構(gòu)造法巧解磁場中的復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)問題

陜西

粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)分為直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)，其中最常見的是勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這些運(yùn)動(dòng)分析起來不是很難。但是除此之外我們還會(huì)見到一些更為一般的曲線運(yùn)動(dòng)，這時(shí)問題將變得很復(fù)雜，按照一般思路從動(dòng)力學(xué)或者功能關(guān)系的角度去分析，困難很大。這時(shí)，如果給帶電粒子配上一對等大反向的速度，正向速度產(chǎn)生一部分洛倫茲力來平衡電場力(或重力)，形成正向速度對應(yīng)的勻速直線運(yùn)動(dòng)；負(fù)向速度和題中的初速度形成的合速度產(chǎn)生的洛倫茲力用來提供向心力，形成這個(gè)合速度對應(yīng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這樣粒子原來的復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)，就可分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么問題就會(huì)大大簡化。當(dāng)然，有時(shí)也可以將帶電粒子的初速度進(jìn)行分解，一個(gè)分速度產(chǎn)生一部分洛倫茲力來平衡電場力(或重力)，另一個(gè)分速度引起的洛倫茲力提供向心力。

上述思想的本質(zhì)是等效法和運(yùn)動(dòng)的合成分解原理，在這個(gè)新的數(shù)理模型基礎(chǔ)上，我們對一般的復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了簡化處理，這個(gè)方法在本文中稱為構(gòu)造法。下面我們舉兩道高考題加以說明，體會(huì)構(gòu)造法的思路相對傳統(tǒng)解法的巧妙之處。

【例1】如圖甲，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。讓質(zhì)量為m，電量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面以不同大小和方向的初速度入射到該磁場中。不計(jì)重力和粒子間的影響。

甲

乙

(1)(2)兩問與文章主題無關(guān)，故不做分析。

(3)如圖乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場，一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射。研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)，且在任一時(shí)刻，粒子速度在x軸方向上的分量vx與其所在位置的縱坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場強(qiáng)大小E無關(guān)。求該粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度值vm。

【解法一】(動(dòng)力學(xué)和動(dòng)能定理)：粒子在運(yùn)動(dòng)過程中只有電場力做功，因此在最高點(diǎn)處的速率最大，且此處速度方向水平。用ym表示該處的縱坐標(biāo)，有

由題意vm=kym②

由于k與E的大小無關(guān)，因此可以利用E=0時(shí)的情況來求解k，E=0時(shí)洛倫茲力提供向心力

【解法二】(構(gòu)造法)：在O點(diǎn)將水平向右的速度v1和水平向左的速度-v1同時(shí)添加給帶電粒子，其中向右的速度v1恰好滿足Bqv1=Eq，這樣電場力就被其中的一個(gè)洛倫茲力抵消了，如果僅存在向右的速度v1，那么帶電粒子將向右做速度為v1的勻速直線運(yùn)動(dòng)。但是帶電粒子還有向上的速度v0和向左的速度-v1的存在，我們可以將這兩個(gè)速度合成為一個(gè)速度，合速度記為v2(如圖1)，如果不存在向右的速度v1，那么帶電粒子就會(huì)以v2的速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。綜合分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可將其看成向右做速度為v1的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以v2的速度大小做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。這樣，帶電粒子的實(shí)際速度就是水平向右的速度v1和勻速圓周的速度v2的合成結(jié)果。

當(dāng)v2的方向水平向右時(shí)，二者的合速度最大。

圖1

根據(jù)圖1分析v2的大小

記最大速度為vmax

相信此時(shí)大家也可以分析最小速度

【例2】在場強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖2所示。已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g。求：

圖2

(1)小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P(x，y)的速率v；

(2)小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離ym；

【解法一】(動(dòng)力學(xué)和動(dòng)能定理)：

(1)由于洛倫茲力不做功，由動(dòng)能定理可得

(2)設(shè)小球在最低點(diǎn)H的速度為vH，下降的最大距離為ym，根據(jù)向心力公式可得

圖3

(3)【解析】小球運(yùn)動(dòng)如圖3所示

由動(dòng)能定理得

由圓周運(yùn)動(dòng)

由③④及R=2|ym|解得

【解法二】(構(gòu)造法)：針對第(2)(3)兩問來分析。

圖4