基于扭秤法精確測(cè)量萬(wàn)引力常量方法的分析

曹飛 張冬霞

【摘 要】萬(wàn)有引力常數(shù)G是基本物理學(xué)常數(shù)， 其在理論物理、天體物理和地球物理等許多領(lǐng)域中扮演著重要角色。兩百多年來(lái)， 人們共測(cè)量出了200 多個(gè)G值， 但G的測(cè)量精度仍然是所有物理學(xué)常數(shù)中最差的， 這一現(xiàn)象反映了測(cè)G工作本身的復(fù)雜性和困難性。本文簡(jiǎn)要概述了利用扭秤法精確測(cè)量萬(wàn)引力常量G值的方法，并分析了此方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】萬(wàn)有引力常數(shù)G；精密測(cè)量； 扭秤法

一、引言

有引力定律的發(fā)現(xiàn)是17 世紀(jì)自然科學(xué)最偉大的成果之一。它把地面上物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律統(tǒng)一起來(lái)， 對(duì)物理學(xué)和天文學(xué)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。它第一次解釋了自然界中四種基本相互作用之一的引力相互作用， 在人類認(rèn)識(shí)自然的歷史上樹立了一座里程碑.在萬(wàn)有引力定律中， 引力常數(shù)G是一個(gè)普適常數(shù)， 不受物體的大小、形狀、組成成分等因素的影響. 由于引力的不可屏蔽性， 在大尺度的天體之間， 萬(wàn)有引力起支配作用。在與有心力問(wèn)題相關(guān)的天體力學(xué)以及軌道動(dòng)力學(xué)中均含有G或其他隱含的類似因子， 譬如地球引力常數(shù)GM， 其中M 為地球的質(zhì)量。

到目前為止， 在CODATA-2014 收錄的14 個(gè)G值中， 精度最高的是2000 年美國(guó)華盛頓大學(xué)的引力研究組采用扭秤角加速度反饋法測(cè)量的結(jié)果.在其他結(jié)果中， 采用扭秤周期法獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果有六個(gè)， 分別為NIST-82 ， TR&D-96， LANL-97， HUST-05， HUST-09 和UCI-14，所用測(cè)量方法有扭秤周期法、簧片扭秤補(bǔ)償法/直接傾斜法， 雙單擺F-P 腔法， 扭秤靜電補(bǔ)償法， 天平補(bǔ)償法， 和冷原子干涉法等。

二、扭秤傾斜法測(cè)量G及靜電補(bǔ)償法

直接傾斜法和靜電補(bǔ)償法通常采用精密扭秤作為檢驗(yàn)質(zhì)量。扭秤由一根細(xì)絲懸掛， 可在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)， 這種設(shè)計(jì)的最典型特點(diǎn)是將待測(cè)的引力信號(hào)置于與地球重力場(chǎng)正交的水平面內(nèi)， 以此減少地球重力場(chǎng)及其波動(dòng)的影響。 直接傾斜法是扭秤最直接的工作模式. 如圖1所示， 其基本原理是利用扭秤自身的回復(fù)力矩平衡吸引質(zhì)量施加在扭秤上的引力力矩， 通過(guò)對(duì)扭秤的扭轉(zhuǎn)角度θ進(jìn)行高精度的測(cè)量， 并使用胡克定律建立起引力力矩和扭秤偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系， 從而給出G值。直接傾斜法的難點(diǎn)在于要求對(duì)扭秤旋轉(zhuǎn)角θ進(jìn)行絕對(duì)測(cè)量， 且扭絲的性質(zhì)如非線性、熱彈性、平衡位置漂移等會(huì)對(duì)結(jié)果造成直接影響。為了減小扭絲特性的影響， 一種解決方案是使用靜電力對(duì)引力力矩進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償， 使扭絲不扭轉(zhuǎn)， 扭秤始終保持原來(lái)的靜止?fàn)顟B(tài)， 從而將直接傾斜法中對(duì)角位移的直接測(cè)量轉(zhuǎn)換為對(duì)電信號(hào)的測(cè)量。由于在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中扭絲只起到懸掛扭秤的作用， 因此其自身特性并不會(huì)影響到G值測(cè)量結(jié)果， 所以極大地減小了扭絲的非線性等因素的影響。但是靜電補(bǔ)償法本質(zhì)上仍然是一種靜態(tài)測(cè)量方法， 靜電力的測(cè)量極容易受到環(huán)境溫度波動(dòng)等因素的干擾， 而且不能像動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)?zāi)菢油ㄟ^(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)制或者差分的方法減少環(huán)境因素的干擾。此外， 由于裝置的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和邊界效應(yīng)等因素的影響， 電極和檢驗(yàn)質(zhì)量之間的電容并不能簡(jiǎn)單地通過(guò)理論計(jì)算給出， 而需要對(duì)其進(jìn)行高精度的標(biāo)定。

三、測(cè)量方法改進(jìn)

2001 年， 國(guó)際計(jì)量局BIPM 的Quinn 等在同一套裝置上同時(shí)使用扭秤直接傾斜法和靜電補(bǔ)償法兩種方法進(jìn)行G值測(cè)量. 這兩種方法擁有著不同的誤差源， 一種方法中的未知系統(tǒng)誤差很有可能不出現(xiàn)在另一種方法中， 通過(guò)相互比較可以有效提高測(cè)量結(jié)果的置信水平。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果比CODATA-2002，2006， 2010， 2014 收錄的其他G值都偏大. 在隨后的2013 年， BIPM 的研究組重新搭建了實(shí)驗(yàn)裝置，檢驗(yàn)質(zhì)量和吸引質(zhì)量也做了相應(yīng)的改進(jìn)。

一個(gè)直徑295 mm， 厚8 mm 的鋁盤由簧片懸掛，鋁盤用于支撐4 個(gè)圓柱形檢驗(yàn)質(zhì)量. 每個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量由銅碲合金制成， 直徑和高度均為55 mm， 質(zhì)量為1.2 kg， 4 個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量對(duì)稱地放置在鋁盤上， 半徑為120 mm。真空容器外同樣對(duì)稱地放置了4 個(gè)圓柱形吸引質(zhì)量， 其材質(zhì)與檢驗(yàn)質(zhì)量相同， 但體積更大， 其直徑和高度分別為120 mm 和115 mm， 單個(gè)吸引質(zhì)量重11 kg. BIPM 的研究組使用一根長(zhǎng)度L = 160 mm， 寬度b = 2：5 mm， 厚度t = 30 _x0016_m 的簧片代替?zhèn)鹘y(tǒng)的扭絲用于懸掛檢驗(yàn)質(zhì)量和合金鋁支撐盤， 簧片的彈性系數(shù)為

其中F 為材料的剪切模量， Mg 為扭擺的重量. 上式中的兩項(xiàng)均提供回復(fù)力矩， 第一項(xiàng)類似于圓形扭絲提供的彈性恢復(fù)力矩， 而第二項(xiàng)則是當(dāng)簧片扭轉(zhuǎn)時(shí)扭擺在地球重力場(chǎng)中的位置升高所致。BIPM 實(shí)驗(yàn)中使用的簧片懸掛系統(tǒng)， 第二項(xiàng)占比高達(dá)90%。由于重力是保守力， 所以第二項(xiàng)沒(méi)有耗散， 這使得簧片總的耗散較小，因此有效地減小了測(cè)G實(shí)驗(yàn)中的滯彈性效應(yīng)和降低了扭秤熱噪聲的影響。他們得到的新實(shí)驗(yàn)結(jié)果為6.67554（16）×1011 m3kg-1s-2相對(duì)不確定度24 ppm ， 與他們2001 年的結(jié)果在誤差范圍內(nèi)符合， 但實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍然是CODATA-2014 收錄的14個(gè)結(jié)果中最大的。除了BIPM 的研究組， 新西蘭測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室（MSL） 的Fitzgerald 和Armstrong 同樣采用了靜電補(bǔ)償法測(cè)量萬(wàn)有引力常數(shù)G。其實(shí)驗(yàn)原理與BIPM類似， 都是通過(guò)伺服反饋電壓作用到檢驗(yàn)質(zhì)量上的力矩來(lái)平衡吸引質(zhì)量施加的引力力矩， 從而將角位移的直接測(cè)量轉(zhuǎn)換為對(duì)電信號(hào)的測(cè)量。在靜電補(bǔ)償法中， 電極電容C 對(duì)檢驗(yàn)質(zhì)量轉(zhuǎn)角_x0012_的導(dǎo)數(shù)dC/d_x0012_ 是電信號(hào)測(cè)量的關(guān)鍵參數(shù)， 需要對(duì)其進(jìn)行高精度的標(biāo)定。MSL 使用了加速度法對(duì)其進(jìn)行測(cè)量， 使得G值表達(dá)式中不包含檢驗(yàn)質(zhì)量尺寸和質(zhì)量， 因此G值測(cè)量結(jié)果不依賴于檢驗(yàn)質(zhì)量的密度分布， 徹底消除了密度均勻性的影響。為了提高測(cè)量結(jié)果的可靠性， 實(shí)驗(yàn)中還嘗試了不同的電壓（30—270 V） 和不同材料的吸引質(zhì)量（不銹鋼和銅）， 測(cè)量結(jié)果之間的符合程度非常好。MSL 于1995 年首次公布其實(shí)驗(yàn)結(jié)果為 6：6656（6）×1011 m3kg-1s-2. 1999 年， 他們公布的改進(jìn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為（MSL-99） 6.6742（7）×1011 m3kg-1s-2 。此后進(jìn)一步改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為（MSL-03） 6.67387（27×1011 m3kg-1s-2， 相對(duì)不確定度達(dá)到40 ppm。

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