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    振動(dòng)系統(tǒng)PID零極點(diǎn)配置理論

    2019-07-01 02:31:40王見(jiàn)王作學(xué)張波
    中國(guó)測(cè)試 2019年1期

    王見(jiàn) 王作學(xué) 張波

    摘要:為實(shí)現(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)的任意配置同時(shí)避免振動(dòng)系統(tǒng)成為奇異系統(tǒng),該文提出將積分反饋引入經(jīng)典動(dòng)柔度振動(dòng)控制方法的主動(dòng)振動(dòng)控制方法。首先將PID輸入反饋引入多自由度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)方程,經(jīng)拉普拉斯變換,由Sherman-Morrison公式得到閉環(huán)系統(tǒng)柔度矩陣。由于此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)為正定系統(tǒng),若預(yù)設(shè)零極點(diǎn)均自共軛且具有負(fù)實(shí)部,即可由Moore-Penrose廣義逆求得PID輸入反饋零極點(diǎn)配置理論增益向量解。同時(shí)提出系統(tǒng)可配置極點(diǎn)數(shù)目、傳感器及反饋增益合理配置的概念及其計(jì)算方法。最后給出數(shù)值實(shí)例以驗(yàn)證該理論閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)及零極點(diǎn)分配的準(zhǔn)確性及有效性。

    關(guān)鍵詞:動(dòng)柔度法;主動(dòng)振動(dòng)控制;積分控制;零極點(diǎn)配置

    中圖分類(lèi)號(hào):TP273;TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-5124(2019)01-0121-07

    0 引言

    由于系統(tǒng)的振動(dòng)特性由其極點(diǎn)及零點(diǎn)值決定,因此系統(tǒng)的零極點(diǎn)特征值賦值問(wèn)題是系統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制的中心研究問(wèn)題之一。在傳統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制問(wèn)題中常通過(guò)有限元法分析系統(tǒng)的理論模型獲得系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣,進(jìn)而求得極點(diǎn)配置問(wèn)題最優(yōu)解[1-4]。鑒于有限元法存在難以獲得實(shí)際結(jié)構(gòu)精確阻尼模型的缺陷,近年來(lái)Mottershead等[5]開(kāi)發(fā)了基于柔度法的線性系統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制方法以精確分配系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)到指定數(shù)值。該方法的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是振動(dòng)控制過(guò)程完全基于模態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù),無(wú)需通過(guò)有限元法獲取系統(tǒng)的精確質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。Ghandchi Tehrani等[6]采用輸入反饋算法在使非重要極點(diǎn)不可控或不可觀測(cè)的情況下,實(shí)現(xiàn)了將系統(tǒng)部分極點(diǎn)分配到預(yù)定值而保持其他極點(diǎn)不變的效果。Mottershead等[7]展示了輸入反饋控制零極點(diǎn)配置算法具有可實(shí)現(xiàn)傳感器與作動(dòng)器并置的優(yōu)點(diǎn)。除了以上研究,許多其他類(lèi)型的反饋控制也被引入到了主動(dòng)振動(dòng)控制中。如Zhang等[8]提出了將加速度反饋與位置反饋應(yīng)用到無(wú)阻尼系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)部分極點(diǎn)配置;H.Ouyang[9]研究了將加速度和速度反饋用于主動(dòng)振動(dòng)控制。從這些研究結(jié)果可以看出,目前主動(dòng)振動(dòng)控制零極點(diǎn)配置算法多使用加速度、速度和位移反饋及其各種組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。然而,當(dāng)系統(tǒng)引入加速度反饋時(shí),振動(dòng)系統(tǒng)不可避免地將可能變成奇異系統(tǒng)而導(dǎo)致動(dòng)柔度法不可使用,為此本文引人了積分控制以避免該情況的發(fā)生;同時(shí)在保留速度控制及加速度控制基礎(chǔ)上研究了基于動(dòng)柔度法的PID輸入反饋主動(dòng)振動(dòng)控制,保證了控制系統(tǒng)的非奇異性,拓展了主動(dòng)振動(dòng)控制的適用系統(tǒng)范圍,補(bǔ)充了動(dòng)柔度法在微分控制方面的研究。另外結(jié)合本零極點(diǎn)配置算法,本文提出系統(tǒng)可配置極點(diǎn)數(shù)目、最佳傳感器及反饋增益配置方法的概念及其相關(guān)算法。

    1 PID輸入反饋控制極點(diǎn)分配理論

    1.1 基于動(dòng)柔度法的極點(diǎn)分配

    多自由度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)方程[4]一般表示為

    Mx(t)+Cx(t)+Kx(t)=0(1)其中M為質(zhì)量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;x(t)為各自由度處位移量;M,C,K∈Rn×n,且M=MT,C=CT,K=KT;對(duì)任意非零向量v,v∈Rn×1,有vTMv>0,vTCv≥0,vTKv≥0。

    對(duì)上述線性系統(tǒng)實(shí)施單輸入PID控制,則控制方程如下:

    Mx+Cx+Kx=bu(t)(2)其中b∈Rn×1為作動(dòng)器分布向量,u(t)為反饋控制輸入:式中g(shù)1T,g2T,g3T,g1,g2,g3∈Rn×1,為相應(yīng)的輸入控制增益向量。

    對(duì)式(2)進(jìn)行拉普拉斯變換,得:

    移項(xiàng)得:

    從式(5)可知:系統(tǒng)剛度矩陣的最高階M為正定矩陣,所以閉環(huán)系統(tǒng)一定為非奇異系統(tǒng)。故系統(tǒng)柔度矩陣存在。

    對(duì)式(5),利用Sherman-Morrison公式得到閉環(huán)系統(tǒng)柔度矩陣為其中H(S)=[Ms2+Cs+K]-1為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)柔度矩陣,可在實(shí)踐中通過(guò)測(cè)量H(iω)獲得[10]。同時(shí)由(6)式可得閉環(huán)特征多項(xiàng)式p(s)為

    閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)即為下式的根:

    p(s)=0(8)

    因此,將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分配到設(shè)定值{μ1,μ2,…,μN}的問(wèn)題即為:已知H(s),b,令方程:

    p(μi)=0(9)求增益向量g1,g2,g3。其中μi∈{μi}i=1N,μi≠0,{μi}i=1N是自共軛的,N為最小可配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)數(shù)目。

    1.2 最小可配置極點(diǎn)數(shù)目N

    令矩陣H(s)的伴隨矩陣為A(s),行列式為d(s)則p(s)=0可表示為

    由于對(duì)μi∈{μi}i=1N,d(μi)≠0,故式(10)可寫(xiě)為

    sd(s)-(sg1+g2+s2g3TA(s)b=0(11)

    令:

    q(s)=(sg1+g2+s2g3TA(s)b(12)

    則q(s)中s的最高階次為(2n-2)+2=2n,d(s)中s的最高階次為2n,即式(10)中s的最高階次為2n+1。因此應(yīng)注意到:由于積分控制的引入,閉環(huán)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)額外非零極點(diǎn)。故特征多項(xiàng)式根的數(shù)目N=2n+1。

    實(shí)際上閉環(huán)系統(tǒng)引入積分控制后將不再是常規(guī)系統(tǒng),而成為廣義系統(tǒng)。則{μi}i=1N中所包含的N個(gè)極點(diǎn)即為此廣義系統(tǒng)的有限個(gè)可配置極點(diǎn)。此時(shí),若有:1)廣義系統(tǒng)是正定系統(tǒng),2){μi}i=1N中所有極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部;則零極點(diǎn)配置后的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)[11]。而本方法中質(zhì)量矩陣的正定性保證了閉環(huán)系統(tǒng)的正定性。因此在滿足{μi}i=1N中極點(diǎn)的實(shí)部為負(fù)且自共軛的情況下,即可在滿足零極點(diǎn)配置后系統(tǒng)預(yù)期靜動(dòng)態(tài)特性的基礎(chǔ)上任意設(shè)計(jì)廣義系統(tǒng)的有限個(gè)可配置極點(diǎn)的值,此時(shí)該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。

    1.3 求解向量g1,g2,g3及最少傳感器布置方法

    由式(7),g1,g2,g3的求解問(wèn)題可寫(xiě)為

    Gg=γ(13)

    其中:

    G∈RN×3n,g∈R3n×1,γ∈RN×1

    即針對(duì)式(2)所提出的極點(diǎn)配置問(wèn)題可由式(13)進(jìn)行求解。其中式(13)的一種求解實(shí)現(xiàn)形式為

    g*=G+γ(14)

    G+為G的Moore-Penrose廣義逆??梢宰C明:當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn){μi}i=1N自共軛時(shí),由式(14)獲得的g1,g2,g3為實(shí)向量[5]。

    考慮到對(duì)實(shí)際系統(tǒng)控制時(shí)附加質(zhì)量要求的限制,用于測(cè)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的傳感器數(shù)量應(yīng)盡可能少。因此g1,g2,g3中的某些項(xiàng)的值可通過(guò)設(shè)置G相應(yīng)列的值為零而變?yōu)榱恪4藭r(shí)其實(shí)際意義即為取得使傳感器布置較少的方案。但應(yīng)注意的是:由于采用PID輸入反饋控制且N=2n+1,因此G中理論上可分配為零的列至多有3n-N=n-1列。所以應(yīng)在滿足該條件的基礎(chǔ)上對(duì)傳感器布置進(jìn)行合理縮減,以盡量降低附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的影響。

    1.4 PID反饋振動(dòng)控制方法的有效性分析

    當(dāng)預(yù)設(shè)極點(diǎn)序列{μi}i=1N的數(shù)值及G中被零值所取代的任選k(0≤k≤n-1)列列向量被確定時(shí),即認(rèn)為確定了一種在該確定預(yù)設(shè)極點(diǎn)序列{μi}i=1N下的特定的PID輸入反饋方法,記為Wk。由式(14)可獲得在此PID輸入反饋方式下g1,g2,g3的具體數(shù)值。以下給出如何驗(yàn)證確定的某種Wk是否有效的方法:

    由式(5)知閉環(huán)柔度矩陣H(S)可由下式得到:

    H(S)=Ω(s)-1(15)其中,Ω(s)為

    驗(yàn)證確定的某種Wk是否有效,根本上即為驗(yàn)證在該反饋方式下由式(14)得到的增益向量g1,g2,g3是否使對(duì)任意的s{μi}i=1N閉環(huán)剛度矩陣Ω(s)必然為非奇異矩陣。

    由此,可以歸納驗(yàn)證過(guò)程為:確定特定的輸入反饋方法Wk后,由式(14)可求得實(shí)數(shù)向量g1,g2,g3,將g1,g2,g3代入式(16),并求得Ω(s)的行列式w(s),對(duì)任意μi{μi}i=1N,若W(μi)為零,則閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)不可被分配到指定極點(diǎn),稱此確定的Wk方法無(wú)效。否則認(rèn)為閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)可被分配到指定期望極點(diǎn),稱此確定的Wk方法有效。

    2 PID輸入反饋控制零點(diǎn)分配理論

    2.1 基于動(dòng)柔度法的零點(diǎn)分配

    由于零點(diǎn)分配在振動(dòng)控制中具有重要意義[5-7],因此本文給出了閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)分配方法。

    由表達(dá)式(6)可知,通過(guò)選擇合適的增益向量g1,g2,g3,當(dāng)使式(6)分母矩陣坐標(biāo)(i,j)處的值為零時(shí)即可實(shí)現(xiàn)柔度Hij處的零點(diǎn)分配。

    閉環(huán)系統(tǒng)(i,j)處的柔度表達(dá)式為其中ei,ej為單位列向量。

    因此將閉環(huán)系統(tǒng)柔度Hij零點(diǎn)分配到設(shè)定值{ξ1,ξ2,...,ξr)的問(wèn)題即為:已知H(s),b,i,j,令方程:求解g1,g2,g3。其ξk∈{ξi}i=1r,r≤2n-1,r為可配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)數(shù)目。

    將式(18)變形得:

    即:其中Hij(s)為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)坐標(biāo)(i,j)處的開(kāi)環(huán)柔度值。又由于eiTH(ξk)b為常量,故令:

    tk=Hij(ξk)H(ξk)b-eiTH(ξk)bH(ξk)ej(21)

    故當(dāng)將閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)分配為{ξ1,ξ2,...,ξr}時(shí)可得:其中,令:

    由式(22)可知當(dāng)預(yù)設(shè)零點(diǎn){ξ1,ξ2,...,ξr}閉環(huán)共軛時(shí)可取得矩陣T的逆,進(jìn)而得到實(shí)向量g1,g2,g3[5]。特別地,當(dāng)坐標(biāo)i,j重合時(shí),此時(shí)零點(diǎn)分配將影響系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置,因此具有重要意義[12]。

    2.2 基于動(dòng)柔度法的零極點(diǎn)分配

    工程應(yīng)用中,有時(shí)需要同時(shí)對(duì)零點(diǎn)與極點(diǎn)進(jìn)行分配,結(jié)合式(13)與式(22)可對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)同時(shí)進(jìn)行零極點(diǎn)分配,此時(shí)應(yīng)注意零極點(diǎn)分配總數(shù)目r+N≤2n+1。同樣地此時(shí)也可以對(duì)式(13)與式(25)中G與T矩陣選取k(0≤k≤n-1)列進(jìn)行零向量代換,以得到最佳的傳感器分配方案。

    3 數(shù)值實(shí)例

    3.1 極點(diǎn)分配數(shù)值實(shí)例

    為驗(yàn)證上述理論,考慮如下三自由度阻尼一質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真:

    則可得系統(tǒng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn):-0.0305±0.5894i,-0.8503±1.0119i,-0.6609±2.1200i。

    現(xiàn)用本文所提出的理論對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)進(jìn)行配置,以改善系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)。設(shè)b=[1 1 1]T。由于n=3,則由1.2節(jié)可知N=7。由于原始系統(tǒng)特征頻率較低阻尼較小,因此設(shè)置一組閉環(huán)系統(tǒng)特征值為μ1.2=-1±0.5i,μ3.4=-1±i,μ5.6=-2±i,μ7=-3,增大系統(tǒng)阻尼并增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

    由式(15)可得g1,g2,g3

    g1=[-38.1817 -6.7810 11.3765]T

    g2=[3.7396 -14.4487 2.4203]T

    g3=[-4.1357 -4.5904 -10.6608]T

    同時(shí)經(jīng)1.4中驗(yàn)證方法驗(yàn)證知:系統(tǒng)可配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)可被g1,g2,g3分配到指定極點(diǎn)μ1.2=-1±0.5i,μ3.4=-1±i,μ5.6=-2±i,μ7=-3。

    為突出極點(diǎn)分配效果,給出原系統(tǒng)及修改后系統(tǒng)從3處的頻率響應(yīng)曲線、零極點(diǎn)分布圖及奈奎斯特圖如圖1~圖5所示。由圖3及圖2對(duì)比可知系統(tǒng)極點(diǎn)被分配到了預(yù)設(shè)位置。且由于積分反饋的引入,修改后系統(tǒng)增加了一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。在工程實(shí)際中此極點(diǎn)的引入增加了配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)值的靈活性。結(jié)合圖1、圖4、圖5可看出系統(tǒng)極點(diǎn)重分配后閉環(huán)系統(tǒng)的特征頻率增大,阻尼增大,系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng),系統(tǒng)固有特性得到改變。

    3.2 傳感器合理配置數(shù)值實(shí)例

    在3.1節(jié)極點(diǎn)分配的基礎(chǔ)上,可利用1.3節(jié)末尾的方法來(lái)尋找本例的最少傳感器布置方案,并用1.4節(jié)的方法進(jìn)行驗(yàn)證。表1給出了可將3.1節(jié)所示系統(tǒng)極點(diǎn)分配至μ1.2=-1±0.5i,μ3.4=-1±i,μ5.6=-2±i,μ7=-3,且保持閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的所有替代方案。并在表2中給出部分替代方案的PID反饋增益值(此處給出每類(lèi)第1種方法的控制增益)。由于篇幅限制不再驗(yàn)證更高階系統(tǒng),但發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)為更高階的系統(tǒng)時(shí),在保證G行滿秩的情況下設(shè)置G中某些列為零向量,發(fā)現(xiàn)得到的反饋增益向量g1,g2,g3并不全都可將系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分配到指定位置,這表明了1.4節(jié)所給驗(yàn)證方法的重要性,本文不再給出示例。

    進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)作缺少極點(diǎn)分配計(jì)算(表3所示分配缺陷極點(diǎn)數(shù)為2n)表明:當(dāng)分配極點(diǎn)數(shù)目小于N時(shí)(即分配缺少極點(diǎn)的情況時(shí)),系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)將會(huì)出現(xiàn)使系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點(diǎn)。這表明了確定分配極點(diǎn)數(shù)目的重要性。

    3.3 零點(diǎn)分配數(shù)值實(shí)例

    基于3.1中三自由度阻尼-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng),設(shè)b=[1 1 1]T并預(yù)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)柔度H33(s)處的零點(diǎn)為ξ1.2=-1±0.5i,ξ3.4=-2±0.5i。使用第2節(jié)所述方法對(duì)系統(tǒng)零點(diǎn)進(jìn)行分配:

    由式(22)可得此時(shí)g1,g2,g3

    g1=[1.9623 -3.0448 0]T

    g2=[-1.3215 -0.49120]T

    g3=[-6.3791 -1.46820]T

    同時(shí)計(jì)算此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為:-0.1439±0.5047i,-0.6195±1.68241,-1.0199±0.9522i,-3.4404。極點(diǎn)均分布于虛軸左半平面,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。同樣給出修改后系統(tǒng)H33處的頻率響應(yīng)曲線、零極點(diǎn)分布圖及奈奎斯特圖如圖6~圖8所示。由圖7及圖2對(duì)比可知系統(tǒng)零點(diǎn)被準(zhǔn)確地分配至預(yù)設(shè)值。結(jié)合圖6、圖4、圖8可看出重分配零點(diǎn)后,系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)。證實(shí)了方法的有效性。

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