基于演化博弈的傳染病疫苗接種控制策略研究

田麗云 董春玲

摘? 要： 為有效抑制傳染病的傳播，采用演化博弈理論研究復雜網絡中初始疫苗接種免疫節(jié)點對傳染病傳播和個體疫苗接種策略學習的影響。在三個無權無向的網絡中，利用5種初始免疫節(jié)點選擇方法進行了SIR傳染病模型傳播和博弈策略學習的實驗仿真。實驗結果表明，在接種疫苗費用相同的情況下，有策略的選擇初始免疫節(jié)點不僅促進網絡中個體疫苗接種策略的學習，而且對傳染病的傳播速度和擴散規(guī)模都有一定抑制作用。

關鍵詞： 復雜網絡; 初始疫苗接種節(jié)點; 演化博弈; SIR模型

中圖分類號：TP393? ? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2019）04-21-05

Abstract： In order to effectively inhibit the spread of infectious diseases， the influence of initial vaccination nodes on the spreading of diseases and individual vaccination strategy in complex networks is studied by evolutionary game theory. Five initial immune node selection methods are used to simulate SIR epidemic model propagation and game strategy learning in three weightless and undirected networks. Experimental results show that under the same vaccination cost， the strategic choice of initial immune nodes not only promotes the learning of individual vaccination strategies in the network， but also has a certain inhibition on the spread speed and scale of infectious diseases.

Key words： complex networks; initial vaccination node; evolutionary game; SIR model

0 引言

鼠疫、霍亂、埃博拉病毒、非典型肺炎等傳染病在世界各地頻發(fā)，對成千上萬個人的生命財產造成嚴重危害。對傳染病發(fā)病機理、傳染規(guī)律、發(fā)展趨勢和防控策略的研究備受人們關注。早期的研究在人群均勻混合的假設條件下，利用易感染者-感染者-易感染者（SIS）和易感染者-感染者-恢復者（SIR）經典的倉室模型建模流行病傳播規(guī)律[1-2]。模型中未考慮接觸網絡的拓撲結構、個體差異等對傳播行為的影響，這與真實情況不一致。近年來興起的復雜系統和復雜網絡理論為疾病傳播的研究提供了一種嶄新的建模思想與視角[3-5]。Wu Qingchu等人創(chuàng)建了重疊網絡上不同傳播方式下的傳染病模型，研究了疾病傳播的閾值以及網絡拓撲結構對疾病傳播的影響[6]。一些學者利用網絡，分析不同網絡結構特性對傳染病傳播速度[7-9]、傳播的可預測性[10-11]、傳播范圍[7]，確定影響傳播的重要節(jié)點[12-13]，并還原傳染病傳播路徑，尋找流行病傳染源[14-15]等。為了有效地抑制傳染病在網絡中廣泛傳播，隨機免疫[16]、熟人免疫[17]、目標免疫[18-19]等免疫方法相繼被提出。復雜網絡學科的興起，為研究傳染病傳播規(guī)律和控制帶來新的方向。

當前，接種疫苗是最有效的疾病預防手段，當在人群中接種疫苗的個體超過一定數量時，傳染病在網絡中無法傳播下去，從而間接地保護未接種的個體，達到社會群體免疫的效果。但面對新的疾病，人們會預測疾病的風險、疫苗接種面臨的風險和代價。個體在免疫策略選擇問題上往往會有從眾心理和搭便車現象，個體對待風險的態(tài)度和既往時刻的決策收益也會對其免疫行為有較大的影響。博弈論是量化個體行為決策的有效手段，參與者通過選擇不同的策略來最大化自身利益。Bauch等人利用博弈動態(tài)模型，研究個體通過對周圍個體的觀察，考慮當前傳染病的傳播情況，分析不接種疫苗被感染的風險，做出一個個體最優(yōu)的策略[20]。張海峰[21]等人在假設個體接種疫苗費用相同的情況下，使用SIS傳播動力學模型在隨機網絡和無標度網絡中研究了傳染病的傳播，結果發(fā)現自愿接種疫苗策略在無標度網絡中能有效地控制疾病傳播。復雜網絡中的個體會依據傳染病歷史傳播信息[22]、節(jié)點本身對疾病危險性的認識[23]等因素考慮自身的處境，決定是否免疫?；趶碗s網絡研究傳染病傳播規(guī)律，分析控制策略效果，優(yōu)化防護控制，有助于指導社會對傳染病的防控。因此，在抑制傳染病傳播的研究中，如何設計一個有效的免疫策略來預防和控制疾病在網絡中蔓延至關重要[24]。

本文采用SIR模型和博弈論對個體自愿接種行為進行研究，分析無權無向網絡中初始疫苗接種節(jié)點對傳染病傳播和個體策略學習的影響，通過分析初始隨機免疫與按度、點介數中心性、接近中心性、和結構洞四種節(jié)點排序策略選擇的初始疫苗接種節(jié)點對傳染病的傳播速度和規(guī)模以及個體免疫策略博弈演化過程的影響，探究哪種初始接種疫苗策略能有效地促進疫苗接種學習。

1 模型描述

經典的SIR模型將人群分為三類種群，易感染者S（Susceptible），即個體未被傳染，并且沒有免疫能力;感染者I（Infected），即個體已被傳染，此時個體具有傳染性;恢復者R（Recovered），即感染者被治愈，且具有一定的免疫能力。現在假設通過疫苗接種使部分易感染個體具有免疫能力，即人群將會增加一類群體——疫苗接種者V（Vaccinate）。人群最終呈現S、I、R、V四種狀態(tài)，其滿足的約束關系是：

2 初始接種疫苗節(jié)點的選擇

人群社會關系網絡結構十分復雜，要在這樣的大規(guī)模網絡上實現免疫優(yōu)化控制，找出網絡中的重要節(jié)點顯得尤為重要。這里通過節(jié)點的度（Degree，D），介數中心性（Betweenness centrality， BC），接近中心性（Closeness centrality，CC）和結構洞（Structural Holes，SH）四項指標選取網絡中的重要節(jié)點。其中，節(jié)點的度、介數、接近度是常見的節(jié)點結構重要度的度量指標。

3 仿真實驗

由于傳染病傳播無法在人群中做實驗，因此利用計算機仿真分析研究是當前復雜網絡上傳染病動力學研究的重要方法。為了比較這幾種有策略選擇初始接種節(jié)點對博弈學習的影響，利用計算機模擬傳染病在這三個網絡中的傳播及博弈學習接種疫苗免疫的情況。假設單邊傳染概率β=0.06，恢復率γ=0.02，接種疫苗的消費c=0.6，傳染病在網絡中的傳播時間t=200。初始時刻，按照隨機以及節(jié)點度、接近中心性、介數中心性和結構洞的特性選擇網絡中5個初始接種免疫的節(jié)點，隨機選擇5節(jié)點作為感染節(jié)點，在此后的每一時間步，與一個或多個感染節(jié)點相連的易感節(jié)點以一定的λ概率被感染，被感染節(jié)點經過T（T表示最短治愈時間，假設T?8）時間后被治愈，成為具有免疫性的節(jié)點，而未被感染的節(jié)點以概率ρ向周圍鄰居學習。利用MATLAB進行實驗的仿真，所有結果均為20次運行結果的平均值。

圖1、圖2表示I狀態(tài)和V狀態(tài)的節(jié)點在依據度（D）介數中心性（BC）、接近度中心性（CC）和結構洞（SH）和隨機（rand）初始免疫的傳播感染密度和疫苗接種密度;圖3表示采用這5種策略后整體社會最終損耗代價。從圖2、圖3可以看出，有策略的初始接種免疫，促進個體之間的博弈學習，自愿疫苗接種的個體數量提高，這種自發(fā)的學習周圍疫苗接種免疫行為起到了目標免疫的效果，很好的抑制了網絡上的疾病傳播，降低了整體社會的損失，且這種免疫效果屬于個體自身自愿的行為并非強制的免疫策略。從中也可以看出，在不同的網絡結構中最優(yōu)初始接種策略是不相同的，在ca-HepTh網絡和Adolescent health網絡上依據介數中心性和結構洞選擇免疫初始節(jié)點的博弈學習的結果比其他的初始免疫策略效果好，而在CollegeMsg網絡上依據節(jié)點的度和結構洞選擇初始免疫節(jié)點最終達到的效果比其他的策略好。

三個網絡的仿真實驗結果表明，疫苗接種博弈策略的學習不僅與初始免疫節(jié)點的選擇有關，還與網絡的拓撲結構有關系。通過這種疫苗接種的策略可以看出，有策略的選擇初始個體進行接種可降低疾病在整體網絡中的危害，減少了個體的經濟損失，從而使整體社會的經濟損失降到最低。

4 總結

個體的行為和選擇每時每刻都受到周圍環(huán)境的影響，在掌握大環(huán)境的信息情況下，大多數人都愿意通過比較他們與別人的收益來調整策略。制定有效的傳染病控制策略，可以防止病毒大規(guī)模傳播。本文只是對無權無向網絡進行了模擬，在后面的研究工作中，將在加權網絡中，研究初始疫苗接種免疫節(jié)點對傳染病傳播規(guī)律和疫苗接種策略學習的影響。

參考文獻（References）：

[1] Murray J D.Mathematical biology（I）： an introduction[M].Berlin：Springer-Verlag，2005.

[2] 陳關榮，許曉鳴.復雜網絡理論與應用[M].上海系統科學出版社，2008.

[3] Newman MEJ.The structure and function of co-mplexnetworks[J].SIAM Review，2003.45（2）：167-256

[4] Albert R，Barabasi A L.Statistical mechanics of complexxnetworks[J]. Review of Modern Physi-cs，2001.74（1）：xii

[5] Boeealetti S.Latora V.Moreno Y.et a1.Complex networks：structure and dynamics[J].Physics Rep-orts，2006.424（4）：175-308

[6] Wu Q， Zhang H， Small M， et al.Threshold analysis of thesusceptible-infected-susceptible model on overlay networks[J].Communications in Nonlinea Science & Numerical Simulation，2014.19（7）：2435-2443

[7] Wang W， Tang M， Zhang H F， et al. Epidemic spreadingon complex networks with general degree and weight distributions[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics，2014.90（4）：042803

[8] Xu E H W， Do Y， Tang M， et al. Suppr-essed epidemics inmulti-relational networks[J].Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics，2015.92（2）：022812

[9] Cui A X， Wang W， Tang M， et al. Effici-ent allocation ofheterogeneous response times in information spreading process[J]. Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Scie-nce， 2014.24（3）：033113

[10] Shu P， Tang M， Gong K， et al. Effects of weak ties on epidemic predictability on community networks[J]. Chaos： An Interdisci-plinary Journal of Nonlinear Science，2012.22（4）：043124

[11] Zhao Z D， Liu Y， Tang M. Epidemic variability inhierarchical geographical networks with human activity patterns[J].Chaos：An In-terdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 2012.22（2）：023150

[12] Liu J G ， Ren Z M ， Guo Q . Ranking the spreadinginfluence in complex networks[J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Appl-ications，2013.392（18）：4154-4159

[13] Kitsak M， Gallos L K， Havlin S， et al.? Identification ofinfluential spreaders in comple-x networks[J]. Nature Physics，2010.6（11）：888-893

[14] Pinto P C ， Thiran P ， Vetterli M . Locating the Source ofDiffusion in Large-Scale Netwo-rks[J].Physical Review Letters，2012.109（6）：068702-5

[15] Chen D B， Xiao R， Zeng A . Predicting the evolution of spreading on complex network-ks[J].Scientific Reports，2014.4：6108

[16] Anderson R M， May R M， Anderson B. Infe-ctiousDiseases of Humans： Dynamics and Co-ntrol[M]. Oxford： Oxford University Press，1992.

[17] Pastor-Satorras R， Vespignani A. Immunization ofcomplex networks[J]. Physical Review E，2002.65（3）：036104

[18] Cohen R， Havlin S， Ben-Avraham D.Efficient immuniza-tion strategies for computer networks and populations[J]. Physical Review Letters，2003.91（24）：247901

[19] Madar N， Kalisky T， Cohen R， ben-Avraham D， HavlinS. Immunization and epidemic dyn-amics in complex networks[J]. The EuropeanPhysical Journal B-Condensed Matter and Co-mplex? Systems，2004.38（2）：269-276

[20] Bauch C T.? Imitation dynamics predict vacc-inatingbehaviour[J].Proceedings of the Royal Society B：Biological Sciences，2005.272（1573）：1669-1675

[21] Zhang H， Zhang J， Zhou C，et al. Hub nodes inhibit theoutbreak of epidemic under volunt-ary vaccination[J]. New Journal of Physics，2010.12（2）：281-281

[22] Yan S ， Tang S ， Pei S ， et al. Dynamical ImmunizationStrategy for Seasonal Epidemic-s[J]Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys，2014.90（2）：022808

[23] Wang W ， Tang M ， Eugene S H ， et al. Unification oftheoretical approaches for epidemic spreading on complex networks[J]. Reports on Progress in Physics，2017.80（3）：036603

[24] Pastor-Satorras R， Castellano C， Van Miegh-em P， et al.Epidemic processes in complex networks[J]. Review of Modern Physics，2014.87（3）：120-131

[25] 羅納德·伯特，Ronald Burt.結構洞[M].上海人民出版社，2008.