探究一道題的多種解法

張 波

(黑龍江省哈爾濱市第一二二中學(xué) 150040)

題目設(shè)x、y是實(shí)數(shù)，且x2+xy+y2=1，求p=-x2+xy-y2的取值范圍.

由條件x2+xy+y2=1知x與y不能同時(shí)為零.

(1)當(dāng)x與y中有一個(gè)為零，另一個(gè)不為零時(shí)，顯然p=-1.

點(diǎn)評(píng)本解法的關(guān)節(jié)點(diǎn)是對(duì)x與y符號(hào)的討論，這是因?yàn)閤2+y2≥2xy取等號(hào)與x2+y2≥-2xy取等號(hào)時(shí)，x與y的符號(hào)條件不一樣.

解法3(判別式法)由

x2+xy+y2=1?p(x2+xy+y2)=p=-x2+xy-y2?(p+1)x2+(p-1)xy+(p+1)y2=0.

(1)當(dāng)p+1=0，即p=-1時(shí)，x=0,y=±1，符合題意.

點(diǎn)評(píng)本解法中要注意兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：①討論后明確了y≠0，才能化得方程(*)；②對(duì)方程(*)應(yīng)用判別式的前提是一元二次方程，因此要考慮二次項(xiàng)系數(shù)p+1是否為零.

點(diǎn)評(píng)本解法逆用韋達(dá)定理，根據(jù)導(dǎo)出的x+y,xy的表達(dá)式構(gòu)造出一元二次方程，再利用判別式輕松獲解.但應(yīng)注意解題中隱含條件p≥-3，才能使解題過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)無(wú)誤.

解法5(利用非負(fù)數(shù))

點(diǎn)評(píng)本解法中要注意構(gòu)造非負(fù)數(shù)的兩種形式，若只考慮到非負(fù)數(shù)的一種形式，將導(dǎo)致以偏概全的錯(cuò)誤產(chǎn)生.

解法6(引入等差數(shù)列)

點(diǎn)評(píng)本解法中引入了公差d，從而簡(jiǎn)化了p的表達(dá)式，只需確定d的取值范圍，就可獲得答案.

解法7(施行三角代換)

點(diǎn)評(píng)本解法思路常規(guī)，做出的三角代換也很自然，但三角運(yùn)算較復(fù)雜，需要具有一定的三角變換功底.

解法8(利用齊次分式)

點(diǎn)評(píng)對(duì)于二次齊次型的分式，都可以用上述方法化為三角分式的形式，特別當(dāng)x2與y2的系數(shù)相同時(shí)，所化得的式子更為簡(jiǎn)單.

在進(jìn)行高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)時(shí)，為避免題海戰(zhàn)術(shù)，教師應(yīng)選擇典型題目，進(jìn)行一題多解的深入探究，鼓勵(lì)學(xué)生廣開(kāi)思路，不斷挖掘，就會(huì)探索出多種新穎而富于創(chuàng)造性的解題思路.這對(duì)于活躍課堂教學(xué)氛圍，開(kāi)發(fā)學(xué)生智力，提高復(fù)習(xí)效果大為有益.這完全符合新課標(biāo)所倡導(dǎo)的提升學(xué)生素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的教學(xué)理念.