基于嚙合線積分的直齒輪副嚙合效率計算方法

王 成

(濟(jì)南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 山東 濟(jì)南 250022)

齒輪是應(yīng)用最為廣泛的傳動機(jī)構(gòu)，其傳動效率問題越來越為人們所重視，國內(nèi)外學(xué)者做了較為深入的研究，取得了大量的成果。Xu等[1]提出了一種預(yù)測平行軸齒輪副傳動效率的計算模型；Kolivand等[2]針對銑齒和滾齒兩種切削方式，提出了一種新的螺旋錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合效率的計算模型；Pedrero等[3]應(yīng)用載荷分布的非均勻模型和摩擦因數(shù)沿接觸路徑的簡化非均勻模型，研究了不同傳動比下漸開線直齒輪的嚙合效率；Wang等[4]基于輪齒嚙合仿真分析，提出了一種精確計算漸開線斜齒輪滑動摩擦功率損失的方法，該方法考慮了齒輪修形、加工誤差和安裝誤差；Wang等[5]又進(jìn)一步研究了動態(tài)工況下斜齒輪傳動效率的計算方法。目前，計算齒輪副嚙合效率的方法眾多，但其中大部分方法比較繁瑣，更為重要的是，它們與齒輪設(shè)計參數(shù)之間的關(guān)系是隱式而非顯式，即無法直觀地反映齒輪嚙合效率與齒輪設(shè)計參數(shù)之間的關(guān)系。

與其他計算齒輪嚙合效率的方法相比，沿嚙合線積分法的精度稍低，但該方法能夠直接建立齒輪嚙合效率與齒輪設(shè)計參數(shù)之間的關(guān)系。姚建初等[6]利用連續(xù)函數(shù)積分中值定理，推導(dǎo)了內(nèi)外嚙合齒輪的效率計算公式，研究了齒輪齒數(shù)和傳動比對內(nèi)外齒輪嚙合效率的影響；周哲波[7]利用沿嚙合線積分的方法，推導(dǎo)了直齒輪和斜齒輪滑動摩擦功率損失和滾動摩擦功率損失的數(shù)學(xué)模型；王成等[8]利用沿嚙合線積分的方法，建立了斜齒輪的嚙合效率模型，進(jìn)而推導(dǎo)了齒輪設(shè)計參數(shù)與齒輪嚙合效率之間的關(guān)系；楊劍飛等[9]結(jié)合嚙合過程中齒面載荷、時變齒面摩擦力和單雙齒嚙合特性，推導(dǎo)出了一對直齒輪輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合的嚙合效率；楊世平等[10]利用平均齒面摩擦因數(shù)代替固定值，通過沿嚙合線積分的方法，建立了直齒輪外嚙合的效率模型，進(jìn)而獲得了齒輪設(shè)計參數(shù)對齒輪嚙合效率的影響規(guī)律；趙自強等[11]研究了分流型內(nèi)平動齒輪傳動裝置的嚙合效率/傳動效率，得出大傳動比的分流型內(nèi)平動齒輪傳動具有很高傳動效率的結(jié)論。然而，目前在該方法的應(yīng)用中，計算的均為一對輪齒從嚙入到嚙出的嚙合效率，而非一對齒輪傳動的嚙合效率，就一對齒輪副傳動而言，這樣計算得到的齒輪嚙合效率并不符合齒輪連續(xù)傳動的實際情況。

圖1 一對齒輪連續(xù)傳動示意圖

圖2 齒輪副瞬時接觸點示意圖

針對上述問題，本文從一對齒輪連續(xù)傳動的過程入手，利用沿嚙合線積分的方法，建立一對直齒輪副嚙合效率的計算公式，進(jìn)而推導(dǎo)齒輪設(shè)計參數(shù)與齒輪嚙合效率之間的關(guān)系。

1 一對直齒輪副連續(xù)傳動過程

以一對直齒圓柱齒輪為例，假定其重合度1<ε<2，圖1為其連續(xù)傳動示意圖。B1B3段和B2B4段為雙齒嚙合區(qū)，B3B4為單齒嚙合區(qū)。一對齒輪連續(xù)傳動可以描述為：輪齒對k在B1B3段嚙合，它的前一對輪齒對k-1在B2B4段嚙合，當(dāng)輪齒對k-1退出嚙合時，輪齒對k開始在B3B4段嚙合，當(dāng)輪齒對k嚙合到B4點時，它的后一對輪齒對k+1進(jìn)入嚙合，當(dāng)輪齒對k由B4點嚙合到B2點時，輪齒對k+1由B1點嚙合到B3點，進(jìn)而完成了一個嚙合周期。

目前在采用沿嚙合線積分法求齒輪副嚙合效率時，僅是沿嚙合線B1B2積分，未考慮多對輪齒的嚙合情況，因此這樣得到的僅是一對輪齒從嚙入到嚙出的嚙合效率，而非一對齒輪傳動的嚙合效率。

2 單對齒輪副瞬時接觸點嚙合效率的計算

圖2為一對齒輪副瞬時接觸點示意圖。當(dāng)主動輪1的齒根與從動輪2的齒頂接觸時，它們在B1點進(jìn)入嚙合，嚙合點沿著主動輪1的齒根向齒頂移動，沿著從動輪2的齒頂向齒根移動，當(dāng)嚙合點移動到主動輪的齒頂和從動輪的齒根時，它們在B2點退出嚙合。在嚙合過程中，主動輪漸開線上的壓力角逐漸增大，從動輪漸開線上的壓力角逐漸減小，二者在節(jié)點P處相等，即在PB1段，αk1<αk2，在PB2段，αk1>αk2。

文獻(xiàn)[6]分別給出了PB1段和PB2段上單對齒輪副瞬時接觸點嚙合效率的計算公式，這里相應(yīng)的推導(dǎo)過程不再詳細(xì)給出。

PB1段，單對齒輪副瞬時接觸點嚙合效率ηd的計算公式為

(1)

PB2段，單對齒輪副瞬時接觸點嚙合效率ηd的計算公式為

(2)

式(1)和(2)中，μ為齒面摩擦因數(shù)，αk1為主動輪漸開線上K1點的壓力角，αk2為從動輪漸開線上K2點的壓力角，x為嚙合點距離節(jié)點P的距離，rb1為主動輪基圓半徑，rb2為從動輪基圓半徑。

3 直齒輪副嚙合效率的計算

為了直觀起見，將嚙合線平置，嚙合線被分成了4段(圖3)，分別計算各段的長度，進(jìn)而確定各段距離節(jié)點P的位置。

PB4=Pb-PB1=πmcosα-PB1,

(3)

(4)

PB3=Pb-PB2=πmcosα-PB2,

(5)

(6)

圖3 齒輪連續(xù)傳動過程中各段嚙合線

分別沿各段積分，得到每段的嚙合效率：

(7)

(8)

(9)

(10)

式(7)—(10)中參數(shù)的含義與式(1)—(6)中的相同。

根據(jù)齒輪實際嚙合情況，一對輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合，其前一對輪齒和后一對輪齒分別在B2B4段和B1B3段嚙合，即B2B4段和B1B3段經(jīng)歷了2次嚙合。由此，一對齒輪在一個嚙合周期中實際嚙合線的長度可以表示為

BB=B1B2+B1B3+B2B4=3B1B2-2Pb,

(11)

一對齒輪副嚙合的平均嚙合效率可以表示為

(12)

而目前采用沿嚙合線積分法所獲得的齒輪副的平均嚙合效率計算公式為

(13)

圖4 齒輪設(shè)計參數(shù)

對比公式(12)和(13)發(fā)現(xiàn)：公式(13)中的B1B2為單對輪齒實際嚙合線長度，而公式(12)中的BB則完整考慮了一對齒輪嚙合的一個周期；公式(13)僅考慮了一對輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合的嚙合效率，而公式(12)則考慮了一對齒輪嚙合的一個周期中全部輪齒參與嚙合的情況。因此，通過公式(12)計算得到的齒輪嚙合效率符合齒輪連續(xù)傳動的實際情況。與公式(13)相比，公式(12)更能真實地反映一對齒輪的嚙合效率。

4 齒輪設(shè)計參數(shù)與嚙合效率關(guān)系

表1 齒輪設(shè)計參數(shù)與齒輪嚙合效率之間的關(guān)系

從表1中可以看出，對于標(biāo)準(zhǔn)齒輪，在滿足設(shè)計要求的前提下，適當(dāng)增加齒輪的齒數(shù)和傳動比以及采用良好的潤滑，可以提高齒輪副的嚙合效率。

5 結(jié) 論

針對目前沿嚙合線積分法求齒輪嚙合效率所存在的問題，提出了一種計算直齒輪副嚙合效率的方法:

(1)計算得到了一對齒輪連續(xù)傳動過程中各段嚙合線的長度并推導(dǎo)出了每段的嚙合效率;

(2)根據(jù)一對齒輪嚙合的一個周期中實際嚙合線長度和實際嚙合線段的嚙合效率，計算得到了齒輪副的平均嚙合效率;

(3)推導(dǎo)出了齒輪設(shè)計參數(shù)與齒輪嚙合效率之間的關(guān)系，得出對于標(biāo)準(zhǔn)齒輪，在滿足設(shè)計要求的前提下，適當(dāng)增加齒輪的齒數(shù)和傳動比以及采用良好的潤滑，可以提高齒輪副的嚙合效率。