基于“幾何畫(huà)板”微課的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)踐與思考

林文柱

摘? ?要?利用多媒體錄制微課，探究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂的一種模式。用幾何畫(huà)板軟件錄制微課進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將給課堂提供理想的教學(xué)環(huán)境，它能在實(shí)驗(yàn)中充分展現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中的知識(shí)發(fā)生與形成。同時(shí)，學(xué)生在課堂的動(dòng)手、觀察、猜想等環(huán)節(jié)得到有效的實(shí)施，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。本文對(duì)現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的部分內(nèi)容進(jìn)行探究，提出了運(yùn)用“幾何畫(huà)板”微課進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的五種基本教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞 幾何畫(huà)板? 微課? 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)教材中設(shè)置了大量動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，主要是通過(guò)創(chuàng)造問(wèn)題情境、認(rèn)知現(xiàn)實(shí)生活、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷拳h(huán)節(jié)提出。通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)入的實(shí)驗(yàn)，以自身掌握的經(jīng)驗(yàn)和方法為基礎(chǔ)，主動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念;通過(guò)觀察驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)，以教師啟發(fā)的互動(dòng)和推理為手段，積極地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理;通過(guò)合情類比的實(shí)驗(yàn)，以教材提供的例題和習(xí)題為母題，有效地拓展問(wèn)題結(jié)論;通過(guò)動(dòng)畫(huà)變換的實(shí)驗(yàn)，以數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)展和變化為抓手，適當(dāng)?shù)卣故緮?shù)學(xué)本質(zhì)。從建立數(shù)學(xué)模型到動(dòng)態(tài)的演示，從實(shí)驗(yàn)的結(jié)果到定理的形成，都是可用來(lái)被檢驗(yàn)的有效認(rèn)知工具。

利用幾何畫(huà)板軟件錄制微課，并進(jìn)行高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的形式之一，但其教學(xué)模式的構(gòu)建應(yīng)最大限度滿足學(xué)生在各領(lǐng)域中的認(rèn)知水平。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中，教學(xué)時(shí)間安排和教學(xué)內(nèi)容不同，其相應(yīng)的教學(xué)方法也不同，以更好地挖掘?qū)W生的異常發(fā)現(xiàn)與主動(dòng)創(chuàng)新精神，并在實(shí)際問(wèn)題中尋找最佳的求解意識(shí)和能力。

一、應(yīng)用“幾何畫(huà)板”微課，開(kāi)展高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式旨在學(xué)生加深對(duì)概念的理解、對(duì)要領(lǐng)的掌握，提高課堂的有效性。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)因概念的引入和形成而困惑，對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性挖掘不到位，因某些數(shù)學(xué)概念太抽象而不理解其所以然，就死記硬背文字的表述。為了讓學(xué)生能理解某數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、形成和發(fā)展過(guò)程，真正理解概念的本質(zhì)屬性，教師在課堂上講解概念時(shí)應(yīng)根據(jù)課本上展示給學(xué)生的活動(dòng)背景和生活知識(shí)，結(jié)合一些操作、實(shí)驗(yàn)、觀察等活動(dòng)，讓學(xué)生思考、交流、反思。此時(shí)，利用“幾何畫(huà)板”微課可以在感性的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生完整形成數(shù)學(xué)概念，從而提高課堂的有效性。

例如，在講二面角的概念時(shí)，可以用幾何畫(huà)板軟件做一個(gè)微課實(shí)驗(yàn)（見(jiàn)圖1）：點(diǎn)擊？葑動(dòng)畫(huà)點(diǎn)A，則點(diǎn)A所在的半平面會(huì)繞著公共棱水平或豎直地轉(zhuǎn)動(dòng)，即改變二面角的位置和二面角的平面角的大小。圖形的直觀變動(dòng)讓學(xué)生觀察在各個(gè)不同位置時(shí)二面角的圖形特點(diǎn)，有利于幫助學(xué)生建立三維空間的思維和想象力，從而加深對(duì)概念的理解。

二、借助“幾何畫(huà)板”微課，開(kāi)展高中數(shù)學(xué)結(jié)論展示實(shí)驗(yàn)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)結(jié)論展示實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式旨在學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，實(shí)現(xiàn)課堂的有效性。在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中，如何合理講授和推出數(shù)學(xué)原理是很茫然的課題，其教學(xué)方法大都是直接給出原理的內(nèi)容，沒(méi)有注重知識(shí)原理的來(lái)龍去脈，對(duì)學(xué)生的思維形成產(chǎn)生不良的影響，對(duì)原理的應(yīng)用也浮在表面，造成感性與理性之間的思維斷層，學(xué)生只記著課本提供的公式、定理，然后被動(dòng)地使用公式的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單代入計(jì)算，完全停留在簡(jiǎn)單模仿。這就要求教師在課堂上充分利用多媒體手段把原理的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程展示出來(lái)，并歸納原理產(chǎn)生的結(jié)論。此時(shí)借助“幾何畫(huà)板”微課可以讓學(xué)生邊觀察、邊演示、邊引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，這樣得出的數(shù)學(xué)結(jié)論記憶深刻、應(yīng)用靈活，實(shí)現(xiàn)課堂的有效性。

例如，在講解高中新教程必修4（人教版）第141頁(yè)的例4時(shí)，可以用幾何畫(huà)板軟件做一個(gè)課件“求已知圓的內(nèi)接矩形的最大面積”?？梢栽O(shè)置這樣的一個(gè)？葑動(dòng)畫(huà)：畫(huà)一個(gè)圓O，作任一半徑OA，在OA上取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作EF⊥OA交⊙O于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)E、F分別作EH∥OA，F(xiàn)G∥OA交⊙O于G、H，連結(jié)G、H。接著使點(diǎn)C在線段OA上雙向慢速運(yùn)動(dòng)。觀察⊙O內(nèi)接矩形EFGH的面積的度量值，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，矩形EFGH的面積值是先增后減。反復(fù)演示，并請(qǐng)同學(xué)們注意，面積取最大值時(shí)，此矩形會(huì)有何特征？先猜想、討論，后顯示EF和GF的度量值，得到結(jié)果是正方形，再?gòu)睦碚撋霞右宰C明。這樣，學(xué)生就能主動(dòng)地在輕松又活躍的課堂氣氛中猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，之后根據(jù)這個(gè)結(jié)論去求解其他幾何圖形（半圓、扇形等）的性質(zhì)和定理。

也可以用幾何畫(huà)板軟件設(shè)置相應(yīng)的動(dòng)畫(huà)按鈕（見(jiàn)圖2），通過(guò)變換不同的位置，得到相同或不同的數(shù)量關(guān)系，從而推出相應(yīng)的結(jié)論。使同學(xué)們輕松、愉快地接受新的知識(shí)和解決新的問(wèn)題，啟迪他們敢于探究和創(chuàng)新。

最后可以讓學(xué)生在探索中猜想——可以改圓為半圓設(shè)置一個(gè)動(dòng)畫(huà)按鈕，再進(jìn)一步可以改半圓為扇形設(shè)置一個(gè)動(dòng)畫(huà)按鈕，在扇形的內(nèi)接矩形中，還可以改變矩形的位置（見(jiàn)圖3），求最大值并進(jìn)行比較。這就拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維空間，實(shí)現(xiàn)了思維的遷移和知識(shí)的優(yōu)化。

三、巧用“幾何畫(huà)板”微課，開(kāi)展高中數(shù)學(xué)解法探索實(shí)驗(yàn)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)解法探索實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式旨在學(xué)生獲得解題途徑、培養(yǎng)創(chuàng)新能力，體現(xiàn)課堂的有效性。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，常常會(huì)出現(xiàn)對(duì)題目的切入無(wú)從下手，找不到解題的思路，無(wú)法實(shí)現(xiàn)條件與問(wèn)題的連接的情況。此時(shí)巧用“幾何畫(huà)板”微課實(shí)驗(yàn)?zāi)荏w現(xiàn)不同位置的圖形中的不同或相同的數(shù)量關(guān)系，從變化中尋找不變的規(guī)律或結(jié)論，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的切入點(diǎn)和試題蘊(yùn)含信息，從而獲得解題途徑，并體驗(yàn)結(jié)論與條件相互制約的內(nèi)在聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題發(fā)散的認(rèn)知程度和美好結(jié)果，體現(xiàn)課堂的有效性。

例如，在三角形內(nèi)找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的和最小。一般的解題思路都會(huì)從三角形的“四心”上探究，但根據(jù)四心的條件分析并計(jì)算觀察都不符合條件。引入幾何畫(huà)板軟件的度量功能錄制微課，在三角形的內(nèi)切圓內(nèi)設(shè)置一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P′，算出P′A+P′B+P′C的值。改變動(dòng)點(diǎn)P′在三角形內(nèi)的位置，根據(jù)P′A+P′B+P′C的值隨著動(dòng)點(diǎn)P′的變化，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P′在某一位置P時(shí)，P′A+P′B+P′C的值最小。可是此時(shí)仍無(wú)法知道此點(diǎn)位于三角形內(nèi)的何處，更無(wú)從下手去證明點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)。這時(shí)，適時(shí)有意地引導(dǎo)學(xué)生深入思考，改變考察的對(duì)象，尋找新的元素值。并用幾何畫(huà)板快速測(cè)算∠APB、∠BPC、∠CPA的大小（見(jiàn)圖4），同學(xué)們立即發(fā)現(xiàn)三個(gè)角都等于120°時(shí)，問(wèn)題得到解決。知道了點(diǎn)P位于三角形內(nèi)使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點(diǎn)后，證明就顯得比較簡(jiǎn)單了。

四、創(chuàng)設(shè)“幾何畫(huà)板”微課，開(kāi)展高中數(shù)學(xué)習(xí)題深化實(shí)驗(yàn)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)習(xí)題深化實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式旨在學(xué)生加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)、類比數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建課堂的有效性。在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，恰當(dāng)改變、增減數(shù)學(xué)試題的條件或結(jié)論，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的精彩和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的得失，積極主動(dòng)地完成數(shù)學(xué)習(xí)題的自信，也是值得教師思考的話題。因此在教學(xué)中，教師努力創(chuàng)設(shè)“幾何畫(huà)板”微課，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平及教材內(nèi)容，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行重組變式和加減乘除，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用豐富多彩，構(gòu)建課堂的有效性。

例如，設(shè)OA、OB是拋物線y2=2px（p>0）的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。若OA⊥OB即KOA×KOB=-1，則弦AB必恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）。由于該試題的思維切入比較難找到，條件提供的信息有違常規(guī)，學(xué)生嘗試多種方法，可能也證不出來(lái)。為此可以利用“幾何畫(huà)板”錄制微課對(duì)題目進(jìn)行驗(yàn)證（見(jiàn)圖5）。動(dòng)態(tài)演示驗(yàn)證結(jié)論的過(guò)程中，在改變數(shù)值的同時(shí)不改變定點(diǎn)位置這一正確結(jié)論支撐下，再剖析問(wèn)題隱含的條件，從而得到正確的答案。同時(shí)，引用幾何畫(huà)板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：若KOA×KOB=R（R≠-1的定值），弦AB必恒過(guò)定點(diǎn)？將O變?yōu)榉琼旤c(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)M，弦AB必恒過(guò)定點(diǎn)？其結(jié)論是：弦AB始終恒過(guò)定點(diǎn)，此定點(diǎn)與點(diǎn)M的坐標(biāo)關(guān)系是（xM-，-yM）。

五、通過(guò)“幾何畫(huà)板”微課，開(kāi)展高中數(shù)學(xué)階段復(fù)習(xí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)階段復(fù)習(xí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式旨在學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，升華課堂的有效性。在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)考點(diǎn)雖然已經(jīng)接觸認(rèn)知過(guò)，但畢竟都是前人已經(jīng)建造好的，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，仍是模棱兩可，需要有重現(xiàn)模型的過(guò)程。如何快速構(gòu)建和優(yōu)化知識(shí)體系在傳統(tǒng)的教學(xué)環(huán)節(jié)中是很難實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)“知識(shí)不是被動(dòng)接受的，而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的”理論，通過(guò)“幾何畫(huà)板”微課提供的動(dòng)態(tài)圖形與數(shù)學(xué)語(yǔ)言交互的思維載體，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中明白數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)與規(guī)律，由此能夠讓學(xué)生更好地提升整體學(xué)習(xí)效率。

例如，在復(fù)習(xí)平面上動(dòng)圓的圓心軌跡時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡具有高度的抽象性和概括性的特點(diǎn)，學(xué)生光憑想象很難得出軌跡，而利用幾何畫(huà)板，只要用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)與定圓、直線與圓、圓與圓的不同位置關(guān)系，就能快速又準(zhǔn)確地完成所復(fù)習(xí)的內(nèi)容與結(jié)果。對(duì)于每個(gè)問(wèn)題都可以采取這樣的步驟：首先給出問(wèn)題，全體學(xué)生一起分析得出問(wèn)題的突破口;然后讓學(xué)生想象軌跡，教師一邊分析提示一邊動(dòng)畫(huà)演示;最后制作軌跡，根據(jù)制作的軌跡，要求同學(xué)們?cè)谧兓倪^(guò)程中找到相應(yīng)的不變的結(jié)論和規(guī)律，深入淺出地在觀察之中升華規(guī)律性知識(shí)（見(jiàn)圖6）。

通過(guò)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)探究可知，“幾何畫(huà)板”微課能以動(dòng)畫(huà)與測(cè)算組合的方式靈活地向?qū)W生提供不同的圖形在相同的位置、相同的圖形在不同的位置形成系列表格、數(shù)據(jù)等概念和定理的不同表示方法，把隱性的數(shù)學(xué)思維顯性化，將抽象化知識(shí)變得更加的具體化，將靜態(tài)內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)知識(shí)。

總之，利用“幾何畫(huà)板”錄制微課，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)，它的基本思想是同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可以從不同的角度來(lái)呈現(xiàn)，并在不斷改變視圖的同時(shí)，邊探究、邊計(jì)算、邊觀察、邊總結(jié)、使數(shù)學(xué)問(wèn)題得到拓展，使數(shù)學(xué)結(jié)論得到完善，使數(shù)學(xué)知識(shí)得到優(yōu)化。實(shí)現(xiàn)教學(xué)的“再創(chuàng)造”，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)?zāi)芰μ峁┮粋€(gè)良好的教學(xué)平臺(tái)。

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