巧用思想方法促進(jìn)思維提升

張偉 趙麗娟 顧艷華 王囡囡

教材內(nèi)容：人教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)第七單元第106頁(yè)例1和第107頁(yè)例2。

教學(xué)目標(biāo)：

1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、演示、推理等數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，理解點(diǎn)段關(guān)系，建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題。

2.通過(guò)畫(huà)線段圖和利用一一對(duì)應(yīng)的思想，初步培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)重、難點(diǎn)：建立植樹(shù)問(wèn)題的模型，掌握三種植樹(shù)方法。通過(guò)一一對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法理解棵樹(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。

教學(xué)準(zhǔn)備：課件、磁力扣。

教學(xué)過(guò)程：

一、 課前游戲激趣，喚醒一一對(duì)應(yīng)思想

師：上課之前，我們來(lái)玩?zhèn)€“猜猜看”的游戲。

（課件出示。）

師：猜猜哪種圖形多。

生：圓形多。

師：你是怎樣猜出來(lái)的？

生：因?yàn)樽詈笠粋€(gè)是圓。

師：最后一個(gè)是圓就是圓多嗎？

生：我也覺(jué)得是圓多，因?yàn)橐粋€(gè)圓和一個(gè)三角配對(duì)，最后剩下一個(gè)圓，應(yīng)該是某組多一個(gè)圓。

師：他說(shuō)得清楚嗎？

生：清楚。

師：他用到了一個(gè)詞——配對(duì)，誰(shuí)和誰(shuí)配對(duì)？

生：圓和三角。

（師課件演示配對(duì)過(guò)程。）

師：一個(gè)圓配一個(gè)三角，這樣配好對(duì)以后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最后會(huì)——

生：剩下一個(gè)圓，所以是圓多。

師：一個(gè)圓形對(duì)一個(gè)三角形，這在數(shù)學(xué)上叫一一對(duì)應(yīng)，如果最后一個(gè)是三角呢？

生：一樣多。

師：最后一對(duì)也對(duì)應(yīng)上了。我們以前就接觸過(guò)“一一對(duì)應(yīng)”，它是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，其實(shí)“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想還能幫我們解決更多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，今天就讓我們帶著這個(gè)數(shù)學(xué)思想走進(jìn)課堂。

【評(píng)析】課前教師帶領(lǐng)學(xué)生做“猜猜看”的游戲，不僅激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且游戲中應(yīng)用了“一一對(duì)應(yīng)”的思想方法，引領(lǐng)學(xué)生的思維，為解決本節(jié)課的“植樹(shù)問(wèn)題”做了充足的鋪墊。

二、對(duì)比引入，理解點(diǎn)段關(guān)系，建立植樹(shù)問(wèn)題的模型

1.解決問(wèn)題，探尋點(diǎn)段關(guān)系。

師：我們首先來(lái)解決兩個(gè)問(wèn)題，先來(lái)看第一個(gè)。

（課件出示：20米的小路，每隔5米分一段，可以分成幾段？）

生：20÷5=4（段）。

師：黑板上的線段就表示這條20米的小路，誰(shuí)能來(lái)幫我分一分？

（生演示平均分小路）。

師：他用了幾個(gè)點(diǎn)把小路分成了4段？我們來(lái)看下一道題。

（課件出示：一條小路長(zhǎng)20米，在小路一側(cè)每隔5米種一棵樹(shù)，可以種幾棵樹(shù)？）

生：20÷5=4（棵）。

生：20÷5=4 4+1=5（棵）。

生：20÷5=4 4-1=3（棵）。

師：同樣的一段路，為什么這么多種答案？到底誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)？剛才我們是猜想，現(xiàn)在請(qǐng)你來(lái)驗(yàn)證一下。你能不能用一種很形象直觀的方法來(lái)把你種樹(shù)的過(guò)程表示出來(lái)，讓別人一眼就能看懂你種了幾棵樹(shù)？請(qǐng)你先自己準(zhǔn)備一下。

（師巡視發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都畫(huà)線段圖來(lái)表示。）

師：我發(fā)現(xiàn)不同的答案了，而且有的同學(xué)非常清楚地表示出了種的棵數(shù)。先請(qǐng)一名同學(xué)把他的種樹(shù)方法展示一下。

（生用磁力扣擺。）

師：他的方法符合題目要求嗎？

生：符合。

師：看一下這兩道題，題目一樣嗎？

生：不一樣。

師：哪里不一樣？

生：第一個(gè)是求分成幾段，第二個(gè)是求種了幾棵樹(shù)。

師：一個(gè)是求幾段，一個(gè)是求幾棵，完全不同?？墒俏覀?cè)谟?jì)算的時(shí)候都用到了一個(gè)算式。（板書(shū)：20÷5=4。）這個(gè)“4”究竟求的是什么呢？

生：“4”是這條小路分成的段數(shù)。

師：我們把小路分成一段一段的，可種樹(shù)是要種在哪里??？

生：種在把小路分成段的點(diǎn)上。

師：點(diǎn)和段一樣嗎？

生：不一樣。

師：哪里不一樣？

生：種樹(shù)是一個(gè)點(diǎn)一棵，而一段是兩個(gè)點(diǎn)。

師：點(diǎn)和段有什么聯(lián)系呢？

生：一個(gè)段有兩個(gè)點(diǎn)。

師：那兩個(gè)段呢？

生：3個(gè)點(diǎn)。

師：3個(gè)段呢？

生：4個(gè)點(diǎn)。

師：如果繼續(xù)往下畫(huà)，數(shù)不過(guò)來(lái)的時(shí)候，點(diǎn)和段會(huì)有什么關(guān)系？

生：點(diǎn)比段多1。

師：你是怎么知道的？

生：一個(gè)點(diǎn)對(duì)著一個(gè)段，最后還剩下一個(gè)點(diǎn)。

【評(píng)析】張老師在引領(lǐng)學(xué)生建立植樹(shù)問(wèn)題模型之前，運(yùn)用兩道對(duì)比題讓學(xué)生深刻體會(huì)什么是段，什么是點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)平均分是把小路分成幾段，植樹(shù)是把樹(shù)種在點(diǎn)上的，體會(huì)點(diǎn)與段的不同。這個(gè)過(guò)程，為下一步應(yīng)用“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想建立植樹(shù)問(wèn)題模型做好過(guò)渡。

2.構(gòu)建植樹(shù)問(wèn)題模型，總結(jié)植樹(shù)方法，探究棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系。

師：我們把樹(shù)種在點(diǎn)上，段就是兩棵樹(shù)之間的間隔。那么“5米”是什么呀？

生：兩棵樹(shù)之間的距離。

師：我們可以總結(jié)一個(gè)公式，20米是小路的全長(zhǎng)，5米是兩棵樹(shù)之間的距離，叫做棵距，用全長(zhǎng)÷棵距=間隔數(shù)。（板書(shū)。）我們用20÷5=4，求出的是4個(gè)——

生：間隔。

師：那么5棵樹(shù)是怎么算出來(lái)的呢？

生：4+1。

師：4個(gè)間隔加上1棵樹(shù)，就是5棵樹(shù)嗎？你覺(jué)得道理說(shuō)得通嗎？

生：一個(gè)間隔對(duì)著一棵樹(shù)，4個(gè)間隔就對(duì)著4棵樹(shù)，4棵樹(shù)加一棵樹(shù)就是5棵樹(shù)。

師：用這種方法繼續(xù)種樹(shù)，5個(gè)間隔會(huì)有幾棵樹(shù)？ 6個(gè)間隔會(huì)有幾棵樹(shù)？8個(gè)間隔會(huì)有幾棵樹(shù)？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：棵數(shù)永遠(yuǎn)比間隔數(shù)多一個(gè)。

師：我們可以做個(gè)總結(jié)：棵數(shù)等于——

生：間隔數(shù)+1。

（師板書(shū)：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。）

師：我們給這種頭和尾都種樹(shù)的方法起個(gè)名字吧。

生：兩端都植樹(shù)。

生：非封閉線上兩端植樹(shù)。

師：簡(jiǎn)練一些就叫兩端植樹(shù)?；氐健?0米的小路”這道題，我發(fā)現(xiàn)還有其他答案，你能把你的種樹(shù)方法也來(lái)擺一擺嗎？

（生在黑板上擺出。）

師：你認(rèn)為她的方法符合題目的要求嗎？

生：不符合。

師：為什么？

生：每隔5米種一棵，這條小路長(zhǎng)20米，她只種了15米。

師：你認(rèn)為這里還應(yīng)該種上樹(shù)，那個(gè)同學(xué)你來(lái)告訴他，你這為什么不種了。

生：我覺(jué)得兩邊不用種。

師：生活中碰到什么情況導(dǎo)致這一端不用種樹(shù)。

生：兩邊有東西。

師：有什么東西？

生：比如說(shuō)墻或者是樓。

師：生活中有建筑的時(shí)候，這里就不用種了，這樣符合每隔5米有一棵樹(shù)的要求嗎？

生：符合。

師：用這種種樹(shù)方法種了幾棵樹(shù)？

生：3棵。

師：按照這種方法繼續(xù)種樹(shù)，5個(gè)間隔幾棵樹(shù)？6個(gè)間隔幾棵樹(shù)？10個(gè)間隔幾棵樹(shù)？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

師：頭尾都種叫兩端植樹(shù)，那這種種樹(shù)方法可以叫做——

生：兩端不植樹(shù)。

師：還有不同的種樹(shù)方法嗎？

（生到黑板演示。）

師：她擺得符合題目中的要求嗎？

生：符合。

師：這兒為什么不種了？

生：因?yàn)橛薪ㄖ?/p>

師：按照這種種樹(shù)方法繼續(xù)種下去，5個(gè)間隔幾棵？6個(gè)間隔幾棵？10個(gè)間隔幾棵？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：棵數(shù)等于間隔數(shù)。

師：這種方法可以叫做——

生：一端不植樹(shù)。

師：有不同的嗎？

生：一端植樹(shù)。

師：我們就用這個(gè)。還有沒(méi)有其他的種樹(shù)方法？

（生到黑板演示。）

師：讀讀題目的要求是什么。

生：在小路一側(cè)每隔5米種一棵樹(shù)。

師：你覺(jué)得你的方法符合要求了嗎？

生：不符合了。

師：為什么又不符合了？

生：因?yàn)檫@里隔10米了。

師：還有不同的種樹(shù)方法嗎？

（生黑板演示。）

師：你也看看題目的要求是什么，你發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題了嗎？

生：前面隔了10米。

師：這樣符合嗎？動(dòng)腦筋想一想。

（生馬上補(bǔ)一棵。）

師：他補(bǔ)上了一棵，這樣符合了嗎？

生：符合了。

師：同學(xué)們看看，這屬于哪種情況？

生：一端植樹(shù)。

師：還有沒(méi)有其他種樹(shù)方法？

（生黑板演示。）

師：她把樹(shù)種在了間隔的中間，你們覺(jué)得行嗎？

生：行。

師：那我們看看前面是多少米。

生：2.5米。

師：符合要求嗎？

生：不符合。

師：還有其他的種樹(shù)方法嗎？

生：沒(méi)有了。

師：我們要感謝這條小路，讓我們研究出了這么多的知識(shí)。不僅找出了三種不同的種樹(shù)方法，還找到了不同種樹(shù)方法下棵數(shù)與間隔數(shù)的規(guī)律。剛才我們研究的這種點(diǎn)段關(guān)系的問(wèn)題就是數(shù)學(xué)中一個(gè)典型的問(wèn)題，叫做植樹(shù)問(wèn)題。（板書(shū)課題。）

【評(píng)析】建立植樹(shù)問(wèn)題模型是本節(jié)課的重難點(diǎn)，教師巧妙地用一系列的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生很快從課前的小游戲和點(diǎn)段關(guān)系中找到“一一對(duì)應(yīng)”的方法，從而理解植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)特征，為建模打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在探尋不同的種樹(shù)方法時(shí)，教師利用線段圖讓學(xué)生到講臺(tái)上親自“種樹(shù)”，并引導(dǎo)學(xué)生用一一對(duì)應(yīng)的思想理解間隔數(shù)和棵數(shù)的關(guān)系，從而建立植樹(shù)問(wèn)題模型，這樣在理解的基礎(chǔ)上再進(jìn)行建模，植樹(shù)問(wèn)題模型思想已牢牢地深入了學(xué)生的內(nèi)心。

三、感受生活中的植樹(shù)現(xiàn)象，自主創(chuàng)編，鞏固模型

1.感知生活中的植樹(shù)現(xiàn)象。

師：植樹(shù)問(wèn)題不只是種樹(shù)，它是生活中的一大類(lèi)現(xiàn)象。想一想生活中除了樹(shù)可以放在點(diǎn)上，還有什么也是可以這樣的？

生：掛紅旗，紅旗之間的距離是相等的。

生：安路燈，每隔10米安一盞路燈，路燈之間的距離是相等的。

生：擺花盆。

…………

2.自主創(chuàng)編，鞏固模型，感受兩側(cè)植樹(shù)。

師：讓我們來(lái)編一道這樣的植樹(shù)問(wèn)題吧。安路燈、插紅旗、擺花盆、放垃圾桶都可以，但是一定要把你的要求說(shuō)清楚，是兩端都有，還是兩端都沒(méi)有，還是一端有。你先想一下需要哪些數(shù)學(xué)信息，如果想好了，就可以動(dòng)筆了。

（生編題。）

師：讓我們一起來(lái)解決我們自己創(chuàng)編的數(shù)學(xué)題，看看他們出的題能不能難到你。

（出示：一條小路長(zhǎng)40米，每隔8米種一棵樹(shù)，能種幾棵樹(shù)？?jī)啥朔N樹(shù)。）

生：40÷8+1。

（出示：一條小路長(zhǎng)20米，在小路一側(cè)每隔4米種一棵樹(shù)，小路一端有大樓不能種樹(shù)，能種幾棵樹(shù)？）

生：20÷4。

師：這道題我把它做一下改動(dòng)，我做了什么改動(dòng)？

生：把一側(cè)變成了兩側(cè)。

師：兩側(cè)是什么意思？

生：兩端。

師：是兩端嗎？

生：不是，是兩邊。

師：還可以怎么說(shuō)？

生：兩旁。

師：那這道題該怎么解決？

生：20÷4×2 。

3.同類(lèi)拓展，提升認(rèn)識(shí)。

師：我們每天都上樓梯，你覺(jué)得爬樓梯是不是這類(lèi)現(xiàn)象呢？我們一起來(lái)看看。

（課件出示：爬樓梯的時(shí)候，樓層和樓梯層數(shù)的關(guān)系是什么？）

生：樓層比樓梯層數(shù)多1。

師：我也出一道題來(lái)考考你們。

（課件出示：小明放學(xué)回家，每上一層樓梯需要10秒，小明從一樓走到家用了50秒，小明家住在幾樓？）

生：50÷10+1。

師：同學(xué)們見(jiàn)過(guò)鋸木頭嗎？

（課件出示：鋸木頭的時(shí)候，鋸的次數(shù)和段數(shù)的關(guān)系是什么？）

生：鋸的次數(shù)比段數(shù)少1。

師：再出一道題考考你。

（出示：一根木頭長(zhǎng)14分米，每2分米鋸一段，需要鋸幾次？）

生：14÷2-1。

師：14÷2求的是什么？

生：鋸成了7段。

【評(píng)析】張老師的課堂練習(xí)部分打破了以往教師出題學(xué)生練習(xí)的常態(tài)，而是讓學(xué)生自己創(chuàng)編問(wèn)題。在學(xué)生創(chuàng)編過(guò)程中，也是對(duì)植樹(shù)問(wèn)題知識(shí)的鞏固過(guò)程。教師利用學(xué)生創(chuàng)編的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解決時(shí)，激起了學(xué)生強(qiáng)烈的解決問(wèn)題的欲望，繼而出示“爬樓梯問(wèn)題”“鋸木頭問(wèn)題”，引領(lǐng)學(xué)生把植樹(shù)問(wèn)題回歸生活，讓學(xué)生體會(huì)植樹(shù)問(wèn)題屬于生活中常見(jiàn)的一大類(lèi)問(wèn)題。數(shù)學(xué)回歸生活的理念也自然而然地深入學(xué)生內(nèi)心。

四、課堂總結(jié)

師：同學(xué)們，我們今天研究了這么多知識(shí)，你知道它在哪嗎？其實(shí)，它就在我們的手上。舉起你的右手，仔細(xì)看看有什么發(fā)現(xiàn)？（5個(gè)手指4個(gè)間隔。）把它看成種樹(shù)，從頭到尾都種樹(shù)，種幾棵？（5棵。）頭種尾不種，幾棵？（4棵。）頭尾都不種，幾棵？（3棵。）（師手指彎曲。）這是把樹(shù)種在哪了？（圓上。）棵樹(shù)和間隔數(shù)會(huì)有什么關(guān)系呢？把這個(gè)問(wèn)題留給善于思考的你們，相信你們一定會(huì)有所收獲！最后讓我們把手握緊，把知識(shí)握在手里，放進(jìn)心里。

總評(píng)：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識(shí)的應(yīng)用中不斷鞏固和深化?！苯裉鞆埨蠋焾?zhí)教的植樹(shù)問(wèn)題是傳統(tǒng)奧數(shù)問(wèn)題中比較難的類(lèi)型，過(guò)去人們一直認(rèn)為植樹(shù)問(wèn)題就只是種樹(shù)問(wèn)題，多數(shù)人還會(huì)走入機(jī)械背誦、套用植樹(shù)問(wèn)題模型的誤區(qū)。張老師執(zhí)教的這節(jié)課切入點(diǎn)找得準(zhǔn)，打破了以往只是為教學(xué)種樹(shù)而講植樹(shù)問(wèn)題。教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得愉快。

1.一一對(duì)應(yīng)思想方法巧妙運(yùn)用，有效解決植樹(shù)問(wèn)題。

教師在課堂上沒(méi)有直接告訴學(xué)生本節(jié)課要用一一對(duì)應(yīng)的思想方法解決植樹(shù)問(wèn)題，而是步步深入。由課前游戲?qū)σ灰粚?duì)應(yīng)思想的喚醒到點(diǎn)段關(guān)系的處理，再到“全長(zhǎng)÷棵距=間隔數(shù)”公示的呈現(xiàn)，都是在運(yùn)用一一對(duì)應(yīng)思想解決問(wèn)題。在一一對(duì)應(yīng)思想完全深入學(xué)生內(nèi)心后，再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這種思想建立植樹(shù)問(wèn)題模型時(shí)，自然水到渠成了。課堂上學(xué)生活躍的思維，靈動(dòng)的表現(xiàn)，能看出一一對(duì)應(yīng)思想確實(shí)有效地解決了植樹(shù)問(wèn)題。

2.通過(guò)線段圖直觀理解植樹(shù)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深入思考。

在植樹(shù)問(wèn)題中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是教學(xué)植樹(shù)問(wèn)題的難點(diǎn)。在建模的過(guò)程中，張老師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生先自己畫(huà)線段圖，感知種樹(shù)方法，再讓學(xué)生到黑板前，用磁力扣表示樹(shù)，現(xiàn)場(chǎng)在線段圖上種樹(shù)。看似簡(jiǎn)單的操作過(guò)程，卻激起了學(xué)生探究、思考的欲望。學(xué)生先后擺出了“兩端植樹(shù)”“一端植樹(shù)”“兩端都不植樹(shù)”三種情況。由于線段圖直觀形象，為了鍛煉學(xué)生思維，讓學(xué)生真正理解植樹(shù)問(wèn)題，張老師又問(wèn)：“還有不同的擺法嗎？”學(xué)生開(kāi)始深入思考，又?jǐn)[出三種錯(cuò)誤的方法。針對(duì)錯(cuò)誤的方法，張老師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生讀清題意，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不合理地方，自行改正。這個(gè)過(guò)程不但培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題、樂(lè)于思考的習(xí)慣，而且學(xué)生完全理解和掌握了解決植樹(shù)問(wèn)題的方法。

3.聯(lián)系生活實(shí)際，注重應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。

培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中問(wèn)題的能力是“新課程”中明確指出的培養(yǎng)目標(biāo)之一。本節(jié)課在植樹(shù)問(wèn)題模型構(gòu)建后，教師讓學(xué)生自主創(chuàng)編習(xí)題，對(duì)植樹(shù)問(wèn)題模型進(jìn)行鞏固。教師在引領(lǐng)學(xué)生解決自主創(chuàng)編的基礎(chǔ)上，出示“鋸木頭問(wèn)題”“爬樓梯問(wèn)題”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生解決的同時(shí)，把植樹(shù)問(wèn)題的思想自然地拓展到了生活的方方面面。

這節(jié)課簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，教師利用一一對(duì)應(yīng)的思想構(gòu)建植樹(shù)問(wèn)題模型思想，再拓展到生活中解決實(shí)際問(wèn)題。這是一節(jié)平實(shí)、扎實(shí)、真實(shí)的課。張老師能站在學(xué)生的角度考慮問(wèn)題，充分尊重學(xué)生的獨(dú)特體驗(yàn)，以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為前提，把數(shù)學(xué)思想方法的滲透放在首位，課堂效果明顯。學(xué)生不只是學(xué)會(huì)了解決植樹(shù)問(wèn)題，更學(xué)會(huì)了分析、解決多種多樣的問(wèn)題。

編輯∕韓曉雨