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    借力微專題,探索高三數(shù)學(xué)差異教學(xué)復(fù)習(xí)課型

    2019-07-08 11:05:46黃寒凝張海峰
    新課程·下旬 2019年5期
    關(guān)鍵詞:微專題差異教學(xué)導(dǎo)數(shù)

    黃寒凝 張海峰

    摘 要:在長期的教學(xué)實踐中,發(fā)現(xiàn)教學(xué)中差異始終存在,不僅學(xué)生的知識基礎(chǔ)、興趣愛好、學(xué)習(xí)能力等存在差異、教材本身知識難度要求也存在差異.在以提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力,培育學(xué)生核心素養(yǎng)為目標的高三復(fù)習(xí)課中,關(guān)注教材知識難度差異,對部分符合學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的、層次分明的、比較系統(tǒng)的知識板塊進行微專題突破,能幫助學(xué)生構(gòu)建相對有效的解題思路與策略,在一定程度上減少差異,促進每個學(xué)生在原有基礎(chǔ)上得到更好的發(fā)展.

    關(guān)鍵詞:差異教學(xué);微專題;導(dǎo)數(shù);單調(diào)區(qū)間;分類標準

    筆者多年任教高三一個平行班、一個實驗班,面對能力差異明顯的兩個教學(xué)班,想要完全消除差異是不可能的.但經(jīng)過長期的差異教學(xué)探索,筆者發(fā)現(xiàn)在關(guān)注學(xué)生的知識能力差異的基礎(chǔ)上,同時關(guān)注教材知識難度差異,對部分符合學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的、層次分明的、比較系統(tǒng)的知識板塊進行微專題突破,設(shè)置層級清晰的課堂教學(xué)目標,加強課堂教學(xué)素材選擇的遞進性,可以在很大程度上縮小差異,推動班級整體進步.下面以微專題《利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間》為例,呈現(xiàn)如何構(gòu)建一節(jié)高效的高三數(shù)學(xué)差異教學(xué)復(fù)習(xí)課型.

    一、結(jié)合實測,確認實效性強的微專題

    函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查的最核心部分是以凹凸函數(shù)為載體考查函數(shù)的單調(diào)性問題,從而進一步探究函數(shù)的零點、極值、最值等問題.因此利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間成為研究函數(shù)的“先行部隊”,是高考考查的一個熱點、難點問題,更是我們高三一輪復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容.學(xué)生已經(jīng)能初步應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具研究單調(diào)性,并具備基本的分類討論思想,但是導(dǎo)數(shù)一般是壓軸題,由于對分類討論的標準模糊不清,加上時間不夠,導(dǎo)致學(xué)生解題信心不足,往往得分率偏低,實測下來得分差異性比較大.因此選擇此微專題,起承上啟下的作用,利于學(xué)生掌握對含參函數(shù)零點、極值、最值等圖象特征的分析,實效性較強.

    二、詳析差異,設(shè)置層級清晰的課堂教學(xué)目標

    此專題產(chǎn)生最大差異的地方就在于學(xué)生對含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論標準模糊不清,因此本節(jié)課核心在于如何揭示解題的本質(zhì),引領(lǐng)學(xué)生自然地產(chǎn)生討論的分類標準.結(jié)合教材分析與學(xué)生的學(xué)情分析,本節(jié)課設(shè)定以下三個教學(xué)目標:

    (1)強化導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(陳述性知識),掌握求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的解題步驟,形成解題的微策略(程序性知識);

    (2)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分類討論標準的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生分類與整合、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法;

    (3)揭示數(shù)學(xué)解題的本質(zhì),提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與邏輯推理等核心素養(yǎng).

    其中(1)中的陳述性知識部分是屬于基本知識要求,而程序性知識又分四個梯度逐級遞進,此目標可通過課后練習(xí)評價反饋達成;(2)(3)中的能力目標與素養(yǎng)目標是滲透式要求,通過階段性評估反饋達成.

    三、精選素材,注重以學(xué)生為主體的課堂生成

    1.回顧知識,提出課題(從2018年全國1卷21題高考題的背景引入)

    例題1.求函數(shù)f(x)=2x- -3lnx的單調(diào)區(qū)間.

    【設(shè)計意圖】從低起點的高考問題出發(fā),符合學(xué)生的認知結(jié)構(gòu),讓學(xué)生課題起點一致,后進生有信心積極參與到教學(xué)中.同時引導(dǎo)學(xué)生共同回顧用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟:

    (1)確定函數(shù)f(x)的定義域;

    (2)求導(dǎo)數(shù)f ′(x);

    (3)在定義域內(nèi)解不等式f ′(x)>0,所得解集為函數(shù)f(x)的增區(qū)間;

    (4)在定義域內(nèi)解不等式f ′(x)<0,所得解集為函數(shù)f(x)的減區(qū)間.

    揭示利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的本質(zhì)就是解不等式,函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點就是f ′(x)=0的根,而不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)的解集即f ′(x)圖象在x軸上方(或下方)對應(yīng)的x的取值范圍,用流程圖體現(xiàn)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的過程,直觀明了,邏輯清晰,消除陳述性基礎(chǔ)知識差異對教學(xué)效果的不利影響.

    引出課題:那如果函數(shù)是一個含參函數(shù)呢?讓我們一起進入今天的微專題:《利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間》.

    2.典例分析,形成解題策略

    例題2.已知f(x)=ax2-bx+lnx(a,b∈R),

    (Ⅰ)當(dāng)a=0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (Ⅱ)當(dāng)b=0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (Ⅲ)當(dāng)b=2a+1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

    【設(shè)計意圖】第(Ⅰ)問屬于第一梯度題目,從導(dǎo)函數(shù)為形如一次的帶參函數(shù)入手,具有基礎(chǔ)性、針對性、典型性,雖然簡單但滲透數(shù)形結(jié)合思想與初步滲透分類討論思想,討論標準易于發(fā)現(xiàn),學(xué)生跳一跳即可摘得果子.

    解:(Ⅰ)當(dāng)a=0時,f(x)=-bx+lnx,定義域為(0,+∞),f ′(x)=-b+ = ,令g(x)=-bx+1,

    引導(dǎo)性設(shè)問:是否有根?根g(x)=0?圯x= 是否在定義域內(nèi)?

    (1)當(dāng)b≤0時,g(x)=-bx+1≥0,即f ′(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)減區(qū)間;

    (2)當(dāng)b>0時,g(x)=0?圯x= ∈(0,+∞),如圖,由f ′(x)>0即g(x)>0得0 ,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0, ),單調(diào)減區(qū)間為( ,+∞).

    綜上可得:當(dāng)b≤0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)減區(qū)間;當(dāng)b>0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0, ),單調(diào)減區(qū)間為( ,+∞).

    【設(shè)計意圖】第(Ⅱ)問屬于第二梯度題目,從導(dǎo)函數(shù)為形如二次的帶參函數(shù)入手,仍然在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi),題目設(shè)置小坡度,利于學(xué)生步步登高,類比第一問的引導(dǎo)性提問,讓學(xué)生自主探索參數(shù)的討論標準,滲透方法的遷移,在一定程度上消除學(xué)生對函數(shù)模型切換的畏難心理差異.

    (Ⅱ)當(dāng)b=0時,f(x)=ax2+lnx,定義域為(0,+∞),f ′(x)=2ax+ = ,令g(x)=2ax2+1,(1)當(dāng)a≥0時,g(x)=2ax2+1>0,即f ′(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)減區(qū)間;(2)當(dāng)a<0時,g(x)=0?圯x=± (舍去- ),由f ′(x)>0得x> ,f ′(x)<0得0

    綜上可得:當(dāng)a≥0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)減區(qū)間;當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0, ),單調(diào)減區(qū)間為( ,+∞).

    【設(shè)計意圖】第(Ⅲ)問屬于第三梯度題目,也是此類分類討論的最經(jīng)典問題,模型沒有改變,導(dǎo)函數(shù)仍然是形如二次的帶參函數(shù),但是討論的情況一下子多起來了,難度也一下子就上去了,此處是學(xué)生能力差異性較為明顯的一個問題,究其原因其實是解含參的一元二次不等式不過關(guān).找到是程序性知識缺失引起的差異,那消除差異的手段只能是回歸復(fù)習(xí)相應(yīng)的程序性知識.因此,要引導(dǎo)學(xué)生理解影響一個一元二次不等式解集的三大因素:一是二次函數(shù)開口方向;二是為二次函數(shù)是否有根;三是根的大小,再結(jié)合函數(shù)的定義域,增加第四個討論標準:有幾個根在定義域內(nèi),數(shù)學(xué)結(jié)合可得如下討論分級圖:

    開口a<0a=0a>0,兩根大小a= a> a<

    例題3.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1+aln(x+1)(a≠0),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

    【設(shè)計意圖】例題3屬于第三梯度題目,也是例題2的延續(xù)與強化,通過兩道同型題設(shè)計,引導(dǎo)學(xué)生自主加工提煉成典型的數(shù)學(xué)模型,同時也讓中等生有機會對程序性知識再實踐應(yīng)用,也是減少差異的有效手段。

    3.課題實踐,強化訓(xùn)練

    例題4.討論f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(a∈R)的單調(diào)性.

    【設(shè)計意圖】變式訓(xùn)練屬于第四梯度題目,通過前面問題的鋪墊,學(xué)生整合了思想與方法,學(xué)以致用,借助信息手段在授課過程中錄制微課,讓學(xué)生有機會反復(fù)理解消化,縮小差異.

    解:f(x)的定義域為(-∞,+∞),f ′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a),經(jīng)過探究,學(xué)生產(chǎn)生如下討論分級圖:

    f ′(x)=0的根的個數(shù)a≥0a<0,兩根大小a=- a>- a<-

    4.課后反饋,及時評價

    練習(xí)1:求函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈R)的單調(diào)區(qū)間.

    練習(xí)2:求f(x)= x2+alnx-(a+1)x(a∈R)的單調(diào)區(qū)間.

    四、提煉解題本質(zhì),點燃學(xué)生思想火花

    求含參函數(shù)的單調(diào)性,核心是四個步驟,以問題為驅(qū)動引導(dǎo)我們產(chǎn)生分類討論:

    f ′(x)是什么類型的函數(shù)??圯f ′(x)=0是否有根??圯f ′(x)=0的根是否在定義域內(nèi)??圯定義域內(nèi)的根大小關(guān)系如何?

    本微專題的核心在于:(1)理解“利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”的本質(zhì)就是解含參不等式,而解不等式通常是先研究對應(yīng)的方程的根,因此圍繞f ′(x)=0根的分布,結(jié)合函數(shù)圖象自然就產(chǎn)生了分類討論的標準,討論時要注意分類須不重不漏,對參數(shù)的所有可能取值都要討論到,對應(yīng)結(jié)論相同時參數(shù)范圍要合并,整個解題過程充分體現(xiàn)了分類與整合數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用;(2)整個解題過程把求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題轉(zhuǎn)化為解含參不等式問題,不斷借助函數(shù)圖象來研究方程的根、不等式的解集,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的應(yīng)用.

    新課程改革提出,課程滿足學(xué)生個性發(fā)展的需要,要能夠促進每個學(xué)生的最大限度發(fā)展.雖然我們無法完全消除差異,但是結(jié)合每個學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、年齡特征等挖掘教材、教法、教學(xué)環(huán)節(jié)中的教育因素,并加以細化、篩選、甄別,制訂出分類、分層、有序的教學(xué)目標并進行差異化、針對性的教學(xué)是每個老師必須努力做到的.在高三這樣追求復(fù)習(xí)效率的時間段,借力微專題形式打造差異教學(xué)的復(fù)習(xí)課模式,通過數(shù)學(xué)知識之間的有效整合,為學(xué)生認知發(fā)展設(shè)計合適的路徑,讓不同層次的學(xué)生實現(xiàn)不同思維層級的提升,讓“差異”成為高三高效復(fù)習(xí)的助推手.

    參考文獻:

    [1]孫楓.基于函數(shù)觀點的數(shù)列概念教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育(高中版),2018(4).

    [2]程元元.借力函數(shù)思想深入理解數(shù)列不等式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2018(21).

    [3]陳岳鵬.透過函數(shù)圖象看清數(shù)列背景:對一類數(shù)列問的解法探究[J].新課程,2018(1).

    注:本文系福建省教育科學(xué)規(guī)劃教育教學(xué)改革專項課題“高中數(shù)學(xué)差異化教學(xué)行動研究”(課題立項編號:Fjjgzx17-06)的研究成果之一。

    編輯 高 瓊

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