NMF在古書(shū)畫(huà)混合顏料光譜分析中的應(yīng)用

尹琴麗，王 笑，耿 丹，李丹彤

（建設(shè)綜合勘察研究設(shè)計(jì)院有限公司，北京 100007）

1 研究背景

隨著時(shí)間的流逝，古書(shū)畫(huà)由于環(huán)境氣候改變、人為損壞等因素的影響會(huì)出現(xiàn)發(fā)霉、污損、破損、褪色等情況。為了更好地留存和展示古書(shū)畫(huà)作品的價(jià)值，往往需要對(duì)其進(jìn)行顏色修復(fù)和復(fù)制，濃墨重彩的中國(guó)畫(huà)在繪制過(guò)程中往往是幾種礦物顏料混合調(diào)配使用，因而混合顏料種類(lèi)分析一直是文物保護(hù)和修復(fù)中的重要環(huán)節(jié)。

目前有很多技術(shù)手段可用于古書(shū)畫(huà)顏料類(lèi)別的鑒定，如激光拉曼光譜[1-2]、X射線熒光[3]，但因受儀器試樣尺寸大小、樣品表面平整度等因素的限制，加上一定量的取樣分析，使得古書(shū)畫(huà)顏料分析面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。光譜分析技術(shù)由于具有快速、無(wú)損等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在古書(shū)畫(huà)顏料分析中。

王麗琴等[4]利用光導(dǎo)纖維反射光譜法對(duì)彩繪文物中的表面顏料進(jìn)行了研究，總結(jié)了常見(jiàn)的純凈顏料的反射光譜特性，并將其一階導(dǎo)數(shù)峰作為鑒定顏料種類(lèi)的依據(jù)。補(bǔ)雅晶等[5]通過(guò)光譜輻射度計(jì)采集敦煌壁畫(huà)的光譜，然后與敦煌典型色彩光譜樣本集中的顏料進(jìn)行相似度判別，識(shí)別壁畫(huà)顏料信息。武望婷等[6]通過(guò)將采集的古畫(huà)顏料波譜曲線與標(biāo)準(zhǔn)波譜庫(kù)進(jìn)行匹配，結(jié)合拉曼、熒光等測(cè)試結(jié)果，分析得出紅色、黑色、黃色和藍(lán)色的主要成分分別是朱砂、炭黑、雄黃以及群青。武鋒強(qiáng)等[7]利用拉曼與高光譜特征擬合方法識(shí)別古畫(huà)顏料成分，結(jié)果表明受混合像元的影響，顏料的光譜曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線相差甚大，直接與標(biāo)準(zhǔn)波譜庫(kù)（USGS）相匹配，識(shí)別精度較低。

事實(shí)上，混合顏料的鑒定比單一顏料的鑒定更為復(fù)雜，考慮到實(shí)際繪畫(huà)過(guò)程中多種顏料混合使用的情況[8]，若將采集的顏料光譜視為純凈顏料直接與光譜庫(kù)中的光譜進(jìn)行匹配，而沒(méi)有考慮混合顏料對(duì)光譜的影響，則難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的顏料識(shí)別效果。

本文將混合光譜看作是多源混合信號(hào)，把混合光譜中端元提取的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成統(tǒng)計(jì)信號(hào)的分離問(wèn)題，從而提出了一種基于NMF的混合顏料光譜分析算法。該算法在端元光譜未知的情況下，首先使用NMF對(duì)混合顏料光譜直接進(jìn)行分離，得到構(gòu)成混合顏料光譜的端元光譜，然后將分離得到的端元光譜與顏料光譜庫(kù)進(jìn)行對(duì)比分析，最終確定混合顏料的組成成分。該算法在模擬仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)混合顏料樣本數(shù)據(jù)中進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該算法能夠?qū)旌项伭瞎庾V的組成成分進(jìn)行準(zhǔn)確的分析。

2 基于NMF的混合顏料光譜分析算法

2.1 混合顏料光譜模型

礦物之間的混合可分為線性混合和非線性混合，區(qū)分這兩種作用類(lèi)型的標(biāo)準(zhǔn)就在于入射光子與礦物間是否發(fā)生多次折射或反射等情況[9]。若礦物之間混合非常緊密，可認(rèn)為是非線性混合，其他則可以視為是線性混合。王潤(rùn)生等[10]通過(guò)研究不同礦物組合對(duì)應(yīng)的混合光譜特征結(jié)果表明，混合礦物的光譜反射率近似為混合單礦物光譜反射率的線性混合。古書(shū)畫(huà)中使用的礦物顏料本質(zhì)上是礦物，遵循礦物混合的規(guī)律。因此在對(duì)混合顏料光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，可以將其視為線性混合模型來(lái)處理。線性混合模型可表示為：

式中：X∈R^（l×n）表示混合顏料光譜矩陣；A∈R^（l×m）表示端元光譜矩陣；S∈R^（m×n）為端元光譜的豐度矩陣。l,m,n分別表示光譜波段數(shù)，組成混合顏料光譜的端元個(gè)數(shù)，混合顏料光譜的采集數(shù)量。Q∈R^（l×n）為誤差矩陣。根據(jù)光譜數(shù)據(jù)的實(shí)際物理意義，端元光譜矩陣需要滿(mǎn)足非負(fù)性的約束條件（a_ij≥0,a_ij∈A），豐度矩陣則需要同時(shí)滿(mǎn)足非負(fù)性以及和為1 的約束條件（s_ij≥0,∑_(i=1)^m〖s_ij=1〗,s_ij∈S）。

2.2 非負(fù)矩陣分解算法

NMF是在矩陣中所有元素均為非負(fù)數(shù)的約束條件之下的矩陣分解方法，能夠?qū)⒁粋€(gè)非負(fù)矩陣兩個(gè)低秩非負(fù)矩陣相乘的形式。NMF的數(shù)學(xué)模型為：已知V為一個(gè)非負(fù)矩陣，尋找兩個(gè)非負(fù)矩陣W和H，使其滿(mǎn)足

式中：V∈R^（l×n）；W∈R^（l×m）；H∈R^（m×n）；E∈R^（l×n）。矩陣V可以看作是一個(gè)由采集到的樣本列向量組成的觀測(cè)數(shù)據(jù)集合，矩陣W由構(gòu)成樣本列向量的基向量組成，矩陣H表示每個(gè)基向量在樣本列向量所占的權(quán)重系數(shù)，E為誤差矩陣。

若不考慮誤差的情況下，NMF的數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)化為：

在已知矩陣V需要求解矩陣W和H時(shí)，可以將其視為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)定義目標(biāo)函數(shù)和選擇合適的優(yōu)化方法來(lái)求解矩陣W和H。常用目標(biāo)函數(shù)為最小化歐式距離：

對(duì)目標(biāo)函數(shù)使用梯度下降法進(jìn)行迭代求解，使目標(biāo)函數(shù)最小化，就可求得矩陣W和H。

混合顏料光譜的線性混合模型與NMF的數(shù)學(xué)模型一致，從而可以將NMF應(yīng)用于混合光譜數(shù)據(jù)分離。純凈顏料的光譜就是一組基向量，使用NMF求解出這組基向量，就可以得到了構(gòu)成混合光譜的端元光譜。

3 實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證基于NMF的混合顏料光譜分析算法的有效性，算法會(huì)在模擬仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)混合顏料樣本數(shù)據(jù)中進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)首先將利用NMF算法對(duì)混合光譜進(jìn)行分離，得到分離出來(lái)的分量光譜，通過(guò)計(jì)算分量光譜與標(biāo)準(zhǔn)波譜庫(kù)中光譜的相似性來(lái)確定顏料的種類(lèi)。光譜相似性評(píng)價(jià)的指標(biāo)有相關(guān)系數(shù)、均方根誤差等，其中相關(guān)系數(shù)為：

均方根誤差為：

式中：A和B為進(jìn)行相似性比較的光譜；n為波段數(shù)。相關(guān)系數(shù)越大，代表兩條光譜之間相似度越高；均方根誤差越小，表示兩條光譜之間的距離越接近，偏離越小，相似度越高。

3.1 模擬仿真數(shù)據(jù)

為研究不同濃度的差異對(duì)分離結(jié)果的影響，采用美國(guó)地質(zhì)勘探局礦物波譜庫(kù)中的朱砂和石青為端元光譜進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)（圖1）。按照端元豐度非負(fù)和端元豐度之和為1的約束條件，模擬生成5條豐度不同的混合光譜（圖2）。

模擬混合光譜經(jīng)過(guò)算法分離后進(jìn)行光譜歸一化的結(jié)果表明，不同豐度的光譜確實(shí)能夠引起分離出的端元光譜的變化，主要表現(xiàn)在隨著豐度的不斷變化，分離出來(lái)的光譜在波譜的吸收深度、吸收峰面積等參數(shù)上有不同之處，經(jīng)過(guò)歸一化處理后差異較小，從整體的波形來(lái)看走向幾乎一致，具有良好的穩(wěn)定性（圖3）。

判斷分離質(zhì)量的優(yōu)劣，穩(wěn)定性是一個(gè)重要的指標(biāo)，其次還需要衡量分離出來(lái)的分量與端元光譜之間的相似程度。以75%朱砂、25%石青和25%朱砂、75%石青的混合光譜為例，計(jì)算了分離出來(lái)的分量與端元光譜之間的相關(guān)系數(shù)（圖4）。

從圖4的結(jié)果來(lái)看，分離出來(lái)的分量與端元光譜的相似性較高，其中分量NMF2與石青相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.999，朱砂與分量NMF1的相關(guān)系數(shù)也達(dá)到了0.971。從模擬數(shù)據(jù)的分離結(jié)果來(lái)看，在不考慮誤差的情況下，NMF算法的穩(wěn)定性好，重復(fù)性高，分離出來(lái)的分量的精度也相對(duì)較高，能夠適用于混合光譜分離的需要。

3.2 實(shí)測(cè)混合顏料樣本數(shù)據(jù)

為了研究非負(fù)矩陣分解算法在實(shí)際礦物顏料混合光譜分離的效果，進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性、實(shí)用性，制作了石青與石黃的混合顏料樣本，將其按照一定的比例相混合，得到5條豐度不同的混合光譜（表1）。

表1 混合顏料豐度值

將礦物顏料石青和石黃粉末，通過(guò)缽體研磨過(guò)篩之后，利用千分位0.001 g精密分析電子天平進(jìn)行精準(zhǔn)稱(chēng)量。然后將所稱(chēng)量的顏料加入等量的膠液繪制于4 cm×4 cm宣紙上，模擬實(shí)際繪畫(huà)環(huán)境。采集光譜數(shù)據(jù)所用的儀器是地物波譜儀（ASD），光譜范圍為350 ～ 2 500 nm，光譜分辨率可在350 ～ 1 000 nm波段之間為3 nm，在1 000～2 500 nm波段之間為8 nm（圖5、圖6）。

以制備的5種豐度不同混合顏料光譜的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為原始輸入光譜數(shù)據(jù)，圖7給出了石青與石黃的混合顏料光譜經(jīng)過(guò)NMF算法分離出來(lái)的結(jié)果。為了更客觀地評(píng)價(jià)該算法的分離效果，分別計(jì)算了分離出來(lái)的分量1和分量2與實(shí)測(cè)端元光譜的相關(guān)系數(shù)和均方根誤差（表2）。

表2 NMF算法分離效果評(píng)價(jià)結(jié)果

從匹配結(jié)果來(lái)看（圖7），實(shí)測(cè)的混合顏料光譜的分離出來(lái)的分量光譜與端元光譜相似度較高，光譜形狀基本一致，相關(guān)系數(shù)均較高，而且從分離出來(lái)的分量的精度、重現(xiàn)性以及穩(wěn)定性來(lái)看，NMF算法較好實(shí)現(xiàn)了混合光譜的分離，分離的結(jié)果能夠滿(mǎn)足顏料識(shí)別的要求。

4 結(jié)束語(yǔ)

混合顏料分離是混合顏料分析的基礎(chǔ)，本文通過(guò)采集混合顏料的光譜，利用非負(fù)矩陣分解算法對(duì)光譜進(jìn)行分離，將分離得到的結(jié)果作為構(gòu)成混合顏料光譜的端元光譜，突破了端元未知對(duì)混合顏料光譜分離的限制，進(jìn)而通過(guò)分離出來(lái)的端元光譜與顏料光譜庫(kù)的光譜進(jìn)行匹配，確定顏料的種類(lèi)，為古書(shū)畫(huà)混合顏料的分析提供了一種更為高效、無(wú)損的分析方法。但由于NMF算法采用的目標(biāo)函數(shù)非凸性的特點(diǎn)，具有多個(gè)極值點(diǎn)，計(jì)算得到的結(jié)果可能不是全局最優(yōu)解，后續(xù)將研究如何選擇更合適的初值矩陣，以獲得更好的分離效果。