對(duì)一道解析幾何聯(lián)考題解法的探究與拓展

任海濤

一、題目呈現(xiàn)

試題：（2018年安徽省江南十校聯(lián)考題第20題）A、B、C、D是拋物線E：x2=2py（p>0）上的四點(diǎn)，A、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)且在直線BD的異側(cè)，直線l：x-y-1=0是拋物線在點(diǎn)C處的切線方程，且BD//l。

（1）求拋物線E的方程。

（2）求證：AC平分∠BAD。

二、題目分析與解法

本題是一道解析幾何綜合題，以直線和拋物線為載體，主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，又考查了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。本題貼近學(xué)生實(shí)際，既注意全面，又突出重點(diǎn)，注重對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的考查，注重對(duì)中學(xué) 數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的考查。本題考查了同學(xué)們的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力，也有效考查了同學(xué)們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（1）試題第一問(wèn)考查拋物線的切線問(wèn)題，既可以從切線的求法入手，也可以從直線和拋物線的位置關(guān)系入手，從而得到如下解法：

【法一】

因?yàn)橹本€l：x-y-1=0是拋物線在C處的切線方程，且直線BD//l，所以利用切點(diǎn)的性質(zhì)可得。

【法二】

處的切線方程，所以=0，解得p=2或0（舍去）。

所以?huà)佄锞€的方程為x2=4y。

（2）第二問(wèn)考查了直線與拋物線的位置

關(guān)系，在研究AC平分∠BAD時(shí)，要善于從數(shù)和形兩個(gè)角度出發(fā)，注重平面幾何知識(shí)的滲透，解析幾何首先是幾何問(wèn)題，一味強(qiáng)調(diào)解析幾何中的代數(shù)運(yùn)算有時(shí)會(huì)導(dǎo)致煩瑣的運(yùn)算過(guò)程，在解題時(shí)要綜合考慮幾何因素，即在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時(shí)，注意利用好圖形本身所具有的平面幾何知識(shí)，從而得到不同的解法。

由（1）可知C（2，1），A（-2，1）。

因?yàn)锽D//l，所以BD的方程可設(shè)為y=x+t。

【法一】A、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，故AC//x軸。要證AC平分∠BAD，不妨從斜率人手，證明：。

證明如下：

【法二】要證AC平分∠BAD，可以從角平分線的性質(zhì)人手，只需證點(diǎn)C到∠BAD兩邊的距離相等。

化簡(jiǎn)即為（x2-2）x-4y+2x2=0，所以點(diǎn)C到直線AD的距離為：

【法三】要證AC平分∠BAD，可以從向量的角度人手

【法四】從圖形的對(duì)稱(chēng)性入手，要證AC平分∠BAD，只需證明點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)

三、題源剖析

本題具有初等幾何的背景，圓有性質(zhì)：圓的圓心必在切線夾角的平分線上。

類(lèi)比到圓錐曲線中，可得到性質(zhì)：過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)作圓錐曲線兩切線與焦點(diǎn)連線所成的角相等（拋物線可看成另一焦點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處）（以橢圓為例證明）。

四、命題拓展

圓錐曲線的切線作為和圓錐曲線位置關(guān)系最特殊的直線揭示了直線和圓錐曲線位置關(guān)系中定性的結(jié)論和幾何性質(zhì)的不變性。將上述性質(zhì)進(jìn)行推廣，可以得到以下性質(zhì)：

性質(zhì)2：已知點(diǎn)B（-m，0）（m>0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y”=2px（p>0）交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若x軸是∠PBQ平分線==直線l過(guò)定點(diǎn)（m，0）。

性質(zhì)3：已知點(diǎn)B（m，0）（|m|>a），不垂直于x軸的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P、Q，則x軸是∠PBQ平分線==直線l過(guò)定點(diǎn)。

性質(zhì)4：已知點(diǎn)B（m，0）（0<|m|

同學(xué)們解題時(shí)需要從形式的“變”發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的“不變”，從本質(zhì)的“不變”探索形式的“變”的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的橫向聯(lián)系，揭示其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，從中提煉出數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟思維的誘導(dǎo)、調(diào)整、進(jìn)階、完善，重新全面梳理知識(shí)、方法，注意知識(shí)結(jié)構(gòu)的重組與概括，精學(xué)一題、妙解一類(lèi)，固化于形、內(nèi)化于心，進(jìn)而形成一個(gè)有序化、條理化、網(wǎng)絡(luò)化的高效的有機(jī)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而有層次地、遞進(jìn)地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提升大家的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)。