夫瑯禾費光柵衍射的MATLAB仿真及分析

曾建華，彭亦平，賴徽媛，桑志文，常山

(1.上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西上饒334001;2.上饒師范學(xué)院外國語學(xué)院，江西上饒334001)

光的干涉與衍射揭示了光的波動性，是光學(xué)課程中的重點和難點。光柵衍射是波動光學(xué)中的重要現(xiàn)象，涉及到單縫衍射與多縫干涉，其呈現(xiàn)的總效果為各單縫衍射基礎(chǔ)上的多縫干涉［1-2］。光柵衍射條紋受入射光波長、總縫數(shù)、單縫寬度、光柵常數(shù)、透鏡焦距等多種因素的影響，譜線特征變化也很豐富。表現(xiàn)在主極大、次極大的產(chǎn)生，譜線強度及衍射角的變化，主極大的缺級，復(fù)色光入射時光柵光譜的產(chǎn)生及條紋越級現(xiàn)象等［3-14］。光柵光譜的產(chǎn)生機理、物理特征和強度分布規(guī)律等非常復(fù)雜，傳統(tǒng)的光學(xué)演示實驗對實驗環(huán)境要求苛刻，教室中能做的極為有限，此外，實驗中光柵衍射所有譜線特征也難以得到充分展示，因此，學(xué)生理解、掌握這部分內(nèi)容還是有一定的難度。

本文運用MATLAB軟件編程［15-16］，通過改變光柵衍射中的縫數(shù)N、縫寬b、光柵常數(shù)d、透鏡焦距f和光波波長λ等參數(shù)，得到了半角寬度、主極大條紋間距、衍射譜線銳度等隨這些參數(shù)改變的變化規(guī)律，這些變化體現(xiàn)在光強分布曲線和衍射圖樣的變化中;同時也探究了光柵衍射中的缺級現(xiàn)象。應(yīng)用計算機技術(shù)對薄膜干涉［17］、光柵衍射等光學(xué)現(xiàn)象進行仿真演示，能形象、直觀地展示和闡釋光學(xué)過程及其變化規(guī)律，這有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能輔助教師的理論和實驗教學(xué)，最終促進學(xué)生對知識點的理解和掌握。

1 光柵衍射原理

具有空間周期性的衍射屏就可以稱為衍射光柵。衍射現(xiàn)象通常分為兩類:菲涅耳衍射(近場衍射)與夫瑯禾費衍射(遠場衍射)。由于菲涅耳衍射的計算難度大、夫瑯和費衍射的計算相對簡便［18］，教材中通常都只討論夫瑯和費光柵衍射。本文應(yīng)用MATLAB軟件也只是仿真、分析了夫瑯禾費光柵衍射現(xiàn)象，實驗光路如圖1(a)所示。S為與紙面垂直的線光源，它位于透鏡L1的焦平面上，屏幕放在透鏡L2的焦平面上。設(shè)透射光柵有N條狹縫，透光部分寬度(即縫寬)為b，不透光部分(即擋光部分)寬度為a，則光柵常數(shù)為d=a+b，θ為衍射角，f為透鏡焦距。

光柵光譜的光強分布為［1］:

其中

b為縫寬，d為縫間距(即光柵常數(shù))。式(1)包含了兩部分:第一部分為多縫干涉因子，所以光柵衍射可以認為是單縫衍射與縫間干涉共同作用、多縫干涉被單縫衍射調(diào)制而成的結(jié)果。

2 MATLAB模擬光柵衍射的程序代碼

基于式(1)采用MATLAB編寫了光柵衍射程序，運行后可以生成光柵衍射的光強分布和衍射圖樣。主程序中設(shè)置5個變化參數(shù)，分別為縫數(shù)N、縫寬b、光柵常數(shù)d、透鏡焦距f、光波波長lamda(即λ)。xs表示圖1(a)中的P點到O的距離。為便于書寫，程序中輸入N=5，b=0.001 mm，d=0.005 mm，f=70 mm，λ =632.8×10－6mm，在接收屏上選1 000個點。主程序代碼如圖1(b)所示。

圖1 夫瑯禾費光柵衍射光路圖(a)和MATLAB主程序代碼(b)

3 光柵衍射的MATLAB仿真結(jié)果分析

在MATLAB仿真計算中，通過改變縫數(shù)N、縫寬b、光柵常數(shù)d、透鏡焦距f、光波波長λ，研究了光柵衍射圖樣和光強分布隨這些參數(shù)的變化，并探究了光柵衍射中的缺級現(xiàn)象。

3.1 縫數(shù)N對光柵衍射的影響

選定縫寬 b=0.001 mm、光柵常數(shù) d=0.002 5 mm、透鏡焦距 f=70 mm、光波波長λ =632.8 nm，改變縫數(shù)N，得到光柵衍射的光強分布和圖樣的變化情況，如圖2所示?？梢钥闯?，隨著縫數(shù)N的增大，亮條紋由寬變細，這個變化決定于半角寬度Δθ的定義［1］:

縫數(shù)N增大使半角寬度Δθ變小，但在變化中條紋位置不變。圖2中還能看到相鄰主極大之間有N－1條暗紋和N－2條次極大。光強分布曲線中也顯示了單縫衍射的痕跡，曲線的包絡(luò)和單縫衍射強度曲線的形狀相同。

3.2 縫寬b對光柵衍射的影響

選定縫數(shù)N=5、光柵常數(shù)d=0.01 mm、透鏡焦距f=70 mm、光波波長λ=632.8 nm，改變縫寬b并一直保持光柵常數(shù)d=b+a=0.01 mm的值不變，得到光柵衍射的光強分布和圖樣的變化情況，如圖3所示。圖3中表明縫寬b的變化對光柵衍射影響較大，縫寬b增大，能明顯觀察到的亮條紋減少，當(dāng)縫寬b=0.009 mm時只剩下了一條明顯的亮條紋。這是由于主極大的強度隨縫寬b增大而降低得很快導(dǎo)致的。圖3中還能看到主極大的位置、條紋間距和半角寬度沒有變。

圖2 光柵衍射隨縫數(shù)N的變化

圖3 光柵衍射隨縫寬b的變化

3.3 光柵常數(shù)d對光柵衍射的影響

選定縫數(shù)N=5、縫寬b=0.01 mm、透鏡焦距f=70 mm、光波波長λ=632.8 nm，通過改變擋光部分a的值來改變光柵常數(shù)d，得到光柵衍射的光強分布和圖樣的變化情況，如圖4所示。隨著光柵常數(shù)d的增大，主極大的半角寬度及主極大條紋間距減小，它逐漸向中央亮紋靠攏，亮條紋數(shù)目變多，出現(xiàn)了更密集的主極大;衍射譜線變窄，銳度變好。通過式(4)也可推斷半角寬度Δθ與光柵常數(shù)d成反比，所以能觀察到圖4中的這些現(xiàn)象。

3.4 透鏡焦距f對光柵衍射的影響

選定縫數(shù)N=5、縫寬b=0.001 mm、光柵常數(shù)d=0.002 5 mm、光波波長λ =632.8 nm，改變透鏡焦距f，得到光柵衍射的光強分布和圖樣的變化情況，如圖5所示。根據(jù)公式［1］:

可知透鏡焦距的變化會改變衍射角的正弦值，從而會改變條紋的位置、半角寬度。從圖5中可以看出，隨著透鏡焦距f的增大，主極大亮線的半角寬度也增大，主極大亮紋變寬，次極大的線寬變大，條紋亮度更強，但銳度更差，主極大的位置逐漸遠離中央亮紋。

3.5 光波波長λ對光柵衍射的影響

選定縫數(shù)N=5、縫寬b=0.001 mm、光柵常數(shù)d=0.002 5 mm、透鏡焦距f=70 mm，改變光波波長λ，得到光柵衍射的光強分布和圖樣的變化情況，如圖6所示。根據(jù)式(4)可知，半角寬度Δθ與λ成正比，所以從圖6中能看到隨著波長λ增大，主極大條紋變寬，相鄰主極大條紋間距增大，主極大條紋向兩側(cè)移動。

圖4 光柵衍射隨光柵常數(shù)d的變化

圖5 光柵衍射隨透鏡焦距f的變化

3.6 缺級現(xiàn)象的仿真

選定縫數(shù)N=5、透鏡焦距f=70 mm、光波波長λ =632.8 nm，縫寬b固定為0.001 mm，接著使光柵常數(shù)與縫寬的比值為整數(shù)，并通過光柵常數(shù)的變化改變這個整數(shù)比，仿真探究光柵衍射的缺級現(xiàn)象，如圖7所示。當(dāng)θ角位置同時滿足下列關(guān)系［1］:

即:

時，應(yīng)出現(xiàn)某k級明條紋的位置，實際上卻是暗條紋，k級明條紋不出現(xiàn)，這種現(xiàn)象就稱為缺級現(xiàn)象。在圖7中，分別在(a)圖的 ±2、±4、… ，(b)圖的 ±3、±6、… ，(c)圖的 ±4、±8、… ，(d)圖的 ±5、±10、…等級數(shù)位置出現(xiàn)了缺級現(xiàn)象。

圖6 光柵衍射隨光波波長λ的變化

圖7 缺級現(xiàn)象的仿真

4 結(jié)論

根據(jù)光柵光譜的關(guān)系式，采用MATLAB編寫了光柵衍射仿真程序，運行后得到了夫瑯禾費光柵衍射的光強分布和衍射圖樣，研究了夫瑯禾費光柵衍射隨縫數(shù)N、縫寬b、光柵常數(shù)d、透鏡焦距f和光波波長λ的變化規(guī)律?？p數(shù)增大，半角寬度Δθ變小，亮條紋由寬變細，但條紋位置不變;縫寬b增大，能明顯觀察到的亮條紋減少，但主極大的位置、條紋間距和半角寬度沒有變;光柵常數(shù)d增大，主極大的半角寬度及條紋間距減小，它逐漸向中央亮紋靠攏，衍射譜線變窄，銳度變好;透鏡焦距f增大，主極大亮線的半角寬度也增大，主極大亮紋變寬，次極大的線寬變大，條紋亮度更強，但銳度更差，主極大的位置逐漸遠離中央亮紋;波長λ增大，主極大條紋變寬，相鄰主極大條紋間距增大，主極大條紋向兩側(cè)移動。當(dāng)光柵常數(shù)d與縫寬b的比值為整數(shù)時，能觀察到光柵衍射中的缺級現(xiàn)象。運用MATLAB編程仿真、研究夫瑯禾費光柵衍射，克服了實驗條件苛刻的限制，形象、直觀地展示了光柵衍射的變化規(guī)律，這對輔助教師教學(xué)、提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果等方面具有重要作用。