春季降水量概率分布函數(shù)對比分析

劉慧 劉德安

摘要：利用四川省宜賓市的1953—2010年的春季降水量數(shù)據(jù)資料，分別應用正態(tài)分布、Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ型分布對該地區(qū)的降水分布特征進行研究。在此基礎上，利用離差平方和最小準則進行4種分布函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗。結果表明，4種分布函數(shù)均能擬合宜賓市春季降水分布;通過擬合優(yōu)度檢驗表明，對數(shù)正態(tài)分布對宜賓市春季降水量的擬合效果最好，Gamma分布次之，P-Ⅲ型分布和正態(tài)分布的擬合效果相對較差。

關鍵詞：降水量擬合;擬合檢驗;對比分析

中圖分類號：P468? ? ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：0439-8114（2019）07-0047-05

Abstract： By utilizing spring precipitation data of Yibin city in Sichuan province from 1953 to 2010， normal distribution， Gamma distribution， logarithmic normal distribution， P-Ⅲ distribution were applied to study the region's precipitation distribution characteristics. Based on this， the minimum of sum square variation method was used for goodness of fit test of the four distribution functions. The result shows that the four distribution functions can all fit with precipitation distribution of spring in Yibin city. The goodness of fit tests show that logarithmic normal distribution is best fit with the precipitation distribution of spring in Yibin city， Gamma distribution is the second best. The fitting effect of P-III distribution and normal distribution is relatively poor.

Key words： precipitation totals fitness; fitness test; comparative analysis

降水是地面觀測中最基本的氣象要素之一，也是決定某地氣候特征的關鍵因子。降水不僅直接影響土壤水分平衡，也間接影響太陽輻射、氣溫、濕度等天氣變量，同時降雨量也是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和農(nóng)業(yè)生態(tài)系統(tǒng)的重要影響因子。而某地春季的降水量更是對農(nóng)作物的春耕有著不可小視的作用，關乎到作物的初生長。

研究降水量及其分布規(guī)律不僅有重要的氣候?qū)W意義，而且對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水資源管理與應用以及防災、減災有重要的現(xiàn)實意義。因此，對春季降水量概率分布的研究是很有必要的，這就需要一個能夠較好擬合本地春季降水量的概率分布函數(shù)，以此對本地的春季降水有所把握和合理利用。同時，在氣候統(tǒng)計診斷和預報中，經(jīng)常在正態(tài)假定的前提下進行研究工作，但如果氣候變量不符合正態(tài)假定的前提，則將會給預報帶來一定的誤差。從這個方面來講，對各種氣象要素所服從的各種非正態(tài)分布的研究有著重要意義。

關于降水量概率分布的研究，目前國內(nèi)外已經(jīng)取得了很多研究成果。在國內(nèi)，科學工作者對各氣象要素所服從分布情況開展了大量的研究工作。在正態(tài)分布模型的研究中，胡文東等[1]指出寧夏大多數(shù)氣象站的年降水量服從正態(tài)分布，而季度降水量及逐月降水量服從正態(tài)分布的氣象站相對較少;周雁翎等[2]在對粵西降水量分布的研究中指出，除了各站夏季降水量均服從正態(tài)分布外，粵西各站月、春、秋、冬和年降水量大都不服從正態(tài)分布。對于多雨地區(qū)，情況則不同，吳慧[3]在對海南省降水量正態(tài)分布特征的研究中指出，在0.01的信度檢驗下，海南省各站春、夏、秋季降水量基本符合正態(tài)分布，冬季僅北部和東部地區(qū)符合正態(tài)分布，月降水量的正態(tài)性也隨季節(jié)而變化且具有局地性。由于大多的天氣氣候極值往往出現(xiàn)于非正態(tài)時間序列中，僅用正態(tài)分布去模擬降水序列可能產(chǎn)生較大誤差。從這個意義上也反映出，認識各種氣象要素多服從的各種非正態(tài)分布很有意義。

各國科學工作者都致力于非正態(tài)性分布的研究。如Entekhabi等[4]提出了用Gamma分布描述土壤水分和徑流。自2002年以來，有學者先后利用 Gamma分布，WEIBULL分布和負指數(shù)分布擬合了降水量、降水日數(shù)、徑流和蒸發(fā)等各種地表參量的地理空間分布函數(shù)，取得了較好的效果[5-7]。段莉珠等[8]根據(jù)潞西氣象站實測降水量資料，驗證了該站降水量為P-Ⅲ型分布;吳樟榮[9]得出P-Ⅲ型分布能很好地擬合廣東省登陸臺風的年最大風速資料;周建康等[10]通過對南京站降水量的統(tǒng)計分析，驗證了南京站降水量雨型為P-Ⅲ型分布。丁裕國[11]曾用Γ分布模式研究過北京市等5個站的月降水量的統(tǒng)計特征;在國外，Mooley[12]曾用Γ概率分布模式對亞洲夏季月降水量進行模擬。李偉光等[13]對海南省海口市不同時間尺度降水量進行了分布擬合，指出Gamma分布函數(shù)對?？谑胁煌瑫r間尺度降水量均有較好擬合效果;石強等[14]用Gamma分布擬合青島市各月和年降水量，并建立了適用于青島市降水量擬合的二參數(shù)Gamma分布。由此看出，非正態(tài)分布所涉獵的研究范圍十分廣泛，因此非正態(tài)分布的研究對做好氣候的統(tǒng)計診斷和預報具有十分重要的意義。

根據(jù)前人的研究成果，丁裕國等[15]指出，正態(tài)分布常用于擬合各地月平均氣溫、年平均氣溫、部分地區(qū)的日（時）平均氣溫、多雨地區(qū)的年降水量;各種偏態(tài)分布常用于擬合地區(qū)逐日（時）平均或最高（低）氣溫、日（月）降水量、無雨期長度、相對濕度、能見度、短歷時降水強度、徑流、土壤水分等。由此可以看出，正態(tài)分布和各種非正態(tài)分布都能夠?qū)σ欢ǖ臍庀蟋F(xiàn)象進行擬合，且均具有十分重要的意義。本研究分別利用正態(tài)分布以及P-Ⅲ型分布、Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布3種偏態(tài)分布對四川省宜賓市春季（3—5月）的降水量資料進行了擬合，并做出了對比分析，旨在尋求對四川省宜賓市春季降水量擬合更好的分布函數(shù)，以期進一步提高本地氣候統(tǒng)計診斷和預報的準確度。

1? 資料與方法

1.1? 資料來源與研究區(qū)概況

數(shù)據(jù)資料取自四川省宜賓市的春季降水量資料，為1953—2010年的春季（3—5月）累積降水量數(shù)據(jù)。宜賓市位于四川省南部，處于川、滇、黔三省結合部的金沙江、岷江、長江匯流地帶。地跨北緯27°50′—29°16′、東經(jīng)103°36′—105°20′。宜賓市屬中亞熱帶濕潤季風氣候，低丘、河谷兼有南亞熱帶的氣候?qū)傩?具有氣候溫和、熱量豐足、雨量充沛、光照適宜、無霜期長、冬暖春早、四季分明的特點;年平均氣溫18 ℃左右;年平均降水量1 050～1 618 mm，5—10月為雨季，降水量占全年的81.7%，主汛期為7—9月，降雨量更集中，占全年總降雨量的51%;年平均日照時間為1 000～1 130 h，無霜期為334～360 d;年平均風速僅為1.23 m/s，多為西北風和東北風，靜風頻率較大，高達34%～53%，風速小。

1.2? 研究方法

1.2.1? 降水概率分布模型及其參數(shù)估計? 首先假設降水量概率分布分別服從正態(tài)分布、Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ型分布。在進行降水量的概率分布擬合時，對正態(tài)分布的參數(shù)估計方法采用矩法估計（根據(jù)樣本矩直接估計兩個參數(shù)），對于非正態(tài)分布的Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ型分布選用極大似然估計的方法確定函數(shù)的參數(shù)。極大似然估計方法是參數(shù)估計中最重要、也是應用最廣泛的方法之一，也就是選取使得似然函數(shù)達到最大的數(shù)值作為參數(shù)的估計值。

1）正態(tài)分布及其參數(shù)估計。正態(tài)分布作為最常見且應用最廣泛的隨機變量的分布，在隨機變量的分布中居于中心地位。其在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中無論在理論研究還是實際應用上都占有極其重要的地位，并且數(shù)理統(tǒng)計中許多重要問題的解決都是以正態(tài)分布為基礎的。在氣候統(tǒng)計診斷和預測中，大多數(shù)診斷方法和預測模型都是建立在假設氣候變量是正態(tài)分布的前提下進行的。因此，對于氣候變量是否為正態(tài)分布的檢驗不僅很有必要而且很重要。以往對氣象諸要素的統(tǒng)計特性研究表明，月平均氣溫、多雨地區(qū)的年降水量一般近似服從正態(tài)分布。本研究亦采用正態(tài)分布進行宜賓市春季降水量的分布擬合，其概率密度函數(shù)為：

1.2.2? 擬合假設檢驗方法? 在降水量概率分布擬合之后，還要進行擬合優(yōu)度的檢驗。本研究采用K-S檢驗法來完成。K-S檢驗全稱是Kolmogorov-Smirnov檢驗，亦稱擬合優(yōu)度檢驗法。它是用來檢驗給定的一組樣本數(shù)據(jù)的分布是否符合某一特定分布的方法，是檢驗小樣本擬合效果的常用方法。它的檢驗方法是以樣本數(shù)據(jù)的累計頻數(shù)分布與特定理論分布比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分布族。

以Gamma函數(shù)為例，K-S檢驗進行擬合效果的檢驗方法為設x1，x2，x3，…，xn為來自一個總體具有分布函數(shù)Γ（x）的隨機樣本，且設該樣本是按從小到大的順序排列的有序樣本，于是可以應用有序樣本求得Γ（x）的置信界限值，有序樣本的分布函數(shù)[15]：

1.2.3? 對比分析方法? 對以上4種降水量概率分布函數(shù)的擬合效果進行對比分析，比較哪種函數(shù)對宜賓市的春季降水量有更好的擬合效果。擬合優(yōu)度評價是選擇概率分布函數(shù)的重要指標，比較常用的擬合優(yōu)度評價方法有直觀的圖形分析法、Genest-Rivest方法、AIC信息準則、離差平方和最小準則（OLS）。本研究采用離差平方和最小準則法來對函數(shù)進行定量的擬合優(yōu)度檢驗，以確定最優(yōu)的分布函數(shù)。OLS的計算公式為：

2? 應用

以四川省宜賓市為例，采用宜賓市的春季降水量數(shù)據(jù)資料，進行春季降水量的擬合、擬合檢驗和對比分析，以期得到最優(yōu)的擬合宜賓市春季降水量的分布函數(shù)。

2.1? 各概率分布函數(shù)參數(shù)、概率值的確定

根據(jù)前面的討論，首先假設降雨量是服從正態(tài)分布、Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ型分布的。其中，正態(tài)分布的參數(shù)可以按照公式（2）計算，Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ型分布的參數(shù)采用極大似然估計法求得，可分別按照公式（4）、（6）、（8）進行估計。各概率分布函數(shù)參數(shù)的計算結果如表1所示。

將表1中相應的參數(shù)分別代入公式（1）、（3）、（5）、（7），即可求得各自的概率密度。從所得的計算結果可以直觀地看到各降水量區(qū)間出現(xiàn)的可能性，為減災防災工程提供相應的科學依據(jù)。當降水量值大于100 mm時，通過各分布函數(shù)計算的概率值得到其出現(xiàn)的最大概率僅為5%左右，說明宜賓市春季降水量超過100 mm的概率不是很大;而其春季降水量低于30 mm出現(xiàn)的概率也較低，從各分布計算的概率值來看，最高也只是5%左右。

2.2? 擬合檢驗

根據(jù)宜賓市春季降水量數(shù)據(jù)，利用K-S檢驗方法計算的結果如表2所示。查表可知，在n=58， α=0.05時的K-S檢驗的檢驗統(tǒng)計量值Dnα為? 0.175 19。由表2可見，對于4種概率分布函數(shù)，均存在Dnα>Dn，說明文中擬合的降水量理論分布與實際頻率分布差異較小，可以通過假設，即宜賓市春季降水量服從正態(tài)分布、Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ型分布。為檢驗各自概率分布函數(shù)的擬合效果，分別畫出正態(tài)分布、Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ分布對宜賓市春季降水量的擬合曲線，如圖1、圖2、圖3和圖4所示。從圖1可以看出，正態(tài)分布在40～60 mm降水量區(qū)段的擬合效果較好，而在其他降水量區(qū)段的擬合效果相對較差;從圖2、圖3可以看出，Gamma分布和對數(shù)正態(tài)分布在30～90 mm降水量區(qū)段的擬合效果較好，在90 mm降水量以上區(qū)段的擬合效果相對較差;從圖4可以看出，P-Ⅲ型分布在40～90 mm降水量區(qū)段的擬合效果較好，而在90～120 mm降水量區(qū)段的擬合效果較差?？傮w而言，對數(shù)正態(tài)分布和Gamma分布的整體擬合效果較好，P-Ⅲ型分布和正態(tài)分布的擬合效果相對較差，此為最優(yōu)擬合分布的判斷提供了一定的參考價值。

2.3? 對比分析

為了準確判定最優(yōu)的擬合分布函數(shù)，通過離差平方和最小準則法進行宜賓市春季降水量擬合最佳的分布函數(shù)分析。當OLS值最小，則其對應的分布就為擬合效果最佳的分布。由表3可知，對數(shù)正態(tài)分布的OLS值最小，說明對數(shù)正態(tài)分布對春季降水量的擬合效果最好，與實際宜賓市的春季降雨情況最接近。

為更加直觀地體現(xiàn)這一點，作出各個降水量概率分布函數(shù)擬合效果的對比分析圖。從圖5可以看出，正態(tài)分布概率理論曲線和經(jīng)驗分布曲線擬合的效果最差;對數(shù)正態(tài)分布、P-Ⅲ型分布及Gamma分布的頻率理論曲線和經(jīng)驗分布曲線都擬合的較好，和OLS結果值相吻合。因此可知，對數(shù)正態(tài)分布模擬的降雨和實際的基本一致，可以用來模擬實際的降雨情況，這個分布函數(shù)模型是合理的。

3? 結論

本研究根據(jù)四川省宜賓市的春季降水量資料，利用矩法估計、極大似然估計的參數(shù)估計方法，分別采用正態(tài)分布以及Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ型分布對春季降水量分布進行擬合。并且利用K-S檢驗法對各分布函數(shù)進行檢驗，同時利用離差平方和最小準則（OLS）對正態(tài)分布和3種非正態(tài)分布（對數(shù)正態(tài)分布、Gamma分布和P-Ⅲ型分布）的擬合效果做了對比分析，由計算結果可以得到以下主要結論。

1）正態(tài)分布、Gamma分布、對數(shù)正態(tài)分布和P-Ⅲ型分布均可以對宜賓市的春季降水量分布進行擬合。

2）計算結果顯示，對數(shù)正態(tài)分布的OLS值最小，即對數(shù)正態(tài)分布對宜賓市春季降水量的擬合效果最好;Gamma分布次之，P-Ⅲ型分布再次，正態(tài)分布最差。

3）通過本次研究，可以為宜賓市的氣候統(tǒng)計診斷和預報工作提供一定的參考，為本地春季農(nóng)耕提供理論上的支撐，具有理論意義和業(yè)務實用價值。

參考文獻：

[1] 胡文東，陳曉光，李艷春，等.寧夏月、季、年降水量正態(tài)性分析[J].中國沙漠，2006，26（6）：963-968.

[2] 周雁翎，張瓊雄，張? 練，等.粵西降水量的分布特征及正態(tài)分布檢驗[J].廣東氣象，2007，29（3）：32-34.

[3] 吳? 慧.海南省降水量的正態(tài)分布特征及正態(tài)化變換[J].廣東氣象，2005（2）：12-13.

[4] ENTEKHABI，D，EAGLESON P S. Land surface hydrology parameterization for AGCM including subgrid scale spatial variability[J].J Climate，1989，2：816-830.

[5] 劉晶淼，丁裕國，周秀驥，等.基于降水氣候強迫的一種地表徑流估計方法[J].氣象學報，2004，62（3）：285-293.

[6] 王紀軍，劉晶淼，丁裕國.用于非均勻地表通量估計的一種積分算子[J].高原氣象，2004，23（5）：605-611.

[7] 劉晶淼，丁裕國，李? 云，等.一種度量區(qū)域旱澇災害嚴重性的指標[J].自然災害學報，2004，13（5）：16-19.

[8] 段莉珠，番朝成.德宏潞西氣象站降水量統(tǒng)計分析[J].云南水力發(fā)電，2009，25（1）：8-10.

[9] 吳樟榮.基于P-Ⅲ型分布函數(shù)的臺風風險水平分析[J].浙江師范大學學報，2002，25（2）：166-168.

[10] 周建康，唐運憶，徐志俠.南京站降水量的統(tǒng)計分析[J].水文，2003，23（6）：35-38.

[11] 丁裕國.降水量概率分布的一種間接模式[J].南京氣象學院學報，1987，4（10）：407-415.

[12] MOOLEY D A. Gamma probability model for asian summer monsoon monthly rainfall[J].Monthly weather review，1973，101：160-170.

[13] 李偉光，朱乃海，陳匯林，等.海口不同時間尺度降水量統(tǒng)計擬合[J].安徽農(nóng)學通報，2007，13（12）：189-190，227.

[14] 石? 強，林滋新.青島地區(qū)降水的Gamma分布模式[J].山東氣象，1987（2）：15-19.

[15] 丁裕國，申紅艷，江志紅，等.氣候概率分布理論及其應用新進展[J].氣象科技，2009，37（3）：257-262.