單排節(jié)流孔氣浮導(dǎo)軌承載力的數(shù)學(xué)模型改進(jìn)與校驗(yàn)分析*

莫德云 馬 平2 連海山 弓滿鋒

(1.嶺南師范學(xué)院機(jī)電工程研究所 廣東湛江 524048；2.廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 廣東廣州 510000)

由氣浮導(dǎo)軌和直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)技術(shù)相結(jié)合的工作臺(tái)，因取消了中間的傳動(dòng)環(huán)節(jié)，具有摩擦小、定位精度高、無(wú)污染等特點(diǎn)，被作為精密定位平臺(tái)廣泛應(yīng)用于光刻、精密測(cè)量和集成電路生產(chǎn)等領(lǐng)域[1-2]。氣浮平臺(tái)的承載力、靜剛度等靜態(tài)特性是判斷工作臺(tái)工作時(shí)能否克服傾覆力矩和正常平穩(wěn)工作的重要指標(biāo)，因此設(shè)計(jì)時(shí)首先需對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行校核，以確保能滿足工作要求。

氣浮平臺(tái)工程上常用的設(shè)計(jì)方法可以歸納為數(shù)學(xué)建模和數(shù)值算法兩大類。杜建軍等[3]通過(guò)建立有限元離散化模型分析了節(jié)流孔與均壓槽對(duì)承載能力的影響；陶家生[4]推導(dǎo)了閉式矩形氣浮導(dǎo)軌雙排節(jié)流孔承載力的數(shù)學(xué)模型；陳愛(ài)民[5]使用有限元模型和數(shù)學(xué)模型對(duì)導(dǎo)軌承載能力進(jìn)行了對(duì)比分析等。以上研究使用不同方法對(duì)氣浮導(dǎo)軌承載力計(jì)算進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，是當(dāng)前氣浮導(dǎo)軌的工程設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。然而當(dāng)端部節(jié)流孔位置不同時(shí)導(dǎo)致的端部承載區(qū)壓力變化，對(duì)承載力的影響也是不容忽視的。因此，本文作者在以上學(xué)者成果的基礎(chǔ)上，根據(jù)端部氣膜壓力分布的特點(diǎn)，對(duì)現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型提出了改進(jìn)的方案，并基于VB語(yǔ)言設(shè)計(jì)了一款承載性能計(jì)算器；建立數(shù)值模型對(duì)改進(jìn)模型的假設(shè)進(jìn)行分析；最后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)2種模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行校驗(yàn)。

1 氣浮導(dǎo)軌工程數(shù)學(xué)模型的改進(jìn)

N-S(Navier-Stokes)方程是求解氣體潤(rùn)滑問(wèn)題的主要基本方程式，它由運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)方程、狀態(tài)方程組成，給予邊界條件后可進(jìn)行聯(lián)立方程組求解[6]。在工程上，常對(duì)N-S方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，以便作為氣浮導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)的理論依據(jù)。工程數(shù)學(xué)模型中，對(duì)N-S方程做了以下假設(shè)：(1)氣體為理想的層流性質(zhì)，流動(dòng)方向平行于導(dǎo)軌平面；(2)氣體與導(dǎo)軌間不存在相對(duì)滑動(dòng)；(3)節(jié)流器所在平面視為連續(xù)高壓區(qū)，氣體只沿寬度方向流出等。此時(shí)，壓力分布如圖1所示。

圖1 單排節(jié)流孔數(shù)學(xué)模型解析

設(shè)定導(dǎo)軌總長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬度為B=2b，供氣壓力為ps，節(jié)流器出口壓力為pd，大氣壓力為pa，氣膜厚度為h。因此，可假設(shè)氣膜間隙中的流動(dòng)如圖2所示。

圖2 氣流模型

依據(jù)上述假設(shè)，N-S方程可簡(jiǎn)化為

(1)

式中:η為氣體黏度;u為氣流在x方向的分量。

積分后可得：

(2)

式中:c1、c2為積分常數(shù)。

設(shè)置邊界條件，當(dāng)y=0，y=h時(shí)，u=0，c2=0，即有：

則式(4)可整理得：

(3)

因此導(dǎo)軌單側(cè)的氣體質(zhì)量為

(4)

(5)

式中:R為氣體常數(shù)，T為絕對(duì)溫度，這里均看作常數(shù)；ρa(bǔ)為大氣密度。

因此，積分可得：

(6)

(7)

聯(lián)立式(6)(7)，可得：

(8)

因此，氣膜承載力為

(9)

上述為目前常用的工程數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)過(guò)程，然而根據(jù)文獻(xiàn)[7]的仿真結(jié)果和工程經(jīng)驗(yàn)，高壓氣體從節(jié)流孔排出后向四周端面流動(dòng)，壓力逐漸減小，流速也不斷降低，當(dāng)氣體到達(dá)邊角時(shí)已基本從相鄰的端面排出，這種情況在氣浮導(dǎo)軌的端部更為明顯。因此，對(duì)單排節(jié)流孔承載力數(shù)學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的壓力分布如圖3所示，把導(dǎo)軌區(qū)分為端部承載區(qū)和主承載區(qū)兩部分。

圖3 單排節(jié)流孔改進(jìn)數(shù)學(xué)模型解析

對(duì)于端部承載區(qū)，沿用前面的條件，并假設(shè)氣體沿半徑rz方向均勻流動(dòng)，沒(méi)有周向流動(dòng)，則該區(qū)域的N-S方程可簡(jiǎn)化為

(10)

積分后，代入邊界條件，得氣膜內(nèi)不同高度的氣體流速：

(11)

因此導(dǎo)軌端部的氣體質(zhì)量為

(12)

整理得：

(13)

代入式(11)和氣體狀態(tài)方程，整理可得：

(14)

取p=pd，r=rd和p=pa，r=rz(rz∈min(b,l′)),進(jìn)行積分、聯(lián)立方程組，可得：

(15)

所以氣膜兩端部的承載力之和為

(16)

同時(shí)，用主承載區(qū)的l代替式(9)中的導(dǎo)軌總長(zhǎng)L，則有主承載區(qū)的承載力為

(17)

綜上所述，分為端部承載區(qū)和主承載區(qū)后的導(dǎo)軌總承載力為式(16)和(17)的總和：

W=Wz+Wd

為方便后面對(duì)數(shù)學(xué)模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比校驗(yàn)，使用VB軟件編寫(xiě)了單排節(jié)流孔氣浮導(dǎo)軌承載性能計(jì)算器，如圖4所示。

圖4 單排節(jié)流孔氣浮導(dǎo)軌承載性能計(jì)算器

2 氣浮導(dǎo)軌數(shù)值算法的建模與分析

工程中，由于數(shù)學(xué)模型相對(duì)更便捷高效，常用于結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)。然而對(duì)于結(jié)構(gòu)形狀或流動(dòng)狀態(tài)比較復(fù)雜的模型，或者是需要精確分析區(qū)域流速和壓力分布狀態(tài)的場(chǎng)合，可以使用有限元數(shù)值算法進(jìn)行分析。

同時(shí)，為驗(yàn)證改進(jìn)數(shù)學(xué)模型中關(guān)于端部流場(chǎng)的假設(shè)以及l(fā)′對(duì)承載力的影響，設(shè)定如下三則算例，以建立有限元模型：導(dǎo)軌總長(zhǎng)L=250 mm，導(dǎo)軌寬B=50 mm，節(jié)流孔個(gè)數(shù)n=5，供氣壓力為ps=0.2 MPa，氣膜厚度h=0.02 mm，如圖5所示。

圖5 導(dǎo)軌模型尺寸

調(diào)整三則算例的節(jié)流孔間距以及節(jié)流孔到端面的距離，如表1所示。

表1 算例結(jié)構(gòu)方案

建立氣膜有限元模型,選取三維流體單元FlUID142，對(duì)氣膜模型進(jìn)行映射網(wǎng)格劃分，同時(shí)對(duì)節(jié)流器附近的網(wǎng)格進(jìn)行局部細(xì)化。工作時(shí)，氣體由節(jié)流器頂端流入，經(jīng)小孔節(jié)流后進(jìn)入導(dǎo)軌，形成高壓氣膜，再?gòu)母鳉饽ざ嗣媪鞒?，因此在各?jié)流器頂端施加供氣壓力ps，氣膜各端面施加環(huán)境壓力pa=0，氣膜其余表面和節(jié)流器外表面施加速度全約束，設(shè)置空氣的可壓縮性和紊流狀態(tài)[8-9]，有限元模型網(wǎng)格劃分與邊界條件如圖6所示。

圖6 有限元模型網(wǎng)格劃分與邊界條件

選擇標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型和BiCGSTAB(穩(wěn)定雙共軛梯度法)進(jìn)行聯(lián)合求解。原因是標(biāo)準(zhǔn)k-ε湍流模型是根據(jù)湍流理論推導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的一個(gè)半經(jīng)驗(yàn)的模型，在工程領(lǐng)域廣泛使用[10]。

湍流動(dòng)能k及其耗散率ε的運(yùn)輸方程可表達(dá)如式(18)(19)所示。

(18)

(19)

式中：μt為湍流黏度，Gk為湍流動(dòng)能生成項(xiàng),

(20)

引用Boussinesq假設(shè)，可得：

Gk=μtS2

(21)

式中:S為平均應(yīng)變率,

(22)

根據(jù)Launder等的推薦值及后續(xù)實(shí)驗(yàn)，設(shè)置本模型常數(shù)[9]為：σk=1.0，σε=1.3，C1ε=1.44，C2ε=1.92，Cμ=0.09。

為幫助氣體可壓縮性問(wèn)題的求解，選擇BiCGSTAB(穩(wěn)定雙共軛梯度法)求解器，并分4步加載，直到慣性松弛系數(shù)為1.0×10-10。

三則算例的有限元模型求解后的氣膜壓力分布如圖7所示。

圖7 氣膜壓力分布云圖

從仿真結(jié)果來(lái)看，在節(jié)流孔之間形成了較為明顯的高壓區(qū)，節(jié)流孔間距越小，高壓區(qū)越明顯；同時(shí)，節(jié)流孔處的壓力最高，向四周端面迅速衰減，在端面降至大氣壓。

提取上述模型的氣膜面節(jié)點(diǎn)壓力結(jié)果進(jìn)行積分，得出3個(gè)方案的承載力分別為673.8、606.2、687.9 N；方案3的承載力最大，比承載力最小的方案2高出13.5%；盡管方案2的壓力區(qū)面積更大，但方案3更好地利用了導(dǎo)軌的表面形成較為集中的高壓區(qū)，而方案2中最外側(cè)的2個(gè)節(jié)流器由于太靠近端面，在外側(cè)并未形成有效的壓力區(qū)，同時(shí)還影響了內(nèi)側(cè)高壓區(qū)的形成。

氣膜的壓力三維分布及等壓線如圖8所示。

圖8 氣膜壓力分布立體圖

綜合圖7、圖8壓力分布、等高線分布和承載力結(jié)果可以看出，端部節(jié)流孔的氣流會(huì)從與其最近的端面排出，端部承載區(qū)壓力呈扇形分布，因此當(dāng)孔與端面間距(l′)發(fā)生變化時(shí)會(huì)引起氣膜承載力的變化，而如果按改進(jìn)前的數(shù)學(xué)模型，以上3種結(jié)構(gòu)的承載力結(jié)果是一樣的，從而誤導(dǎo)設(shè)計(jì)。因此在進(jìn)行工程數(shù)學(xué)模型的計(jì)算，尤其是當(dāng)b≠l′時(shí)，區(qū)分端部承載區(qū)和主承載區(qū)兩部分進(jìn)行分析十分必要，能進(jìn)一步提高計(jì)算精度。

3 氣浮導(dǎo)軌承載力測(cè)試實(shí)驗(yàn)

為校驗(yàn)單排節(jié)流孔氣浮導(dǎo)軌數(shù)學(xué)模型改進(jìn)前后的計(jì)算精度，以廣東工業(yè)大學(xué)的直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)精密氣浮定位平臺(tái)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，運(yùn)用DWS電容傳感器、示波器數(shù)據(jù)采集前端、微動(dòng)臺(tái)等搭建承載性能實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

DWS型精密電容位移傳感器的量程為±20 um，輸出電壓為±10 V。為避免傳感器因溫度和使用時(shí)間較長(zhǎng)出現(xiàn)零點(diǎn)漂移，在實(shí)驗(yàn)前進(jìn)行重新標(biāo)定，標(biāo)定如圖9所示。

圖9 位移傳感器標(biāo)定

以0.02 mm為步進(jìn)間距調(diào)節(jié)微動(dòng)臺(tái)，通過(guò)示波器讀取電壓變化，每次采集3組數(shù)據(jù)取平均值，實(shí)驗(yàn)兩次，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的擬合得到電容位移傳感器靈敏度為103.12 V/mm。

實(shí)驗(yàn)用的直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)精密氣浮定位平臺(tái)采用T形導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)，長(zhǎng)度800 mm，寬度680 mm，高度300 mm，自身質(zhì)量197 kg，其中上氣膜寬125 mm，下氣膜寬95 mm，側(cè)氣膜寬150 mm，上下氣膜均是b≠l′的結(jié)構(gòu)形式，各氣膜面均為8個(gè)節(jié)流器，搭建的承載性能測(cè)試平臺(tái)如圖10所示。

圖10 承載能力測(cè)試

實(shí)驗(yàn)時(shí)，先在未供氣的狀態(tài)下采集一次數(shù)據(jù)，然后保持0.20 MPa的供氣壓力，讓氣浮工作臺(tái)空載5 min，確保工作臺(tái)完全浮起并處在穩(wěn)定狀態(tài)，測(cè)量無(wú)負(fù)載時(shí)的數(shù)據(jù)，并將砝碼(10 kg/塊)依次加到氣浮工作臺(tái)上，每增加一塊讀取一次數(shù)據(jù)，添加6塊砝碼后為一組數(shù)據(jù)。測(cè)得4組數(shù)據(jù)經(jīng)回歸處理后如表2所示。

表2 承載力測(cè)試實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，氣浮實(shí)驗(yàn)平臺(tái)在空載時(shí)上氣膜厚度為0.026 4 mm，隨著負(fù)載的增加，上氣膜間隙減小，加載到600 N時(shí)，上氣膜厚度為0.023 1 mm。

對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，使用上一節(jié)的建模方法，取氣浮導(dǎo)軌的一側(cè)，建立偏心率為0時(shí)，垂直方向平均氣膜為0.028 mm的三維有限元?dú)饽つＰ停浣Y(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖11 單側(cè)導(dǎo)軌三維模型

分6步施加載荷，得到各氣膜面三維壓力場(chǎng)分布如圖12所示。由仿真結(jié)果看出，對(duì)于三維模型，各氣膜在相交的直角處還會(huì)形成相連的高壓區(qū)。

圖12 單側(cè)導(dǎo)軌壓力場(chǎng)分布

提取不同氣膜厚度時(shí)的上、下氣膜的承載力，得到單邊導(dǎo)軌承載力如表3所示。

表3 單邊導(dǎo)軌承載力

利用單排節(jié)流孔氣浮導(dǎo)軌承載性能計(jì)算器分別對(duì)改進(jìn)前、后的上、下氣膜承載力進(jìn)行求解，取它們的差為單側(cè)導(dǎo)軌的承載力。經(jīng)整理，數(shù)學(xué)模型、數(shù)值算法以及實(shí)驗(yàn)測(cè)試的氣浮導(dǎo)軌承載力隨氣膜厚度變化的結(jié)果如圖13所示。

圖13 氣浮導(dǎo)軌承載力隨氣膜厚度的變化

如圖13所示，在實(shí)驗(yàn)測(cè)試中，由空載到加載到100 N，上氣膜厚度無(wú)明顯變化；由100 N到600 N時(shí)，隨著上氣膜的減小，承載力呈較好的線性增長(zhǎng)。與有限元結(jié)果相比發(fā)現(xiàn)兩者承載力隨氣膜厚度變化的趨勢(shì)基本一致，承載力的最大偏差出現(xiàn)在氣膜厚度是0.023 1 mm時(shí)，約為5.7%，平均偏差為2.9%。出現(xiàn)偏差的主要是原因是有限元模型并未考慮實(shí)際工程中的因?qū)к壝嫫矫娑?、平行度、裝配等誤差帶來(lái)的氣膜不均等問(wèn)題。

改進(jìn)前、后的氣浮導(dǎo)軌承載力數(shù)學(xué)模型求得承載力隨氣膜厚度變化的趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。其中改進(jìn)后的數(shù)學(xué)模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均偏差為13.3%，較改進(jìn)前的平均偏差19.4%提高6.1%。數(shù)學(xué)模型出現(xiàn)偏差的主要原因是進(jìn)行主承載區(qū)計(jì)算時(shí)，并未把節(jié)流孔之間壓力衰減考慮在內(nèi)，而導(dǎo)致結(jié)果大于實(shí)際測(cè)試結(jié)果。

4 結(jié)論

(1)對(duì)工程上氣浮導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)常用的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，將氣浮導(dǎo)軌分為主承載區(qū)和端部承載區(qū)后的改進(jìn)數(shù)學(xué)模型較改進(jìn)前的計(jì)算精度提高約6.1%，尤其當(dāng)導(dǎo)軌面寬度、節(jié)流孔到端部間距、節(jié)流孔間距三者有較大差值時(shí)，改進(jìn)模型能更好地指導(dǎo)氣浮平臺(tái)設(shè)計(jì)。

(2)對(duì)比數(shù)值建模分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該模型能獲得較高的仿真精度，工作范圍內(nèi)的平均偏差為2.9%，且能獲得較準(zhǔn)確的氣膜壓力和流場(chǎng)工況。