振動(dòng)系統(tǒng)PID零極點(diǎn)配置理論

王見　王作學(xué)　張波

摘要：為實(shí)現(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)的任意配置同時(shí)避免振動(dòng)系統(tǒng)成為奇異系統(tǒng)，該文提出將積分反饋引入經(jīng)典動(dòng)柔度振動(dòng)控制方法的主動(dòng)振動(dòng)控制方法。首先將PID輸入反饋引入多自由度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)方程，經(jīng)拉普拉斯變換，由Sherman-Morrison公式得到閉環(huán)系統(tǒng)柔度矩陣。由于此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)為正定系統(tǒng)，若預(yù)設(shè)零極點(diǎn)均自共軛且具有負(fù)實(shí)部，即可由Moore-Penrose廣義逆求得PID輸入反饋零極點(diǎn)配置理論增益向量解。同時(shí)提出系統(tǒng)可配置極點(diǎn)數(shù)目、傳感器及反饋增益合理配置的概念及其計(jì)算方法。最后給出數(shù)值實(shí)例以驗(yàn)證該理論閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)及零極點(diǎn)分配的準(zhǔn)確性及有效性。

關(guān)鍵詞：動(dòng)柔度法;主動(dòng)振動(dòng)控制;積分控制;零極點(diǎn)配置

中圖分類號(hào)：TP273;TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2019）01-0121-07

0 引言

由于系統(tǒng)的振動(dòng)特性由其極點(diǎn)及零點(diǎn)值決定，因此系統(tǒng)的零極點(diǎn)特征值賦值問題是系統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制的中心研究問題之一。在傳統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制問題中常通過有限元法分析系統(tǒng)的理論模型獲得系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，進(jìn)而求得極點(diǎn)配置問題最優(yōu)解[1-4]。鑒于有限元法存在難以獲得實(shí)際結(jié)構(gòu)精確阻尼模型的缺陷，近年來Mottershead等[5]開發(fā)了基于柔度法的線性系統(tǒng)主動(dòng)振動(dòng)控制方法以精確分配系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)到指定數(shù)值。該方法的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是振動(dòng)控制過程完全基于模態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)，無需通過有限元法獲取系統(tǒng)的精確質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。Ghandchi Tehrani等[6]采用輸入反饋算法在使非重要極點(diǎn)不可控或不可觀測(cè)的情況下，實(shí)現(xiàn)了將系統(tǒng)部分極點(diǎn)分配到預(yù)定值而保持其他極點(diǎn)不變的效果。Mottershead等[7]展示了輸入反饋控制零極點(diǎn)配置算法具有可實(shí)現(xiàn)傳感器與作動(dòng)器并置的優(yōu)點(diǎn)。除了以上研究，許多其他類型的反饋控制也被引入到了主動(dòng)振動(dòng)控制中。如Zhang等[8]提出了將加速度反饋與位置反饋應(yīng)用到無阻尼系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)部分極點(diǎn)配置;H.Ouyang[9]研究了將加速度和速度反饋用于主動(dòng)振動(dòng)控制。從這些研究結(jié)果可以看出，目前主動(dòng)振動(dòng)控制零極點(diǎn)配置算法多使用加速度、速度和位移反饋及其各種組合來實(shí)現(xiàn)。然而，當(dāng)系統(tǒng)引入加速度反饋時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)不可避免地將可能變成奇異系統(tǒng)而導(dǎo)致動(dòng)柔度法不可使用，為此本文引人了積分控制以避免該情況的發(fā)生;同時(shí)在保留速度控制及加速度控制基礎(chǔ)上研究了基于動(dòng)柔度法的PID輸入反饋主動(dòng)振動(dòng)控制，保證了控制系統(tǒng)的非奇異性，拓展了主動(dòng)振動(dòng)控制的適用系統(tǒng)范圍，補(bǔ)充了動(dòng)柔度法在微分控制方面的研究。另外結(jié)合本零極點(diǎn)配置算法，本文提出系統(tǒng)可配置極點(diǎn)數(shù)目、最佳傳感器及反饋增益配置方法的概念及其相關(guān)算法。

1 PID輸入反饋控制極點(diǎn)分配理論

1.1 基于動(dòng)柔度法的極點(diǎn)分配

多自由度線性系統(tǒng)自由振動(dòng)方程[4]一般表示為

Mx（t）+Cx（t）+Kx（t）=0（1）其中M為質(zhì)量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;x（t）為各自由度處位移量;M，C，K∈R^n×n，且M=M^T，C=C^T，K=K^T;對(duì)任意非零向量v，v∈R^n×1，有v^TMv>0，v^TCv≥0，v^TKv≥0。

對(duì)上述線性系統(tǒng)實(shí)施單輸入PID控制，則控制方程如下：

Mx+Cx+Kx=bu（t）（2）其中b∈R^n×1為作動(dòng)器分布向量，u（t）為反饋控制輸入：式中g(shù)₁^T，g₂^T，g₃^T，g₁，g₂，g₃∈R^n×1，為相應(yīng)的輸入控制增益向量。

對(duì)式（2）進(jìn)行拉普拉斯變換，得：

移項(xiàng)得：

從式（5）可知：系統(tǒng)剛度矩陣的最高階M為正定矩陣，所以閉環(huán)系統(tǒng)一定為非奇異系統(tǒng)。故系統(tǒng)柔度矩陣存在。

對(duì)式（5），利用Sherman-Morrison公式得到閉環(huán)系統(tǒng)柔度矩陣為其中H（S）=[Ms²+Cs+K]^-1為開環(huán)系統(tǒng)柔度矩陣，可在實(shí)踐中通過測(cè)量H（iω）獲得[10]。同時(shí)由（6）式可得閉環(huán)特征多項(xiàng)式p（s）為

閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)即為下式的根：

p（s）=0（8）

因此，將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分配到設(shè)定值{μ₁，μ₂，…，μ_N}的問題即為：已知H（s），b，令方程：

p（μi）=0（9）求增益向量g₁，g₂，g₃。其中μi∈{μi}_i=1^N，μi≠0，{μi}_i=1^N是自共軛的，N為最小可配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)數(shù)目。

1.2 最小可配置極點(diǎn)數(shù)目N

令矩陣H（s）的伴隨矩陣為A（s），行列式為d（s）則p（s）=0可表示為

由于對(duì)μi∈{μi}_i=1^N，d（μi）≠0，故式（10）可寫為

sd（s）-（sg₁+g₂+s²g₃）^TA（s）b=0（11）

令：

q（s）=（sg₁+g₂+s²g₃）^TA（s）b（12）

則q（s）中s的最高階次為（2n-2）+2=2n，d（s）中s的最高階次為2n，即式（10）中s的最高階次為2n+1。因此應(yīng)注意到：由于積分控制的引入，閉環(huán)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)額外非零極點(diǎn)。故特征多項(xiàng)式根的數(shù)目N=2n+1。

實(shí)際上閉環(huán)系統(tǒng)引入積分控制后將不再是常規(guī)系統(tǒng)，而成為廣義系統(tǒng)。則{μi}_i=1^N中所包含的N個(gè)極點(diǎn)即為此廣義系統(tǒng)的有限個(gè)可配置極點(diǎn)。此時(shí)，若有：1）廣義系統(tǒng)是正定系統(tǒng)，2）{μi}_i=1^N中所有極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部;則零極點(diǎn)配置后的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)[11]。而本方法中質(zhì)量矩陣的正定性保證了閉環(huán)系統(tǒng)的正定性。因此在滿足{μi}_i=1^N中極點(diǎn)的實(shí)部為負(fù)且自共軛的情況下，即可在滿足零極點(diǎn)配置后系統(tǒng)預(yù)期靜動(dòng)態(tài)特性的基礎(chǔ)上任意設(shè)計(jì)廣義系統(tǒng)的有限個(gè)可配置極點(diǎn)的值，此時(shí)該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。

1.3 求解向量g₁，g₂，g₃及最少傳感器布置方法

由式（7），g₁，g₂，g₃的求解問題可寫為

Gg=γ（13）

其中：

G∈R^N×3n，g∈R^3n×1，γ∈R^N×1。

即針對(duì)式（2）所提出的極點(diǎn)配置問題可由式（13）進(jìn)行求解。其中式（13）的一種求解實(shí)現(xiàn)形式為

g^*=G⁺γ（14）

G⁺為G的Moore-Penrose廣義逆?？梢宰C明：當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn){μi}_i=1^N自共軛時(shí)，由式（14）獲得的g₁，g₂，g₃為實(shí)向量[5]。

考慮到對(duì)實(shí)際系統(tǒng)控制時(shí)附加質(zhì)量要求的限制，用于測(cè)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的傳感器數(shù)量應(yīng)盡可能少。因此g₁，g₂，g₃中的某些項(xiàng)的值可通過設(shè)置G相應(yīng)列的值為零而變?yōu)榱恪４藭r(shí)其實(shí)際意義即為取得使傳感器布置較少的方案。但應(yīng)注意的是：由于采用PID輸入反饋控制且N=2n+1，因此G中理論上可分配為零的列至多有3n-N=n-1列。所以應(yīng)在滿足該條件的基礎(chǔ)上對(duì)傳感器布置進(jìn)行合理縮減，以盡量降低附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的影響。

1.4 PID反饋振動(dòng)控制方法的有效性分析

當(dāng)預(yù)設(shè)極點(diǎn)序列{μi}_i=1^N的數(shù)值及G中被零值所取代的任選k（0≤k≤n-1）列列向量被確定時(shí)，即認(rèn)為確定了一種在該確定預(yù)設(shè)極點(diǎn)序列{μi}_i=1^N下的特定的PID輸入反饋方法，記為W_k。由式（14）可獲得在此PID輸入反饋方式下g₁，g₂，g₃的具體數(shù)值。以下給出如何驗(yàn)證確定的某種W_k是否有效的方法：

由式（5）知閉環(huán)柔度矩陣H（S）可由下式得到：

H（S）=Ω（s）^-1（15）其中，Ω（s）為

驗(yàn)證確定的某種W_k是否有效，根本上即為驗(yàn)證在該反饋方式下由式（14）得到的增益向量g₁，g₂，g₃是否使對(duì)任意的s{μi}_i=1^N閉環(huán)剛度矩陣Ω（s）必然為非奇異矩陣。

由此，可以歸納驗(yàn)證過程為：確定特定的輸入反饋方法W_k后，由式（14）可求得實(shí)數(shù)向量g₁，g₂，g₃，將g₁，g₂，g₃代入式（16），并求得Ω（s）的行列式w（s），對(duì)任意μ_i{μi}_i=1^N，若W（μi）為零，則閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)不可被分配到指定極點(diǎn)，稱此確定的W_k方法無效。否則認(rèn)為閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)可被分配到指定期望極點(diǎn)，稱此確定的W_k方法有效。

2 PID輸入反饋控制零點(diǎn)分配理論

2.1 基于動(dòng)柔度法的零點(diǎn)分配

由于零點(diǎn)分配在振動(dòng)控制中具有重要意義[5-7]，因此本文給出了閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)分配方法。

由表達(dá)式（6）可知，通過選擇合適的增益向量g₁，g₂，g₃，當(dāng)使式（6）分母矩陣坐標(biāo)（i，j）處的值為零時(shí)即可實(shí)現(xiàn)柔度H_ij處的零點(diǎn)分配。

閉環(huán)系統(tǒng)（i，j）處的柔度表達(dá)式為其中e_i，e_j為單位列向量。

因此將閉環(huán)系統(tǒng)柔度H_ij零點(diǎn)分配到設(shè)定值{ξ₁，ξ₂，...，ξ_r）的問題即為：已知H（s），b，i，j，令方程：求解g₁，g₂，g₃。其ξ_k∈{ξi}_i=1^r，r≤2n-1，r為可配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)數(shù)目。

將式（18）變形得：

即：其中H_ij（s）為開環(huán)系統(tǒng)坐標(biāo)（i，j）處的開環(huán)柔度值。又由于e_i^TH（ξ_k）b為常量，故令：

t_k=H_ij（ξ_k）H（ξ_k）b-e_i^TH（ξ_k）bH（ξ_k）e_j（21）

故當(dāng)將閉環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)分配為{ξ₁，ξ₂，...，ξ_r}時(shí)可得：其中，令：

由式（22）可知當(dāng)預(yù)設(shè)零點(diǎn){ξ₁，ξ₂，...，ξ_r}閉環(huán)共軛時(shí)可取得矩陣T的逆，進(jìn)而得到實(shí)向量g₁，g₂，g₃[5]。特別地，當(dāng)坐標(biāo)i，j重合時(shí)，此時(shí)零點(diǎn)分配將影響系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置，因此具有重要意義[12]。

2.2 基于動(dòng)柔度法的零極點(diǎn)分配

工程應(yīng)用中，有時(shí)需要同時(shí)對(duì)零點(diǎn)與極點(diǎn)進(jìn)行分配，結(jié)合式（13）與式（22）可對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)同時(shí)進(jìn)行零極點(diǎn)分配，此時(shí)應(yīng)注意零極點(diǎn)分配總數(shù)目r+N≤2n+1。同樣地此時(shí)也可以對(duì)式（13）與式（25）中G與T矩陣選取k（0≤k≤n-1）列進(jìn)行零向量代換，以得到最佳的傳感器分配方案。

3 數(shù)值實(shí)例

3.1 極點(diǎn)分配數(shù)值實(shí)例

為驗(yàn)證上述理論，考慮如下三自由度阻尼一質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真：

則可得系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)：-0.0305±0.5894i，-0.8503±1.0119i，-0.6609±2.1200i。

現(xiàn)用本文所提出的理論對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)進(jìn)行配置，以改善系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)。設(shè)b=[1 1 1]^T。由于n=3，則由1.2節(jié)可知N=7。由于原始系統(tǒng)特征頻率較低阻尼較小，因此設(shè)置一組閉環(huán)系統(tǒng)特征值為μ^1.2=-1±0.5i，μ_3.4=-1±i，μ_5.6=-2±i，μ₇=-3，增大系統(tǒng)阻尼并增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

由式（15）可得g₁，g₂，g₃為

g1=[-38.1817 -6.7810 11.3765]^T

g2=[3.7396 -14.4487 2.4203]^T

g3=[-4.1357 -4.5904 -10.6608]^T

同時(shí)經(jīng)1.4中驗(yàn)證方法驗(yàn)證知：系統(tǒng)可配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)可被g₁，g₂，g₃分配到指定極點(diǎn)μ1.2=-1±0.5i，μ3.4=-1±i，μ5.6=-2±i，μ7=-3。

為突出極點(diǎn)分配效果，給出原系統(tǒng)及修改后系統(tǒng)從3處的頻率響應(yīng)曲線、零極點(diǎn)分布圖及奈奎斯特圖如圖1～圖5所示。由圖3及圖2對(duì)比可知系統(tǒng)極點(diǎn)被分配到了預(yù)設(shè)位置。且由于積分反饋的引入，修改后系統(tǒng)增加了一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。在工程實(shí)際中此極點(diǎn)的引入增加了配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)值的靈活性。結(jié)合圖1、圖4、圖5可看出系統(tǒng)極點(diǎn)重分配后閉環(huán)系統(tǒng)的特征頻率增大，阻尼增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)，系統(tǒng)固有特性得到改變。

3.2 傳感器合理配置數(shù)值實(shí)例

在3.1節(jié)極點(diǎn)分配的基礎(chǔ)上，可利用1.3節(jié)末尾的方法來尋找本例的最少傳感器布置方案，并用1.4節(jié)的方法進(jìn)行驗(yàn)證。表1給出了可將3.1節(jié)所示系統(tǒng)極點(diǎn)分配至μ_1.2=-1±0.5i，μ_3.4=-1±i，μ_5.6=-2±i，μ₇=-3，且保持閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的所有替代方案。并在表2中給出部分替代方案的PID反饋增益值（此處給出每類第1種方法的控制增益）。由于篇幅限制不再驗(yàn)證更高階系統(tǒng)，但發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)為更高階的系統(tǒng)時(shí)，在保證G行滿秩的情況下設(shè)置G中某些列為零向量，發(fā)現(xiàn)得到的反饋增益向量g₁，g₂，g₃并不全都可將系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分配到指定位置，這表明了1.4節(jié)所給驗(yàn)證方法的重要性，本文不再給出示例。

進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)作缺少極點(diǎn)分配計(jì)算（表3所示分配缺陷極點(diǎn)數(shù)為2n）表明：當(dāng)分配極點(diǎn)數(shù)目小于N時(shí)（即分配缺少極點(diǎn)的情況時(shí)），系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)將會(huì)出現(xiàn)使系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點(diǎn)。這表明了確定分配極點(diǎn)數(shù)目的重要性。

3.3 零點(diǎn)分配數(shù)值實(shí)例

基于3.1中三自由度阻尼-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，設(shè)b=[1 1 1]^T并預(yù)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)柔度H₃₃（s）處的零點(diǎn)為ξ_1.2=-1±0.5i，ξ_3.4=-2±0.5i。使用第2節(jié)所述方法對(duì)系統(tǒng)零點(diǎn)進(jìn)行分配：

由式（22）可得此時(shí)g₁，g₂，g₃為

g₁=[1.9623 -3.0448 0]^T

g₂=[-1.3215 -0.49120]^T

g₃=[-6.3791 -1.46820]^T

同時(shí)計(jì)算此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為：-0.1439±0.5047i，-0.6195±1.68241，-1.0199±0.9522i，-3.4404。極點(diǎn)均分布于虛軸左半平面，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。同樣給出修改后系統(tǒng)H₃₃處的頻率響應(yīng)曲線、零極點(diǎn)分布圖及奈奎斯特圖如圖6～圖8所示。由圖7及圖2對(duì)比可知系統(tǒng)零點(diǎn)被準(zhǔn)確地分配至預(yù)設(shè)值。結(jié)合圖6、圖4、圖8可看出重分配零點(diǎn)后，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)。證實(shí)了方法的有效性。