面向在軌服務(wù)任務(wù)的氣囊型軟體機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)建模與分析

劉紅衛(wèi)，張 翔，2，黃奕勇，陳小前

(1.軍事科學(xué)院國防科技創(chuàng)新研究院，北京100071； 2.國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙410073)

1 引言

隨著在軌服務(wù)技術(shù)自主化、智能化程度的不斷提高，在軌加注、模塊更換、在軌組裝、在軌維修等空間操作對機(jī)械臂的需求日益增加，需要機(jī)械臂更加靈巧、智能，適應(yīng)空間高動態(tài)、復(fù)雜、非結(jié)構(gòu)環(huán)境。 日本工程試驗(yàn)衛(wèi)星-7(Engineering Test Satellite VII，ETS-VII)是世界上首個裝有機(jī)械臂的衛(wèi)星系統(tǒng)，機(jī)械臂長2 m，具有六自由度、驗(yàn)證衛(wèi)星模塊更換、在軌桁架組裝、裝配試驗(yàn)天線等技術(shù)[1]。 德國DEOS 在軌服務(wù)任務(wù)使用機(jī)械臂抓捕非合作翻滾目標(biāo)，在預(yù)定的再入走廊使捕獲衛(wèi)星離軌[2-3]。 2014 年，美國啟動了Restore-L 項(xiàng)目，驗(yàn)證低軌合作和非合作目標(biāo)在軌燃料加注技術(shù)，計(jì)劃2020 年發(fā)射，與目標(biāo)衛(wèi)星LandSat-7 開展交會對接，使用機(jī)械臂完成燃料加注操作[4-5]。 美國DARPA 開展了“地球同步衛(wèi)星機(jī)器人服務(wù)(Robotic Servicing of Geosynchronous Satellites，RSGS)”項(xiàng)目，RSGS 飛行器上裝有兩個機(jī)械臂，可以與航天器實(shí)現(xiàn)交會對接，預(yù)計(jì)2021 年發(fā)射，開展在軌組裝、維修、檢查、改變位置、燃料加注等空間操作[6]。 這些任務(wù)的機(jī)械臂采用剛性連接，利用剛性桿和活動關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)多自由度空間運(yùn)動。

近年來，不同研究機(jī)構(gòu)開展了基于電活性聚合物、形狀記憶合金、氣動人工肌肉、流體、水凝膠等材料的軟體機(jī)械臂研究，在未來在軌服務(wù)方面顯示出了廣闊的應(yīng)用前景，成為機(jī)械臂研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)方向[7]。 相比于傳統(tǒng)的剛性連接機(jī)械臂，軟體機(jī)械臂具有質(zhì)量輕、自由度多、可實(shí)現(xiàn)大范圍變形、對空間非結(jié)構(gòu)環(huán)境適應(yīng)能力強(qiáng)、安全柔性接觸等優(yōu)勢[8]。 德國Festo 公司研制了仿象鼻機(jī)械臂，由多個中空的柔性密閉管道組成，通過在管道中施加不同的氣壓來控制機(jī)械臂運(yùn)動[9]。 Qi 等[10]研究了多關(guān)節(jié)充氣機(jī)械臂的動力學(xué)建模與控制問題，該軟體機(jī)械臂重量為50 g，通過充氣控制機(jī)械臂運(yùn)動，可與人體安全接觸。 此外，不同學(xué)者研究了軟體抓手、類章魚臂、類蠕蟲、軟體魚、類蛇體等形態(tài)的軟體機(jī)器人[7，11]。 張翔等[12]針對未來在軌服務(wù)任務(wù)需求，提出了基于波紋管串并聯(lián)方式的軟體機(jī)械臂方案，如圖1(a)所示[12]。 每個波紋管單獨(dú)充氣控制，通過氣壓變化帶動波紋管伸縮。 3 個波紋管并聯(lián)形成一節(jié)軟體驅(qū)動器，波紋管中不同的氣壓組合對應(yīng)軟體驅(qū)動器不同的空間位置。 3 節(jié)軟體驅(qū)動器串聯(lián)并增加末端軟體抓手，構(gòu)成軟體機(jī)械臂，可實(shí)現(xiàn)多冗余自由度的大范圍運(yùn)動和目標(biāo)抓取，在空間在軌服務(wù)方面具有重要的應(yīng)用前景，圖1(b)是設(shè)計(jì)并搭建的軟體機(jī)械臂地面樣機(jī)。

圖1 軟體機(jī)械臂Fig.1 The soft manipulator

與傳統(tǒng)剛性連接的機(jī)械臂不同，軟體機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)建模復(fù)雜，需要在考慮軟體材料力學(xué)行為的基礎(chǔ)上，結(jié)合軟體結(jié)構(gòu)特征、本構(gòu)關(guān)系以及約束條件建立運(yùn)動學(xué)模型。 本文針對上述氣囊型軟體機(jī)械臂方案，開展高精度運(yùn)動學(xué)建模與仿真分析，以期為后續(xù)軟體機(jī)械臂控制提供模型基礎(chǔ)。

2 氣囊型軟體機(jī)械臂建模

2.1 問題描述

軟體機(jī)械臂由3 節(jié)軟體驅(qū)動器串聯(lián)組成(見圖1)，每節(jié)驅(qū)動器由3 個對稱布置的波紋管并聯(lián)組成，其橫截面如圖2 所示。 驅(qū)動器與驅(qū)動器之間采用剛性約束框連接，每節(jié)驅(qū)動器內(nèi)并聯(lián)的波紋管也是由一系列剛性約束框連接。 在機(jī)械臂運(yùn)動過程中，剛性約束框始終保持整體的空間指向，不會發(fā)生彎曲變形。 在相鄰兩個剛性約束框之間，由軟體材料構(gòu)成的氣囊可以伸縮或彎曲。 每個波紋管采用單獨(dú)的氣壓控制，通過控制不同的氣壓組合實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂復(fù)雜的空間運(yùn)動。 下面建立波紋管輸入氣壓與軟體機(jī)械臂末端運(yùn)動之間的運(yùn)動學(xué)關(guān)系。

圖2 并聯(lián)波紋管的橫截面Fig.2 The cross section of parallel bellows

2.2 無剛性約束框的單節(jié)軟體驅(qū)動器模型

為便于建模，首先考慮無剛性約束框下的單節(jié)軟體驅(qū)動器運(yùn)動學(xué)建模問題，如圖3 所示。 3個波紋管A、B、C 對稱并聯(lián)，相鄰兩個波紋管中心之間的水平距離均為a， 下端固定，上端由剛性框連接，保證3 個波紋管上端面具有相同的空間指向。 除上下端面外，波紋管之間不存在約束和連接。 在無充氣狀態(tài)下，3 個波紋管的長度均為L0。

圖3 無剛性約束框的單節(jié)軟體驅(qū)動器Fig.3 A single soft driver without the rigid frame

當(dāng)波紋管充氣時，僅考慮沿波紋管軸向的伸長變化，不考慮沿徑向的變化。 設(shè)3 個波紋管的彈性系數(shù)為k， 輸入氣壓分別為P1、P2、P3， 每個波紋管伸長產(chǎn)生的彈力分別為F1、F2、F3，伸長量分別為ΔL1、ΔL2、ΔL3，在彈性變形假設(shè)下有平衡關(guān)系如式(1)：

其中，S 是波紋管內(nèi)部的橫截面積。 如果不存在上端剛性框，3 個波紋管的長度如式(2)所示：

上端剛性約束框的力學(xué)效果有兩個：①使3個波紋管上端A、B、C3 點(diǎn)仍然構(gòu)成等邊三角形，邊長為a；②使3 個波紋管上端面法向具有相同的空間指向。 以固定端平面為xy 平面，建立直角坐標(biāo)系，如圖4 所示。 A0、B0、C0分別為3 個波紋管的固定端，3 點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，邊長為a。 以B0點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x 軸垂直于A0C0向下，y 軸水平向右，z 軸垂直于紙面向外，構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。 在該坐標(biāo)系中，A0、B0、C0的坐標(biāo)如式(3)所示：

圖4 直角坐標(biāo)系Fig.4 Cartesian coordinate system

在未充氣狀態(tài)下，3 個波紋管上端點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為 A：設(shè)上端剛性框?qū)? 個波紋管的作用力分別為R1、R2、R3，其方向位于約束框平面內(nèi)。 在R1、R2、R3的作用下，3 個波紋管上端產(chǎn)生的撓度如式(4)所示：

其中，E 為彈性模量，I 為慣性矩，EI 為彎曲剛度，S′為波紋管壁的橫截面積，即承受軸向拉壓的有效面積。 對于外半徑為R、內(nèi)半徑為r 的圓環(huán)截面，其慣性矩如式(5)所示：

在R1、R2、R3的作用下，3 個波紋管上端產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角如式(6)所示：

3 個波紋管上端點(diǎn)A、B、C 具有相同的法向指向，意味著這些波紋管上端面具有相同的轉(zhuǎn)角，即θ1＝θ2＝θ3，從而得到式(7)：

A、B、C 具有相同的法向指向也意味著，具有撓度的3 個波紋管在xy 平面內(nèi)的投影方向平行。設(shè)從x 軸起算沿逆時針到投影的角度為α，則充氣后3 個波紋管上端點(diǎn)坐標(biāo)如式(8)所示：

根據(jù)約束條件A′B′＝B′C′＝C′A′＝a，得到式(9)～(11)：

方程(7)和(9)～(11)共5 個方程，需要求解的未知數(shù)有4 個，分別為R1、R2、R3、α， 可以驗(yàn)證這5 個方程中冗余度為1，即有一個方程是多余的。 為便于表示，設(shè)式(12)：

聯(lián)立方程(7)和(9)～(11)，得到角度α 如式(13)：

角度α 取值范圍如式(14)所示：

同時，根據(jù)方程(7)和(9)～(11)，得到W 如式(15)～(16)：

1)當(dāng)ΔL1≠ΔL3時：

2)當(dāng)ΔL1＝ΔL3≠ΔL2時：

根W 中包含2 個正數(shù)解，取其較小者為方程的實(shí)際解，它對應(yīng)較小的撓度。

根據(jù)式(2)，由3 個波紋管的輸入氣壓P1～P3，得到波紋管伸長后的長度L1～ L3。 由上述方程(13)～(16)可以得到R1、R2、R3、α， 然后由式(4)得到3 個波紋管的撓度v1～ v3，進(jìn)而由式(8)計(jì)算得到波紋管上端A′、B′、C′ 的空間位置，這樣就建立了從波紋管輸入氣壓P1～ P3到波紋管上端A′、B′、C′位移之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2.3 帶剛性約束框的單節(jié)軟體驅(qū)動器運(yùn)動學(xué)模型

對于帶有剛性約束框的單節(jié)軟體驅(qū)動器，仍然是由3 個波紋管對稱并聯(lián)組成，但是沿波紋管長度方向均勻布置了N 個剛性約束框，保證該位置處的3 個波紋管中心點(diǎn)組成邊長為a 的等邊三角形。 N 個剛性約束框?qū)⒉y管劃分為等距離的各個小段，這些小段是完全相同的，具有相同的輸入氣壓。

從固定端開始，自下而上考慮波紋管每一小節(jié)在剛性約束框下的力學(xué)行為。 由對稱性可知，每一小節(jié)相對其底端剛性約束框的運(yùn)動軌跡均是相同的。 不妨考慮建立在固定端和第一個剛性約束框上的直角坐標(biāo)系。 與圖4 中直角坐標(biāo)系建立規(guī)則相同，分別取B0、B1為原點(diǎn)，原點(diǎn)指向三角形對邊中點(diǎn)的方向?yàn)閤 軸，取固定端和剛性約束框平面為xy 平面，x 軸逆時針轉(zhuǎn)動90°為y 軸， xyz構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系，如圖5 所示。

圖5 相鄰兩個面上的直角坐標(biāo)系Fig.5 Cartesian coordinate system on two adjacent faces

在圖5 中，固定端平面和剛性約束框平面之間存在一段波紋管，設(shè)波紋管的彎曲方向?yàn)棣粒┒藦澢嵌葹棣?，則由x0y0z0到x1y1z1的旋轉(zhuǎn)矩陣為H，轉(zhuǎn)換過程如式(17)所示：

考慮到x0y0z0和x1y1z1坐標(biāo)系的原點(diǎn)不重合，因而式(17)需要調(diào)整為式(18)所示形式：

其中，rB0B1是在x0y0z0坐標(biāo)系中表示的由B0到B1的矢量。 假設(shè)帶剛性約束框的單節(jié)軟體驅(qū)動器末端中心在其剛性約束框坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為r*，該軟體驅(qū)動器共有N 節(jié)，則r*在固定端坐標(biāo)系x0y0z0中的坐標(biāo)表示為式(19)：

2.4 帶剛性約束框的多節(jié)軟體驅(qū)動器串聯(lián)模型

以3 節(jié)帶有剛性約束框的軟體驅(qū)動器串聯(lián)為例，建立軟體機(jī)械臂的運(yùn)動學(xué)模型。 串聯(lián)部位采用剛性約束，約束部件厚度分別為T1-2、T2-3。 設(shè)3 節(jié)軟體驅(qū)動器中的波紋管外半徑分別為rout，1、rout，2、rout，3， 內(nèi)半徑分別為rin，1、rin，2、rin，3，單節(jié)波紋管的原始長度分別為L0，1、L0，2、L0，3，彈性系數(shù)分別為k1、k2、k3， 相鄰兩個波紋管中心之間的水平距離分別為a1、a2、a3。 第1節(jié)軟體驅(qū)動器中3 個波紋管施加的氣壓分別為P11、P12、P13，第2 節(jié)中3 個波紋管施加的氣壓分別為P21、P22、P23， 第3 節(jié)中3 個波紋管施加的氣壓分別為P31、P32、P33， 3 個軟體驅(qū)動器的節(jié)數(shù)分別為N1、N2、N3。

根據(jù)2.3 節(jié)模型，計(jì)算得到每節(jié)軟體驅(qū)動器中各段相對底部坐標(biāo)系的三維坐標(biāo)，其中3 節(jié)軟體驅(qū)動器底部坐標(biāo)系分別為x01y01z01、x02y02z02、x03y03z03。 已知第2 節(jié)軟體驅(qū)動器上各段在x02y02z02坐標(biāo)系上的坐標(biāo)表示為r*2 ， 將其轉(zhuǎn)換到x01y01z01坐標(biāo)系中，得到式(20)：

其中，H1＝H1(α1，θ1)， (rB0B1)1括號外面的下標(biāo)1表示是在第一節(jié)軟體驅(qū)動器中計(jì)算得到的。同理，得到第3 節(jié)軟體驅(qū)動器上的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到x02y02z02上的坐標(biāo)如式(21)：

其中，H2＝H2(α2，θ2)， (rB0B1)2括號外面的下標(biāo)2 表示是在第2 個軟體驅(qū)動器中計(jì)算得到的。 這樣，根據(jù)式(20)和(21)，得到了帶有剛性約束框的3 節(jié)軟體驅(qū)動器串聯(lián)后末端中心位移與波紋管輸入氣壓之間的關(guān)系，從而建立了氣囊型軟體機(jī)械臂的運(yùn)動學(xué)模型。

3 仿真與分析

3.1 仿真驗(yàn)證

在典型的軟體機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)下，進(jìn)行機(jī)械臂末端運(yùn)動仿真分析。 設(shè)整個氣囊型軟體機(jī)械臂由3 節(jié)軟體驅(qū)動器組成，每節(jié)驅(qū)動器的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為16、16、16，第1、2 節(jié)軟體驅(qū)動器剛性連接的厚度為20.4 mm，第2、3 節(jié)軟體驅(qū)動器剛性連接的厚度也為20.4 mm。 取3 節(jié)驅(qū)動器中波紋管的物性參數(shù)相同，分別是波紋管外半徑26.2 mm、內(nèi)半徑25 mm、單段波紋管未充氣時原始長度19.125 mm、單段波紋管彈性系數(shù)2.0×104N/m，兩個波紋管中心點(diǎn)的距離為75 mm。 在上述機(jī)械臂物性參數(shù)設(shè)置下，給出機(jī)械臂在氣壓輸入下的運(yùn)動仿真算例。設(shè)第1 節(jié)軟體驅(qū)動器中3 個波紋管的輸入壓力變化范圍分別為(0.0～2.0)×105Pa、(0.0～2.0)×105Pa、(0.0～0.0)×105Pa，第2 節(jié)軟體驅(qū)動器中3 個波紋管的輸入壓力變化范圍分別為(0.0～0.0)×105Pa、(0.0～0.0)×105Pa、(0.0～2.0)×105Pa，第3 節(jié)軟體驅(qū)動器中3 個波紋管的輸入壓力變化范圍分別為(0.0～2.0)×105Pa、(0.0～2.0)×105Pa、(0.0～0.0)×105Pa。 在氣壓初始狀態(tài)和末狀態(tài)之間按照線性關(guān)系取10 個點(diǎn)，形成時間序列。 計(jì)算得到在該時間序列下的軟體機(jī)械臂運(yùn)動軌跡，如圖6～9所示。 其中，圓圈代表機(jī)械臂上各個質(zhì)量點(diǎn)，紅色部分表示第1 節(jié)驅(qū)動器，其底端固定，藍(lán)色部分表示第2 節(jié)驅(qū)動器，黑色部分表示第3 節(jié)驅(qū)動器，其末端處于自由狀態(tài)。 可見，相對于傳統(tǒng)剛性連接機(jī)械臂，軟體機(jī)械臂運(yùn)動更加靈活，通過多冗余自由度設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜非規(guī)則、非結(jié)構(gòu)環(huán)境的適應(yīng)。

圖6 軟體機(jī)械臂各點(diǎn)運(yùn)動軌跡(三維視圖)Fig.6 The motion of each point on the soft manipulator (3D view)

圖7 軟體機(jī)械臂各點(diǎn)運(yùn)動軌跡(XY 視圖)Fig.7 The motion of each point on the soft manipulator (XY view)

圖8 軟體機(jī)械臂各點(diǎn)運(yùn)動軌跡(XZ 視圖)Fig.8 The motion of each point on the soft manipulator (XZ view)

圖9 軟體機(jī)械臂各點(diǎn)運(yùn)動軌跡(YZ 視圖)Fig.9 The motion of each point on the soft manipulator (YZ view)

圖10 氣囊型軟體機(jī)械臂末端點(diǎn)的運(yùn)動包絡(luò)Fig.10 The motion envelope of the end point of the soft inflatable manipulator

3.2 機(jī)械臂末端運(yùn)動包絡(luò)分析

下面給出軟體機(jī)械臂末端的運(yùn)動包絡(luò)。 軟體機(jī)械臂的物性參數(shù)在3.1 節(jié)給出，波紋管壓力的變化范圍為(0.0～1.1)×105Pa。 軟體機(jī)械臂中波紋管的彈性系數(shù)決定了機(jī)械臂末端運(yùn)動范圍。 在軟體機(jī)械臂其他物性參數(shù)不變的情況下，單獨(dú)改變波紋管的彈性系數(shù)，使其在5×103～5×104N/m 范圍內(nèi)變化，那么利用第2 節(jié)建立的機(jī)械臂模型可以得到機(jī)械臂末端運(yùn)動包絡(luò)，如圖10 所示。

由圖10 可知，軟體機(jī)械臂末端運(yùn)動包絡(luò)呈現(xiàn)出如下特征：

1)軟體機(jī)械臂末端運(yùn)動包絡(luò)的尺寸與機(jī)械臂彈性系數(shù)有關(guān)，彈性系數(shù)越大，則其剛度越大，末端運(yùn)動范圍越?。环粗?，末端運(yùn)動范圍越大；

2)軟體機(jī)械臂末端運(yùn)動包絡(luò)的形狀與彈性系數(shù)、波紋管布局有關(guān)。 當(dāng)彈性系數(shù)較大時(大于4×104N/m)，運(yùn)動包絡(luò)的形狀明顯受波紋管并聯(lián)方式的影響，運(yùn)動包絡(luò)在xy 平面的投影呈正六邊形，這是由3 個波紋管對稱并聯(lián)形成軟體驅(qū)動器的設(shè)計(jì)布局決定的；當(dāng)彈性系數(shù)進(jìn)一步降低時(1×104～3×104N/m)，彈性系數(shù)與波紋管布局對機(jī)械臂末端包絡(luò)的影響基本相同，運(yùn)動包絡(luò)呈現(xiàn)各向同性的形狀特征；當(dāng)彈性系數(shù)降低到足夠小時(小于1×104N/m)，機(jī)械臂末端運(yùn)動包絡(luò)也明顯受到波紋管布局方式的影響，呈現(xiàn)出規(guī)則的空間多面體結(jié)構(gòu)。

軟體機(jī)械臂末端運(yùn)動包絡(luò)的尺寸和形狀特征分析對機(jī)械臂設(shè)計(jì)具有重要的參考價(jià)值。

4 結(jié)論

1)本文提出的氣囊型軟體機(jī)械臂采用了3節(jié)波紋管對稱并聯(lián)形成軟體驅(qū)動器、3 段軟體驅(qū)動器串聯(lián)形成機(jī)械臂的實(shí)現(xiàn)方案，自由度為9，通過獨(dú)立控制各個波紋管內(nèi)的壓力實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂復(fù)雜空間運(yùn)動。

2)基于波紋管局部伸縮變形的線彈性假設(shè)和彎曲變形的彈性梁假設(shè)，可以推導(dǎo)構(gòu)建機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)模型，用來描述波紋管氣壓輸入與機(jī)械臂運(yùn)動之間的關(guān)系。

3)運(yùn)動學(xué)仿真計(jì)算表明，相對于傳統(tǒng)剛性連接機(jī)械臂，軟體機(jī)械臂運(yùn)動更加靈活，具有大范圍彎曲變形、適應(yīng)復(fù)雜非結(jié)構(gòu)環(huán)境的運(yùn)動優(yōu)勢。

4)軟體機(jī)械臂末端運(yùn)動包絡(luò)分析表明，包絡(luò)尺寸與波紋管彈性系數(shù)有關(guān)，彈性系數(shù)越大，包絡(luò)范圍越??；包絡(luò)形狀與波紋管布局、波紋管彈性系數(shù)有關(guān)，彈性系數(shù)在1×104～3×104N/m 范圍時，包絡(luò)形狀基本呈各向同性，彈性系數(shù)過大或過小時包絡(luò)形狀呈現(xiàn)為與波紋管布局相關(guān)的規(guī)則幾何體。

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