變截面旋轉(zhuǎn)裂紋梁橫向振動特性的研究

韓偉，毛崎波，田文昊

(南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063)

0 引 言

在航空工程中，有很多梁結(jié)構(gòu)處于旋轉(zhuǎn)運動狀態(tài)，如螺旋槳、渦輪葉片等。這些結(jié)構(gòu)在復雜惡劣的自然環(huán)境中長期處于高強度、高負荷運行狀態(tài)，容易出現(xiàn)裂紋損傷。因此，對這些結(jié)構(gòu)進行健康監(jiān)測十分必要，以振動測試技術(shù)為代表的無損檢測技術(shù)具有實時、高效、環(huán)境適應(yīng)性強等優(yōu)點，逐漸引起了國內(nèi)外眾多學者的廣泛關(guān)注[1-4]。而對損傷結(jié)構(gòu)進行動力特性分析是進行無損檢測的重要基礎(chǔ)。目前大部分研究主要集中在非旋轉(zhuǎn)損傷梁結(jié)構(gòu)的動力特性的研究，如大跨度橋梁、橋式起重機等，而對于螺旋槳、渦輪葉片等旋轉(zhuǎn)梁的裂紋損傷動力特性的研究，至今只有少量文獻涉及。

Liu C等[5]提出了一種裂紋六面體有限元法，用于裂紋葉片的動態(tài)分析，解決轉(zhuǎn)子系統(tǒng)葉片裂紋建模精度與效率之間的矛盾。喬社寧等[6]通過搭建風機在自由懸掛狀態(tài)下的試驗模態(tài)分析平臺，分別在無裂紋和不同裂紋深度等8種情況下對葉片振動特性進行了試驗研究。研究結(jié)果表明：離心式風機葉輪結(jié)構(gòu)固有頻率隨裂紋深度的增加而單調(diào)下降，裂紋越深，固有頻率下降越快。范博楠等[7]研究了葉盤葉片進氣及出氣邊產(chǎn)生的橫向貫穿型裂紋的分布位置及深度變化對葉片一階彎曲振動特性的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當葉片進氣或出氣邊位置閾值內(nèi)出現(xiàn)裂紋及擴展時，一階彎曲振動頻率會小于正常值，此時葉片的一階彎曲共振區(qū)域會增大。蔣憲宏等[8]對具有剛?cè)狁詈闲?yīng)的帶裂紋旋轉(zhuǎn)柔性梁進行建模和動力學特性分析研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：裂紋梁的固有頻率與裂紋處的彎矩正相關(guān)。J.W.Lee等[9]基于局部柔度模型模擬裂紋效應(yīng)，用冪級數(shù)法結(jié)合傳遞矩陣法求解了含裂紋旋轉(zhuǎn)梁振動特性，并討論了轉(zhuǎn)速與損傷程度對梁結(jié)構(gòu)振動特性的聯(lián)合影響機理。但是上述方法主要是針對等截面梁，且過程較為繁瑣，計算程序復雜。

本文采用Frobenius方法將文獻[9]等截面梁模型推廣到高度和寬度均可按任意比例線型變化的梁體，提出一種求解變截面旋轉(zhuǎn)裂紋梁橫向振動特性的新方法，并通過數(shù)值算例驗證該方法的有效性以及文獻[9]中的結(jié)論，此外還研究裂紋位置和深度對振動特性的影響。

1 含裂紋梁局部柔度模型

以旋轉(zhuǎn)懸臂梁為基礎(chǔ)建立裂紋梁局部柔度模型，如圖1所示。梁上含有n個開口裂紋，第i個裂紋距梁固定端的距離為xi，深度為hi，由文獻[10]可知，裂紋可用無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧模擬。

圖1 含裂紋旋轉(zhuǎn)梁局部柔度模型

梁的長度為L，梁的密度和彈性模量分別為ρ、E，轉(zhuǎn)軸半徑為r，轉(zhuǎn)速為Ω，梁截面為矩形，其高度h(x)和寬度b(x)沿x軸方向減小，可以表示為

(1)

(2)

式中：h0和b0分別為梁固定端截面的高度和寬度；ch和cb分別為高度和寬度的漸變系數(shù)；當cb，ch均為0時，為均勻梁。

基于歐拉-伯努利梁理論，第i段完整梁的橫向自由振動微分方程[11]為

(3)

x∈[xi-1,xi]，A(x)和I(x)分別是橫截面積和慣性矩，T(x)是旋轉(zhuǎn)梁所受離心力，可表示為

A(x)=b(x)h(x)

(4)

(5)

(6)

2 梁振動方程的Frobenius方法解

根據(jù)振動分析理論可知，梁的橫向位移函數(shù)可分離為空間函數(shù)和時間函數(shù)，即方程(3)的解具有如下形式：

w(x,t)=φ(x)eiωt

(7)

將式(7)代入式(3)進行變量分離并將變量無量綱化，可得

(8)

根據(jù)Frobenius方法[12]，第i段完整梁的自由振動位移可以表示為

Φi(X)=N1iF1(X)+N2iF2(X)+N3iF3(X)+

N4iF4(X)

(9)

裂紋梁邊界條件為

(10)

(11)

由文獻[10]可知，在第i條裂紋處連續(xù)性條件為

(12)

式中：Xi為裂紋相對位置，Xi=xi/L。θi為梁的第i條裂紋引起的無量綱柔度[13]。

θi=5.346h0·J(si)

(13)

(14)

式中：si為相對裂紋深度，si=hi/h0。

由于式(13)中的無量綱柔度θi為J(si)和固定端截面高度h0的函數(shù)，因此必須給定梁的固定端截面高度h0才能得到無量綱柔度θi。

聯(lián)合邊界條件、裂紋處連續(xù)性條件、質(zhì)量塊處連續(xù)性條件可以得到由4(n+1)個方程組成的齊次線型方程組：

K(λ)N=0

(15)

式中：

|K(λ)|=0

(16)

由式(16)可解出無量綱固有頻率λ。

3 數(shù)值模擬

3.1 方法有效性驗證

為了驗證本文方法的有效性，以圖1所示的旋轉(zhuǎn)裂紋梁為研究對象，設(shè)置其彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7 850 kg/m3，轉(zhuǎn)軸半徑r=0 mm，梁長L=800 mm，轉(zhuǎn)速Ω=300 rad/s，固定端截面寬度b0=30 mm，高度h0=10 mm，相對裂紋深度s=0.5，寬度漸變系數(shù)cb=0，高度漸變系數(shù)cb=0～0.8，采用本文方法計算得到裂紋位于Xc=0.2,0.4,0.8三種工況下的前四階固有頻率，并將結(jié)果與文獻[9]進行比對。文獻[9]僅給出了等截面梁的結(jié)果，包含在本文的結(jié)果中。因之前在Frobenius方法的計算推導過程中對振動控制方程進行了無量綱化處理，使得關(guān)于旋轉(zhuǎn)梁的各參數(shù)(轉(zhuǎn)速Ω、轉(zhuǎn)軸半徑等r)無量綱化，而文獻[9]中的各參數(shù)均是有量綱的，故需先對文獻[9]中的各參數(shù)(轉(zhuǎn)速Ω、轉(zhuǎn)軸半徑r)進行無量綱化處理得到無量綱化的各參數(shù)(轉(zhuǎn)速U、轉(zhuǎn)軸半徑R)，再運用本文方法計算得到無量綱化的固有頻率λ，然后將無量綱固有頻率有量綱化。

裂紋位于Xc=0.2,0.4,0.8三種工況下的前四階固有頻率如表1～表3所示，可以看出：采用本文方法計算得到的前四階固有頻率與文獻[9]中的結(jié)果匹配良好；隨著高度漸變系數(shù)的增加，一階固有頻率呈現(xiàn)遞增趨勢，而其他三階頻率均呈現(xiàn)下降趨勢。這是因為影響變截面梁基頻的主要因素為其根部的質(zhì)量比重，而影響較高階頻率的主要因素為梁的平均柔度。

表1 含裂紋旋轉(zhuǎn)梁前四階固有頻率(Xc=0.2,x=0.5)

表2 含裂紋旋轉(zhuǎn)梁前四階固有頻率(Xc=0.4,x=0.5)

表3 含裂紋旋轉(zhuǎn)梁前四階固有頻率(Xc=0.8,x=0.5)

3.2 裂紋位置和深度對梁振動頻率的影響分析

為了進一步研究開口裂紋損傷對變截面旋轉(zhuǎn)梁振動頻率的影響，設(shè)置無量綱轉(zhuǎn)速U=3，無量綱轉(zhuǎn)軸半徑R=1，厚度h0=0.02 m，寬度漸變系數(shù)cb=0.3，高度漸變系數(shù)ch=0.5，裂紋相對位置Xc在固定端和自由端之間移動，相對裂紋深度s=0,0.1,0.2,0.4，前三階無量綱固有頻率隨裂紋位置和深度的變化情況如圖2～圖4所示。

圖2 一階固有頻率變化

圖3 二階固有頻率變化

圖4 三階固有頻率變化

從圖2～圖4可以看出：隨著裂紋深度的增加，梁的前三階固有頻率均有逐漸減小的趨勢，當裂紋位于固定端附近時，對固有頻率的影響最大，對于第一階固有頻率，當裂紋向自由端移動時，裂紋損傷對其影響逐漸減弱，當裂紋移動至接近Xc=0.8時，梁的固有頻率幾乎不再變化；對于第二階固有頻率，當裂紋位于Xc=0.25,0.95附近時，無論裂紋深度如何變化，均不會對其造成影響，即為無效損傷位置；對于第三階頻率，當裂紋位于Xc=0.15,0.55,0.95附近時，為無效損傷位置。

3.3 損傷程度和轉(zhuǎn)速對梁振動頻率的聯(lián)合影響分析

下面討論損傷程度和轉(zhuǎn)速同時變化時前兩階固有頻率的變化情況。以鋼制矩形變截面單裂紋懸臂梁為算例，設(shè)定彈性模量E=200 GPa，密度ρ=785 0 kg/m3，梁長L=1 m，固定端截面寬度b0=0.1 m，高度h0=0.1 m，轉(zhuǎn)軸半徑r=0.5 m，寬度漸變系數(shù)cb=0.1，高度漸變系數(shù)ch=0.3，梁的轉(zhuǎn)速n在0～10 000 rpm之間漸變，相對裂紋深度s在0～0.5之間漸變。由前述分析可知，當裂紋位于固定端附近時，前兩階固有頻率均出現(xiàn)最大衰減，為了體現(xiàn)裂紋損傷的影響，在數(shù)值計算中，設(shè)置裂紋相對位置為Xc=0.05。計算得到轉(zhuǎn)速和相對裂紋深度連續(xù)變化時梁的前兩階固有頻率，結(jié)果分別如圖5～圖6所示，可以看出：隨著裂紋加深，前兩階固有頻率均出現(xiàn)相應(yīng)的衰減，但是隨著轉(zhuǎn)速增加，裂紋損傷所導致的頻率衰減程度有逐漸減小的趨勢；轉(zhuǎn)速的增加使得梁的前兩階固有頻率增大，并且隨著裂紋加深，這種由轉(zhuǎn)速提升引起的固有頻率提升有逐漸增大的趨勢。由此可見，損傷程度和轉(zhuǎn)速對梁的前兩階固有頻率具有明顯的疊加作用效果。

圖5 一階固有頻率變化

圖6 二階固有頻率變化

為了進一步量化這種疊加作用效果，設(shè)不同裂紋深度所對應(yīng)的前兩階固有頻率分別為f1s和f2s，不同旋轉(zhuǎn)速度所對應(yīng)的前兩階固有頻率分別為f1n和f2n，計算不同裂紋深度下轉(zhuǎn)速變化引起的前兩階固有頻率比f1n/f1和f2n/f2以及不同轉(zhuǎn)速下裂紋深度變化引起的前兩階固有頻率比f1s/f1和f2s/f2，結(jié)果如表4～表5所示。

表4 轉(zhuǎn)速變化引起的一階和二階固有頻率比值

表5 裂紋深度變化引起的一階和二階固有頻率比值

從表4可以看出：隨著轉(zhuǎn)速的逐漸提升，一階固有頻率比值逐漸增大；但是當梁發(fā)生裂紋損傷后，這種由旋轉(zhuǎn)效應(yīng)引起的固有頻率提升隨相對裂紋深度的增加而變得更加顯著。當相對裂紋深度s=0時，f1n/f1由轉(zhuǎn)速n=2 000 rpm時的113.99%提升為轉(zhuǎn)速n=10 000 rpm時的286.31%，當相對裂紋深度s=0.5時，f1n/f1由轉(zhuǎn)速n=2 000 rpm時的122.48%提升為轉(zhuǎn)速n=10 000 rpm時的365.71%。

從表5可以看出：隨著相對裂紋深度逐漸加深，一階頻率衰減量逐漸增大；但是當梁旋轉(zhuǎn)后，這種由裂紋損傷引起的頻率衰減幅度隨轉(zhuǎn)速的提升有逐漸減小的趨勢。當轉(zhuǎn)速n=0時，f1s/f1由裂紋深度s=0.1時的98.75%下降至裂紋深度s=0.5時的74.52%，當轉(zhuǎn)速n=10 000 rpm時，f1s/f1由裂紋深度s=0.1時的99.65%下降至裂紋深度s=0.5時的95.19%。

通過觀察表4和表5的二階固有頻率比值發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)速和損傷程度與前兩階固有頻率比值均有同樣的耦合作用效應(yīng)。但相比之下，這種耦合作用效應(yīng)對一階固有頻率比值的影響更為顯著。

上述分析所得出的結(jié)論和文獻[9]中的結(jié)論一致，從而進一步驗證了文獻[9]中的結(jié)論，并將該結(jié)論的適用范圍從均勻梁拓展到了變截面梁。

4 結(jié) 論

(1) 對于變截面梁，隨著高度漸變系數(shù)的增加，一階固有頻率呈現(xiàn)遞增趨勢，而其他三階頻率均呈現(xiàn)下降趨勢。

(2) 當裂紋位于梁的固定端附近時，對固有頻率的影響最大，前三階固有頻率分別包含一、二、三個無效損傷位置。

(3) 轉(zhuǎn)速和損傷程度對前兩階固有頻率比值均有耦合作用效應(yīng)，相比之下這種耦合作用效應(yīng)對一階固有頻率影響更為明顯。該結(jié)論不僅適用于均勻梁，對變截面梁也同樣適用。