基于常Q模型的分數(shù)階粘彈介質(zhì)數(shù)值模擬方法

楊佩城， 韓立國， 蔡中正

(吉林大學 地球探測科學與技術學院，長春 130026)

0 引言

地震波在實際地下傳播過程中，經(jīng)歷了大地濾波作用后，將導致能量的衰減和相位的錯動。能量的衰減將嚴重影響勘探的深度；相位的錯動則將影響構(gòu)造位置的確定。早期的波場模擬和成像并未考慮這些衰減因素，對油氣勘探造成了一定程度的誤導。隨著近年來勘探精度要求的提高，基于粘滯波動方程的正演和偏移算法也已經(jīng)得到越來越多的重視。Kjartansson[1]提出的常Q模型，認為與地震勘探頻率有關的頻段內(nèi)，Q值不隨頻率變化。近些年常Q模型得到了廣泛地研究和應用。Zhang等[2]提出了一種基于Kjartansson常Q模型的分數(shù)階粘彈性波動方程，該方程中相位校正項與衰減補償項是解耦的；Deng 等[3]研究了基于標準線性體模型的逆時偏移衰減補償，此方法能夠在地震波傳播過程中對全路徑進行振幅補償和相位校正，從而克服了反Q濾波方法的局限性；張平等[4]運用譜元法，對地震波在各向異性粘彈性介質(zhì)中的傳播進行了波場模擬以及分析；孟凡順等[5]推導了二維非均勻黏滯性介質(zhì)中地震波傳播的二階顯示差分格式，并實現(xiàn)了對任意復雜地質(zhì)體黏滯性波場進行的正演模擬。此外，為了提高計算效率，王德利等[6]使用MPI進行三維標準線性體波動方程有限差分并行數(shù)值模擬。

近年來，基于常Q模型，有一種包含非整數(shù)階的波動方程被提出[7]。有研究表明，分數(shù)階波動方程能更好地刻畫地震波在粘彈性介質(zhì)中的衰減和頻散過程[8]。Carcione[9-10]采用Grunwald-Letnikov逼近方法近似求解時間分數(shù)階波動方程，實現(xiàn)了粘滯聲波和彈性波的波場模擬。然而，計算時間分數(shù)階偏導數(shù)需要使用當前時刻以前所有時刻所對應的波場值，這會導致巨大的內(nèi)存需求。為了解決這一問題，Carcione[11]又將時間偏導數(shù)轉(zhuǎn)換為分數(shù)階拉普拉斯算子，該算子可以通過快速傅里葉變換進行計算。這種算法避免了對當前時刻以前所有波場值進行存儲這一問題，同時數(shù)值計算也大為簡化。在此基礎上，Zhu等[12]推導了基于解耦拉普拉斯算子的粘滯波動方程。解耦的拉普拉斯算子含有兩項，其中一項表征振幅衰減，另外一項表征相位錯動。該解耦的拉普拉斯算子應用于逆時偏移(RTM)時，只需將表征振幅衰減的一項取負號，而保持表征相位錯動一項符號不變即可同時實現(xiàn)振幅的補償和相位的校正。最近Zhu等[13- 14]、Wang等[15]、吳玉等[16]發(fā)展了基于這種解耦的分數(shù)階方程的逆時偏移方法,并取得了理想的偏移結(jié)果。

然而解耦的分數(shù)階方程在數(shù)值求解時存在一定的困難。因為該分數(shù)階的階數(shù)是與Q 有關的隨空間變化的的函數(shù)，所以分數(shù)階的拉普拉斯算子就是關于波數(shù)和空間的混合算子，而這個混合域的算子是不能直接進行傅里葉反變換的。Zhu在計算時，簡單地采用了將Q 取空間平均值的辦法，這種做法雖然解決了上述問題，但無疑會引入計算誤差。為了精確求解該分數(shù)階波動方程，Li等[17]使用最小二乘擬合的辦法來近似隨空間變化的拉普拉斯算子；Chen 等[18]、 Sun等[19]使用Low-rank近似方法將混合算子分離并獲得了較高的波場模擬精度；Yao等[20]采用Hermite分布近似函數(shù)(HDAF)來計算分數(shù)階拉普拉斯算子。HDAF方法計算時不依賴于FFT，因此相比于其他方法，具有更好的靈活性和并行性。此外，Chen等還提出了一種基于泰勒展開的方法來近似混合域的拉普拉斯算子，相比于其他方法，這種基于泰勒展開的方法計算量更小，同時具有較高的波場模擬精度。

上述方法都基于分數(shù)階粘滯聲波方程，彈性波方程相比于聲波方程計算更復雜，但其包含的波場信息也更為豐富。因此，發(fā)展分數(shù)階解耦的粘滯彈性波動方程是具有實際意義的。筆者從Zhu所提出的分數(shù)階彈性波動方程出發(fā)，利用泰勒近似的方法分離混合域的拉普拉斯算子，最終推導出一組階數(shù)固定的分數(shù)階粘滯彈性波動方程，從而有效地避免了變分數(shù)階拉普拉斯算子的混合域求解問題。本文所提出的方程只包含速度-應力兩個分量，而Zhu的方程包含應力-應變-速度三個分量。因此我們的方程計算簡單，內(nèi)存占用小更小。另外，筆者采用偽譜法計算分數(shù)階拉普拉斯算子，可以有效地避免空間頻散問題。

1 方法原理

一階速度-應力分數(shù)階粘滯彈性波動方程可以表示為:

(1)

且

(2)

式中：σxx、σxz和σzz表示應力分量;vx和vz表示速度分量;ρ代表密度;cop以及cos為在參考頻率為ω0時的P波和 S波的速度;fx和fz為震源的水平和垂直分量。ηp與ηs為方程中主控相位的參數(shù)，τp與τs為方程中主控振幅的參數(shù)；Mo和μo分別為P波和 S波的模量；γp,s為分數(shù)階的階數(shù)，由其定義可知，γp,s與空間可變的品質(zhì)因子Qp,s有關。對于非均勻介質(zhì)，Zhu采用的取平均值確定γp,s的做法顯然會引入計算誤差。下面將介紹一種更加準確的近似方法。

以式(1)中的第三項為例，假設介質(zhì)均勻，使用廣義傅里葉偽譜方法將其變換到波數(shù)域，可以得到如下表達式：

(3)

且

(4)

(5)

(6)

類似地，方程(1)中的其他項也可以運用上述的方法進行近似，最終推導出新的解耦的分數(shù)階粘滯彈性波方程：

(7)

以及，

(8)

其中，

(9)

對比方程(1)與方程(7)和方程(8)可以發(fā)現(xiàn)，我們推導的新的分數(shù)階方程的階數(shù)是常數(shù)，從而避免了階數(shù)隨空間變化的原方程的求解誤差。

2 實驗結(jié)果

2.1 層狀模型

首先考慮一個簡單的雙層介質(zhì)模型，模型的介質(zhì)參數(shù)如下：上層介質(zhì)縱波速度為3 000 m/s，橫波速度為2 200 m/s，縱橫波的品質(zhì)因子都取為20；下層介質(zhì)縱波速度為4 000 m/s，橫波速度為3 200 m/s，縱橫波的品質(zhì)因子都取為100。理論上，橫波的品質(zhì)因子應該小于縱波品質(zhì)因子，但為了簡便，設置為二者相同。模型尺寸為400×400個網(wǎng)格點，空間采樣間隔為10 m，時間步長為1 ms。水平界面位于深度為2 200 m處。主頻為25 Hz的雷克子波震源位于模型中心。對于該模型，我們采用三種方法進行求解：Zhu的平均求解方法(方程(1))，本文提出的方法(方程(7)和方程(8))，以及Point-wise求解方法。Point-wise方法即為對該層狀模型的上、下兩部分分別求取分數(shù)階的拉普拉斯算子，該方法是精確的，可作為參考解。但是由于該方法需要對每一塊參數(shù)均勻的區(qū)域進行計算，當模型復雜時，Point-wise求解方法將面臨巨大的計算開銷。圖1展示的波場快照中：圖1(a)是采用Zhu的平均方法，圖1(b)是采用本文提出的方法，圖1(c)是采用Point-wise方法，圖1(d)是圖1(a)與圖1(c)的差異，圖1(e)是圖1(b)與圖1(c)的差異，圖1(f)是使用完全彈性波動方程模擬該模型的結(jié)果。所有圖片都顯示在同一色標范圍內(nèi)。由圖1可見：①Zhu的平均求解方法與參考解之間存在較大誤差，本文提出的方法與參考解之間的誤差則很?。虎谙啾扔谕耆珡椥苑匠?，粘滯波動方程模擬的振幅存在明顯衰減。

為了進一步對比，圖2顯示了距離震源1 km處的單道地震記錄。由圖2可見：①相比于完全彈性方程，吸收衰減介質(zhì)不僅造成了地震波振幅的衰減，同時也造成了相位的畸變；②與參考解相比，Zhu的平均求解方法同時造成振幅和相位都存在誤差，而本文提出的方法則很好地匹配了參考解。

圖1 不同方法計算得到的波場快照及其差值Fig.1 Snapshots computed by different methods and their residuals(a)平均方法；(b)本文方法；(c)參考解；(d)為(a)與(c)的差值；(e)為(b)與(c)的差值；(f)完全彈性介質(zhì)的波場快照

圖2 雙層介質(zhì)1 km處單道地震記錄對比Fig.2 Traces computed by different methods of two-layer model at 1 km

圖3 BP模型Fig.3 BP model(a)P波速度；(b)P波品質(zhì)因子

2.2 復雜模型

圖3展示的是經(jīng)典的BP氣云模型，圖3(a)為P波速度Vp模型，S波速度由Vs=Vp/1.73 換算得到；圖3(b)為P波品質(zhì)因子Qp模型，S波品質(zhì)因子由Qs=Qp/1.3 換算得到。采用主頻為20 Hz的雷克子波震源，于(x,z)=(2 000 m，10 m)處激發(fā)，空間采樣間隔為10 m，時間步長為1 ms。由于該模型比較復雜，上述的Point-wise方法則不再使用，這里使用Low-rank分解方法[21]直接對方程(1)進行計算，并取較小的時間步長0.2 ms，將其模擬結(jié)果作為參考解。

圖4中：圖4(a)為Zhu的平均求解方法(方程(1))，圖4(b)為本文提出的方法，以及圖4(c)Low-rank方法模擬的單炮記錄。圖5則是對應的(x,z)=(1 500 m，10 m)處的地震記錄，由圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn)，對于非均勻介質(zhì)，平均方法求解的地震記錄與參考解之間存在較為明顯的誤差；而本文提出的新的解耦分數(shù)階粘滯波動方程的模擬結(jié)果幾乎與參考解完全吻合。

圖4 不同方法計算得到的單炮記錄Fig.4 The common-shot gathers calculated by different methods(a)平均方法；(b)本文方法；(c)Low-rank方法(參考解)

圖5 BP模型1 km處單道地震記錄對比Fig.5 Traces computed by different methods of BP model at 1 km

3 結(jié)論

筆者在基于常Q模型的解耦分數(shù)階粘滯彈性波動方程基礎上，推導了更加適合于非均勻介質(zhì)模擬的固定分數(shù)階的解耦粘滯彈性波方程。該方程中的拉普拉斯算子的階數(shù)是固定的，從而避免了由于平均階數(shù)方法引入的數(shù)值誤差。通過數(shù)值算例已經(jīng)說明，無論對于簡單的層狀模型還是復雜的BP模型，本文推導的新方程都具有較好的精度。同時，本文的一階方程中，只包含速度-應力兩個分量，因此占用更小的內(nèi)存開銷。該方程利用交錯網(wǎng)格偽譜法求解，可以有效地避免空間數(shù)值頻散。本文發(fā)展的固定分數(shù)階的解耦粘滯彈性波方程，可用于粘彈性介質(zhì)的衰減補償逆時偏移。