波爾茲曼方程到歐拉方程黎曼解的流體動力學(xué)極限

黃飛敏

(中國科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院， 北京 100190)

0 引 言

作為統(tǒng)計力學(xué)中的基本方程, 波爾茲曼方程有以下形式

(1)

其中,f(t,x,ξ)表示粒子在位置x和時間t具有速度ξ的分布, 這里Knudsen數(shù)ε>0與粒子的自由平均程成正比.

眾所周知,波爾茲曼方程[1]與宏觀的流體力學(xué)方程,如歐拉方程、納維-斯托克斯方程緊密相關(guān).早在麥克斯韋爾和波爾茲曼時代, 人們就意識到了這些聯(lián)系.1912年希爾伯特提出了著名的希爾伯特展開，Enskog和Chapman分別在1916年和1917年相互獨立地提出了另外一種展開(后稱之為Enskog-Chapman展開).根據(jù)Knudsen數(shù)ε，希爾伯特展開和Enskog-Chapman展開均得到主要近似為可壓縮歐拉方程, 之后的項為可壓縮納維-斯托克斯方程.注意到以上只是形式展開, 嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明一直未得到解決, 部分原因是歐拉方程自身的適定性理論沒有得到解決.事實上，波爾茲曼方程的流體動力學(xué)極限與著名的希爾伯特第六問題密切相關(guān).

本文簡要回顧了關(guān)于波爾茲曼方程流體動力學(xué)極限的研究工作.當(dāng)歐拉方程具有光滑解時，波爾茲曼方程的流體動力學(xué)極限已有比較豐富的工作, 見Caflisch[2], Lachowicz等[3], Nishida[4]及Ukai等[5].但即使初值充分光滑, 歐拉方程的解通常會在有限時間內(nèi)產(chǎn)生奇性, 比如激波和接觸間斷波[6], 因此，在奇異解情形下研究波爾茲曼方程的流體動力學(xué)極限是有意義的. 黎曼解是研究一般奇異解的基石, 最早由黎曼在1860年開始研究.黎曼當(dāng)時研究了一維等熵氣體動力學(xué)方程組, 初值由2片常數(shù)組成, 由原點分開.這樣的初值后稱為黎曼初值, 對應(yīng)的解稱為黎曼解.它不僅能捕獲解的局部和整體行為, 并且完全反映了非線性項的影響. 對于歐拉方程, 黎曼解包含三類基本波, 即激波、稀疏波和接觸間斷波.所謂的黎曼解由這三類基本波線性疊加而成.注意到這三類基本波擁有完全不同的性質(zhì), 即激波具有壓縮性, 稀疏波具有膨脹性, 接觸間斷波具有擴散結(jié)構(gòu).對這些基本波的研究完全依賴于波的基本性質(zhì), 因此，在由這些具有不同性質(zhì)的基本波組成黎曼解的情形下, 從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格驗證波爾茲曼方程的流體動力學(xué)極限是一個具有很大挑戰(zhàn)性的難題.

根據(jù)這些基本波的特有性質(zhì)，單個基本波的流體動力學(xué)極限已被嚴(yán)格證明了, 如激波[7]、稀疏波[8]和接觸間斷波[9].由于以前研究這些基本波的方法嚴(yán)重依賴于波的特有性質(zhì)且互不兼容, 因此，波的疊加情形仍然是一個具有挑戰(zhàn)性的公開問題.在文獻(xiàn)[10-11]中,筆者分別證明了稀疏波+接觸間斷波和激波+稀疏波疊加的情形.在文獻(xiàn)[1]中，利用研究激波的方法來統(tǒng)一研究三種基本波的疊加情形, 付出的代價就是稀疏波和接觸間斷波引起的誤差太大.為此引入了二類雙曲波分別克服稀疏波和接觸間斷波產(chǎn)生的困難.利用以上想法、精細(xì)的先驗估計及尺度變換方法,筆者在文獻(xiàn)[1]中對于一般黎曼解情形, 嚴(yán)格證明了波爾茲曼方程的流體動力學(xué)極限，并得到了關(guān)于Knudsen數(shù)ε的收斂速率.

1 波爾茲曼方程

考慮如下波爾茲曼方程

(2)

其中,ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)∈R3,x∈R,Q(f,g)為碰撞算子.筆者主要考慮硬球碰撞模型.同樣方法也可以應(yīng)用到硬位勢模型.當(dāng)ε趨于0時, 波爾茲曼方程(2)形式上收斂到以下可壓縮歐拉方程:

(3)

其中,

(4)

(5)

滿足

作如下微觀-宏觀分解[12-14]，即

f(t,x,ξ)=M(t,x,ξ)+G(t,x,ξ),

其中,

M=M[ρ,u,θ](t,x,ξ)=

(6)

為局部麥克斯韋分布,G(t,x,ξ)表示微觀量.

由于在一維空間使用拉格朗日坐標(biāo)更方便, 作如下坐標(biāo)變換, 即

(7)

仍記坐標(biāo)參數(shù)為(t,x), 這樣方程(2)和(3)在拉格朗日坐標(biāo)里分別變?yōu)?/p>

(8)

以及

(9)

2 黎曼問題

現(xiàn)在回顧歐拉方程組(9)的黎曼問題，即考慮初值

其中，u±=(u1±,0,0),v±,θ±>0為常數(shù).眾所周知，以上黎曼問題包含了三種不同傳播速度的基本波, 即激波、稀疏波和接觸間斷波, 見文獻(xiàn)[6].給定右狀態(tài)(v+,u1+,θ+), 以下為相平面上關(guān)于左狀態(tài)(v,u1,θ)的曲線：

★接觸間斷波曲線：

CD(v+,u1+,θ+)={(v,u1,θ)│u1=u1+,

p=p+,v≠v+}

(10)

★i-稀疏波曲線i=1,3：

Ri(v+,u1+,θ+)={(v,u1,θ)│v

(11)

其中，s=s(v+,θ+),i為方程組(9)的第i-族特征速度；

★i-激波曲線i=1,3：

(12)

(13)

(14)

由于稀疏波在t=0具有奇性, 因此，在區(qū)間[h,T]上考慮波爾茲曼方程解的流體動力學(xué)極限, 其中，h>0為任意小常數(shù),T>0為固定的任意常數(shù).

3 主要定理

其中, 區(qū)域Σh,T={(t,x)│h≤t≤T,|x-s3t|≥h}, 常數(shù)Ch,T不依賴ε.

注由于以1-稀疏波、2-接觸間斷波和3-激波組成的解為黎曼解的典型情形, 定理1也適用于黎曼解的其他情形.

4 思 路

引入以下尺度變換

(15)

由于1-稀疏波、2-接觸間斷波和3-激波均為可壓縮歐拉方程組(9)的奇異解，正則性不高，則需要構(gòu)造光滑的逼近稀疏波(VR1,UR1,ΘR1)、逼近接觸間斷波(VCD,UCD,ΘCD)和行波解(VS3,US3,ΘS3)[15]來代替相應(yīng)的稀疏波、接觸間斷波和激波.又由于利用了研究激波的方法來統(tǒng)一研究波的疊加情形, 付出的代價就是由稀疏波和接觸間斷波引起的誤差太大.為了克服這些困難，引入二類雙曲波來分別克服稀疏波和接觸間斷波產(chǎn)生的困難，見文獻(xiàn)[1].設(shè)(V,U,E)為由這5種波組成的逼近復(fù)合波.圍繞逼近復(fù)合波, 定義以下擾動量

(16)

其中,行波解Fs3=M[VS3,US3,ΘS3]+Gs3.根據(jù)以上尺度變換, 波爾茲曼方程的流體動力學(xué)極限問題可以轉(zhuǎn)化為波爾茲曼方程的長時間穩(wěn)定性問題.特別是選擇零初值，即

(17)

以下是關(guān)鍵的先驗估計：

(18)

注意到式(18)的收斂速率比定理1中的收斂速率要快，本文得到了理想的先驗估計，即定理2.再結(jié)合局部存在性定理，成功證明了定理1, 見文獻(xiàn)[1].