隨機正交匹配追蹤算法的熱光鬼成像

高 祿， 亓曉曼， 肖 珂， 宋漢全

(中國地質大學(北京) 數(shù)理學院, 北京 100083)

0 引 言

鬼成像(Ghost Imaging, GI)，也被稱為關聯(lián)成像或者符合成像，具有傳統(tǒng)光學成像所不具備的多種優(yōu)點，如非定域性、超分辨率、無透鏡成像以及抗干擾能力強等特點[1-2]。鬼成像系統(tǒng)中包括“閑置光”和“探測光”兩個光路，“探測光”照射物體后的總光強值由一個不具備空間分辨率的探測器收集，即進行“桶測量”；“閑置光”光路中的光束自由傳遞至探測器，光強的空間分布信息被CCD(Charge-coupled Device)探測器記錄下來。兩個光路中的任何一路的觀測數(shù)據(jù)都無法獲得被測物體的信息，然而經(jīng)過光場強度關聯(lián)計算后卻可獲得被測物體的圖像，因此人們形象地稱之為“鬼”成像[3]。這種新型的量子關聯(lián)成像方式在遙感[4-5]、醫(yī)學[6]、顯微成像[7]，以及彈載、星載成像探測[8]等各領域具有潛在的應用價值。

1988年，Klyshko[9]首次從理論上提出利用糾纏光子對進行關聯(lián)成像的方案。1995年，史硯華研究小組首次利用糾纏光子對實現(xiàn)了量子成像和量子干涉實驗[10]。2002年，Boyd等[11]首次利用經(jīng)典光源實現(xiàn)了鬼成像，由此證明了非相干的經(jīng)典光源也能夠實現(xiàn)鬼成像，這一研究降低了鬼成像光源獲取的難度，促進了鬼成像的實際應用發(fā)展。隨后，計算關聯(lián)成像、差分關聯(lián)成像的提出以及壓縮感知算法的應用研究，極大地提高了關聯(lián)成像的信息獲取效率和圖像質量[12-18]。

對于空間頻率非相干熱光源鬼成像方案，獲取待測物體圖像信息需要對大量的采集數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計平均，而高質量的圖像必然要以龐大的數(shù)據(jù)量為代價。這樣的采集過程很大程度地制約了成像效率，是鬼成像探測系統(tǒng)在實際應用中的一個最大弊端。本文通過理論研究與實驗驗證，在壓縮感知鬼成像原理基礎上[19-20]，提出隨機正交匹配追蹤算法，利用極少量測量數(shù)據(jù)即可再現(xiàn)待測物體的主要信息，從而能夠更好地促進熱光鬼成像系統(tǒng)在實際中的應用。

1 實驗設置

實驗裝置如圖1所示。He-Ne激光器發(fā)出的波長為632.8 nm激光束通過1個反射鏡M的反射后，穿過兩個偏振片P1和P2，之后光束照射到勻速旋轉的毛玻璃RG上，產(chǎn)生了空間頻率隨機分布的非相干贗熱光源。N為放置在毛玻璃RG之前的透鏡組，用來調節(jié)照射到毛玻璃上的激光橫截面尺寸的大小。實驗中贗熱光發(fā)出的光束穿過光闌Iris后，被50/50非偏振分束器BS分成光強相同的兩束光。待測物體T緊貼探測器D1放置，光束經(jīng)待測物體T后被探測器收集，進行“桶測量”，該光路稱為測試光路；另一光路中的光自由傳播到探測器處，探測器可獲得光場橫截面的光強分布，該光路為參考光路。實驗中，可以通過調節(jié)光闌孔徑的大小來控制贗熱光源的橫截面尺寸，進而調控關聯(lián)成像的分辨率和可見度。BS距兩個探測器和的距離均為30 cm，即探測光路和參考光路的光程相等。實驗中所選擇的待成像的物體是透射型的振幅物體，物體大小為1 cm×1 cm，透光部分呈字母“C”的形狀，長寬均為600 μm，透光部分線寬為150 μm，其余部分均不透光。

He-Ne-激光器；M-平面反射鏡；P1，P2-偏振片；N-擴束器；RG-旋轉毛玻璃；Iris-光闌；BS-50/50非偏振分束器；D1，D2-CCD探測器；T-待測物體; C.C.-關聯(lián)測量

圖1 熱光源無透鏡鬼成像實驗裝置圖

2 理論分析

2.1 熱光場二階關聯(lián)函數(shù)

熱光關聯(lián)成像的理論基礎是熱光場的二階關聯(lián)特性。被測物體的圖像是通過兩個探測器橫截面光場的二階關聯(lián)函數(shù)所獲取。根據(jù)高斯矩定理，當光場函數(shù)滿足高斯統(tǒng)計分布時，高階關聯(lián)函數(shù)可以用一階關聯(lián)表示。熱光場的二階關聯(lián)函數(shù)可以寫作:

G(2)(r1,r2,t1,t2)=〈E*(r1,t1)E(r1,t1)〉·

〈E*(r2,t2)E(r2,t2)〉+〈E*(r1,t1)E(r2,t2)〉·

〈E*(r2,t2)E(r1,t1)〉=G(1)(r1,t1)G(1)(r2,t2)+

|G(1)(r1,t2)|2

(1)

式中：E(ri,ti) (i=1,2)表示探測器D1和D2處的光場函數(shù)；第1項表示探測器D1和D2處強度分布的乘積，理想情況下是一個常數(shù)，通常視為直流背景項；第2項表示光場強度的關聯(lián)，即光場的關聯(lián)信息。

歸一化二階關聯(lián)函數(shù)可以表示為：

g(2)(r1,r2,t1,t2)=

(2)

g(2)在完全非相干光的理想情況下數(shù)值為2，在一般的部分非相干光源情況下，其測量值介于1和2之間，數(shù)值越接近2表明關聯(lián)圖像的可見度越高。

2.2 壓縮感知算法

Candes等提出了壓縮感知理論，該理論不同于傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理。它指出，如果待測信號是可壓縮的或者稀疏的，那么就能夠使用一個觀測矩陣將其投影到低維空間上，然后通過求解最優(yōu)化問題，從投影中重構出信號。壓縮感知算法打破了奈奎斯特采樣定理的采樣速率限制，將信號的采樣與壓縮編碼同時進行。壓縮感知包括稀疏表示、線性觀測以及算法重構3個環(huán)節(jié)。

根據(jù)關聯(lián)成像的基本原理，桶測量的每個觀測值都與物體的透射函數(shù)T(x,y)有關。如果將桶測量第r次獲得的探測值記為Br，Ir(x,y)，則表示參考光路的光強分布可以通過下式計算出具體值：

(3)

對物體進行M次采樣后，可以得到M組Br和Ir(x,y)。為了恢復物體的透射函數(shù)，將桶測量值與參考光路的強度測量矩陣進行關聯(lián)，即：

(4)

根據(jù)式(3)，將桶測量值Br作為觀測值，將光強矩陣Ir(x,y)作為觀測矩陣，則可以將信號重構問題歸結為優(yōu)化問題：

(5)

在壓縮感知算法中，不同的重構算法得出的結果有很大的差異，本文主要對正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法進行討論。正交匹配追蹤的核心思想是，每次循環(huán)通過計算殘差與觀測矩陣每1列的內積，找出內積最大也就是兩者最相似的1列，然后根據(jù)最小二乘法就能夠最大程度地求解出殘差最小的原始信號估值。在運用OMP算法重構關聯(lián)影像時，雖然能夠將影像的主要信息提取出來，但是重構圖像并不具有良好的連續(xù)性，信息缺失比較嚴重。尤其是在測量幀數(shù)比較多的情況下，算法恢復的圖像并不會表現(xiàn)出較好的可見度和分辨率。這是由于在使用正交匹配追蹤算法時，并沒有充分運用所采集的待測物體的數(shù)據(jù)信息，隨著測量幀數(shù)的增多，此缺點愈加明顯。

3 實驗結果

3.1 熱光鬼成像實驗

首先進行了熱光鬼成像實驗，所采用的實驗方案為無透鏡成像。實驗中采集了不同的統(tǒng)計平均幀數(shù)，分別計算二階關聯(lián)函數(shù)值，實驗結果如圖2所示。圖2的結果顯示對于相同的實驗裝置和待成像物體，在實驗參數(shù)完全相同的情況下，采集的隨機幀數(shù)越多，圖像的可見度越高。當統(tǒng)計幀數(shù)低于1 000幀時，圖像質量隨著幀數(shù)的增加明顯提高。當統(tǒng)計平均幀數(shù)從1 000幀逐步增加到5 000幀時，圖像質量趨于穩(wěn)定，即當統(tǒng)計幀數(shù)達到一定數(shù)量時，圖像質量保持不變。由此可見，若想進一步提高圖像的質量，需要采用其他的方法。

(a) 100幀

(b) 300幀

(c) 500幀

(d) 1 000幀

(e) 3 000幀

(f) 5 000幀

圖2 不同統(tǒng)計幀數(shù)熱光關聯(lián)無透鏡鬼成像結果

3.2 壓縮感知算法鬼成像實驗

首先利用OMP算法針對300幀、1 000幀以及5 000幀的數(shù)據(jù)進行相對應的數(shù)據(jù)處理，將物體的主要信息從光強測量中提取出來，得到如圖3所示的結果圖。圖3的結果顯示，即使用少量的采集數(shù)據(jù)(如300幀)，也能夠獲得比較清晰的待測物體“C”的圖像，1 000幀和5 000幀的OMP恢復圖像結果相對于300幀的圖像恢復結果而言，圖像的連續(xù)性和清晰度有所改善，但是改善效果并不明顯。

圖3中的恢復圖像與原始關聯(lián)影像相比較而言，只有“信號”部分有數(shù)值，而其余部分都為零，因而可以認為圖像的信噪比為無窮大。然而圖像信噪比大幅提高的同時，由于數(shù)據(jù)缺失比較嚴重，只能利用算法恢復識別出物體的外形輪廓。由此可見，OMP算法能夠在測量幀數(shù)較少的情況下實現(xiàn)對待測物體的外形輪廓識別，在遠程非定域物體識別方面極具應用價值。

為了進一步提高熱光關聯(lián)成像壓縮感知算法恢復圖像的質量，在OMP算法的基礎上提出RandOMP算法。對500幀、1 000幀以及5 000幀的原始數(shù)據(jù)進行處理，算法的處理過程為：從觀測數(shù)據(jù)中隨機選取了500幀數(shù)據(jù)進行一次OMP處理，共選取了500次得到500個OMP重構結果，然后對這500組結果求平均，最終得到優(yōu)化解。將RandOMP處理的結果與原始熱光關聯(lián)以及使用OMP算法處理的圖像進行了對比分析，所得結果如圖4所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

圖3 OMP算法處理的熱光關聯(lián)成像結果

(a)，(b)，(c)分別表示300幀、1 000幀以及5 000幀的原始關聯(lián)圖像；(d)，(e)，(f)分別表示300幀、1 000幀以及5 000幀的經(jīng)過OMP算法處理的結果

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

圖4 熱光關聯(lián)圖像、OMP處理圖像及RandOMP處理圖像結果

(a), (b)和(c)： 500幀關聯(lián)圖像、OMP和RandOMP處理結果；(d)，(e)和(f)：1 000幀關聯(lián)圖像、OMP及RandOMP處理結果；(g)，(h)和(i)：5 000幀關聯(lián)圖像、OMP及RandOMP處理結果。

將圖3和圖4的重構圖像進行對比分析可以得知，RandOMP重構算法相比于傳統(tǒng)的OMP重構算法而言，主要具有以下兩方面的優(yōu)勢：

(1) RandOMP重構算法的運行時間更短。由于每次循環(huán)都是使用抽稀后的矩陣執(zhí)行OMP重構過程，相比于直接使用原始矩陣進行OMP重構，運行速度明顯提高。這種運行速度提高的優(yōu)勢會隨著采集幀數(shù)的增加，測量矩陣的增大，而越發(fā)明顯。

(2)RandOMP重構算法對圖像信息的挖掘更充分，重構圖像的質量更高。由圖4給出的3列對比圖像結果可以看出相同采集幀數(shù)的情況下，RandOMP的恢復圖像連續(xù)性更好，更有利于對待測物體細節(jié)的分辨，這是因為RandOMP算法與OMP算法相比損失的圖像信息更少。

4 結 語

將壓縮感知的OMP算法應用于熱光無透鏡關聯(lián)成像的實驗方案中。實驗結果表明，僅需要300幀的少量采集數(shù)據(jù)即可很好地將振幅型待測物體的信息提取，恢復出物體的外形輪廓。OMP算法為熱光關聯(lián)成像系統(tǒng)利用少量數(shù)據(jù)進行物體識別提供了可靠的科學依據(jù)。進一步，在OMP算法基礎上提出改進的RandOMP算法，并且應用于熱光關聯(lián)成像實驗中。實驗結果表明，RandOMP算法可以明顯地提高獲取再現(xiàn)圖像的質量，相比于OMP算法可以大幅提高重構圖像的連續(xù)性，可以應用于熱光關聯(lián)成像系統(tǒng)在復雜物理環(huán)境下的探測。