作用下，軸壓CFST 柱的失穩(wěn)準(zhǔn)則[9]為桿件的橫向變形趨于無(wú)窮大.那么，式（38）根式分母趨于0 即可滿足，即

一端固定一端自由的CFST 柱受徐變作用的長(zhǎng)期穩(wěn)定臨界力為

引入計(jì)算長(zhǎng)度l0（圖1），不同邊界條件的CFST柱的彈性穩(wěn)定臨界力為

3 種常見邊界條件的CFST 柱在軸向力作用下的徐變穩(wěn)定臨界力值為

老化系數(shù)的選取可不用查表，用試驗(yàn)與理論值符合良好的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算[18]：

式中：a、β為常數(shù)，取a= 0.91，β= 0.686[18].

對(duì)比前3 節(jié)的臨界力式可知：考慮長(zhǎng)期作用的鋼管混凝土柱穩(wěn)定臨界力與徐變系數(shù)有關(guān)，考慮混凝土徐變效應(yīng)的臨界力比彈性穩(wěn)定臨界力下降1 +χ(t，t0)φ(t，t0) 倍，且徐變效應(yīng)對(duì)承載力的影響僅與徐變系數(shù)有關(guān)；相同計(jì)算長(zhǎng)度但不同邊界條件的該類柱徐變穩(wěn)定臨界力一致.

4 算例分析

由式（42）可得，為預(yù)測(cè)徐變對(duì)鋼管混凝土軸向受壓柱長(zhǎng)期穩(wěn)定性的影響，準(zhǔn)確地計(jì)算徐變系數(shù)和老化系數(shù)至關(guān)重要.目前，受學(xué)者們廣泛應(yīng)用的ACI模型[17]認(rèn)為，徐變系數(shù)僅與時(shí)間、徐變終極值φ(∞，t0) 有關(guān)，表達(dá)式為

算例參數(shù)如下：含鋼率為0.05，長(zhǎng)細(xì)比為104，φ(∞，t0) = 1.8，t0= 7 d；鋼管和管內(nèi)混凝土的彈性模量分別取2.00 × 105、3.25 × 106Pa.組合截面（圓形鋼管 + 內(nèi)填混凝土）面積為0.16 m2.

該算例下，本文方法計(jì)算的徐變穩(wěn)定臨界力為2.43 × 106N，與文獻(xiàn)[3]計(jì)算方形鋼筋混凝土柱的結(jié)果2.36 × 106N 的相對(duì)偏差小于3%，結(jié)果相近.圓形鋼管混凝土柱的計(jì)算值大于方形鋼筋混凝土柱，是由于同面積的圓形截面抗彎慣性矩大于方形截面，且圓形鋼管處于截面外部，更有利于截面的抗彎性能.式（42）的計(jì)算值與文獻(xiàn)[11]利用ANSYS 計(jì)算鋼筋混凝土柱的結(jié)果一致.與現(xiàn)有文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比的結(jié)果表明，本文式（42）具有一定的正確性.

為研究混凝土強(qiáng)度等級(jí)失穩(wěn)臨界力的影響，本文對(duì)徐變穩(wěn)定式進(jìn)行深入分析.相關(guān)參數(shù)的取值如下：徐變系數(shù)終極值采用CEB10 規(guī)范[19]中規(guī)定：

式中：φbc(∞，t0) 為基本徐變系數(shù)終極值；φdc(∞，t0)為干燥徐變系數(shù)終極值.

由式（45）可得，徐變系數(shù)終極值由基本徐變系數(shù)終極值和干燥徐變系數(shù)終極值兩部分組成.該公式參數(shù)取值：無(wú)窮天數(shù)取1 000 a，濕度按文獻(xiàn)[20]給出的區(qū)間取90%，得到混凝土等級(jí)與徐變系數(shù)終極值關(guān)系，如表1.以混凝土強(qiáng)度等級(jí)為自變量，得到以本文方法計(jì)算的無(wú)量綱屈曲臨界力曲線，如圖2.

表1 混凝土等級(jí)與徐變系數(shù)終極值的關(guān)系表（CEB10 模型）Tab.1 Relationship between concrete grade and the ultimate value of creep factor （CEB10 model）

由表1可得：混凝土強(qiáng)度等級(jí)與徐變系數(shù)終極值呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，混凝土強(qiáng)度等級(jí)上升，對(duì)應(yīng)的徐變終極值會(huì)下降，且下降速度在減小，混凝土等級(jí)小于C80 時(shí)，對(duì)徐變系數(shù)終極值的影響較大；混凝土強(qiáng)度等級(jí)大于C80 后，強(qiáng)度對(duì)徐變系數(shù)終極值的影響較小.由圖2可得，混凝土強(qiáng)度與長(zhǎng)期屈曲臨界力呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，但臨界力增加速率有所下降，原因是，鋼管負(fù)責(zé)的強(qiáng)度部分保持不變.

圖2 管內(nèi)混凝土強(qiáng)度與長(zhǎng)期效應(yīng)無(wú)量綱屈曲荷載關(guān)系Fig.2 Relationship between dimensionless buckling load of long-term effects of creep and core concrete strength

現(xiàn)行的規(guī)范[21]中，正截面受壓承載力為

式中：γ為穩(wěn)定系數(shù)；Ac、As分別為橫斷面的混凝土面積和鋼筋面積；fq′為鋼筋的受壓屈服強(qiáng)度.

利用上述算例，用現(xiàn)行的規(guī)范[21]公式和本文公式分別計(jì)算不同混凝土強(qiáng)度等級(jí)的徐變穩(wěn)定臨界力，對(duì)比結(jié)果如圖3.

圖3 算例的臨界力對(duì)比結(jié)果Fig.3 Critical force comparison results of a numerical example

由圖3可知：管內(nèi)混凝土強(qiáng)度等級(jí)與CFST 柱的穩(wěn)定臨界荷載呈正相關(guān)變化；當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)大于C45 時(shí)，現(xiàn)行混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范的值偏安全；當(dāng)混凝土強(qiáng)度小于C45 時(shí)，現(xiàn)行規(guī)范的值會(huì)大于徐變穩(wěn)定臨界力，鋼管混凝土柱進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)注意徐變失穩(wěn)問(wèn)題.

以長(zhǎng)細(xì)比為控制變量，當(dāng)長(zhǎng)細(xì)比為15、20 和30時(shí)，本文公式的計(jì)算結(jié)果如圖4.

圖4 無(wú)量綱徐變穩(wěn)定臨界力與時(shí)間曲線Fig.4 Critical force time curve with different slenderness ratio

由圖4可知：長(zhǎng)細(xì)比與徐變穩(wěn)定臨界力呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；徐變穩(wěn)定臨界力與時(shí)間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，在前2月時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定臨界力下降明顯；在2月之后下降平緩，在100 d 后逐漸趨近于穩(wěn)定極限值.分析彈性穩(wěn)定臨界力式（41）和圖4可知，長(zhǎng)細(xì)比對(duì)軸壓柱的影響主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)形式上，即體現(xiàn)在不考慮徐變的軸壓柱穩(wěn)定性分析中（即FPcr）.

5 結(jié) 論

（1）基于能量法和按照齡期調(diào)整的有效模量法，應(yīng)用失穩(wěn)條件，推導(dǎo)了考慮徐變和初始缺陷的3 種邊界條件鋼管混凝土柱的長(zhǎng)期穩(wěn)定極限荷載計(jì)算式，計(jì)算表達(dá)式簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，能較好地反映徐變作用對(duì)穩(wěn)定承載力的影響.

（2）考慮長(zhǎng)期作用的鋼管混凝土柱穩(wěn)定臨界力與徐變系數(shù)有關(guān)，相同計(jì)算長(zhǎng)度但不同邊界條件的該類柱徐變穩(wěn)定臨界力一致；隨管內(nèi)混凝土強(qiáng)度的增加，徐變對(duì)構(gòu)件穩(wěn)定臨界力的影響會(huì)削弱.

（3）當(dāng)按現(xiàn)行混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范對(duì)管內(nèi)混凝土強(qiáng)度等級(jí)低于C45 的鋼管混凝土柱進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)注意徐變失穩(wěn)問(wèn)題；鋼管混凝土柱的徐變穩(wěn)定承載力在前60 d 下降明顯且占總下降量約80%，在100 d 后承載力逐漸趨于穩(wěn)定.

（4）長(zhǎng)細(xì)比與徐變穩(wěn)定臨界力呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；長(zhǎng)細(xì)比對(duì)軸壓柱的影響主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)形式上，即體現(xiàn)在不考慮徐變的軸壓柱穩(wěn)定性分析中.