“找點(diǎn)”問題的解法探究

劉彥永

(東北師范大學(xué)附屬中學(xué) 130021)

一、“指數(shù)”和“對(duì)數(shù)”互助

導(dǎo)數(shù)壓軸題中函數(shù)的解析式常出現(xiàn)的就是指數(shù)“ex”和對(duì)數(shù)“l(fā)nx”的形式，在“找點(diǎn)”問題中可以適當(dāng)?shù)乩弥笖?shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系巧妙“賦值”解決問題.下面以一個(gè)題目為例具體來說明.

題目已知常數(shù)c<0，證明：函數(shù)f(x)=clnx-x2有唯一零點(diǎn).

本題中含有“clnx”，故取“x0=e1/c”可以將對(duì)應(yīng)項(xiàng)轉(zhuǎn)為常數(shù)，更有利于解決問題.事實(shí)上，“指數(shù)”和“對(duì)數(shù)”互助的核心想法就是去“超越性”.比如，在含有“ex”的表達(dá)式中取對(duì)數(shù)形式“x0=lnt”即可化為“ex0=elnt=t”，將“超越性”降為熟悉的一次式，同理可以轉(zhuǎn)化含有“l(fā)nx”為一次式.由于試題的靈活多變，我們也要具體問題具體分析“指數(shù)”和“對(duì)數(shù)”怎樣互助更有效.

二、“大魚”吃“小魚”

當(dāng)a>1時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)logax、xa和ax的增長(zhǎng)速度依次變快，即x充分大以后有l(wèi)ogax

已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

非常遺憾的是，這種敘述在高考中會(huì)因“不嚴(yán)謹(jǐn)”而扣分，需要學(xué)生找到x1∈(0,2),x2∈(2,+∞)使得g(x1)>0,g(x2)>0，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理嚴(yán)格說明方可得滿分.

通過“大魚”吃“小魚”可以有效地將超越方程(不等式)轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉可解的方程(不等式)，從而順利解決“找點(diǎn)”問題.盡管如此，要想真正掌握“大魚”吃“小魚”這一方法，我們還需要熟悉一些常見基本的“大魚”吃“小魚”的不等關(guān)系(見下表)，通過對(duì)變量替換還可以得到更多的“大魚”吃“小魚”不等式關(guān)系.

類型指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一次函數(shù)ex≥x+1ex≥ex>xlnx≤x-1lnx≤1ex2(x-1)x+1(x>1)其他函數(shù)ex≥16x3+12x2+x+1(x≥0)lnx≤12(x-1x)(x≥1)

三、分而治之二、分而治之

有些“找點(diǎn)”問題中不等式很難解甚至不能解，采用分而治之的方法尋找它的充分條件卻非常湊效.通過分而治之的方法將已知條件分拆成兩個(gè)函數(shù)之和或兩個(gè)函數(shù)之積，得到成兩組不等式，通過解不等式組處理問題.下面以2016年新課標(biāo)1卷理科數(shù)學(xué)21題為例具體進(jìn)行闡述.

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；(2)略.

分而治之適用的條件是已知條件具有“和”或“積”的形式，同時(shí)要注意嘗試合理恰當(dāng)?shù)姆植鹨阎獥l件，才能使得不等式能解、易解.

總之，三種方法各有千秋，不同的題目幾種方法的簡(jiǎn)繁程度不一致.讀者可以通過以下題目進(jìn)一步體會(huì)何時(shí)采用何種方法更簡(jiǎn)便.

題目1：求證：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)=x+alnx有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

題目2：求證：當(dāng)a>e時(shí)，函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)零點(diǎn).

題目3：求證：當(dāng)0

“找點(diǎn)”問題是新高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，對(duì)這類試題解法的探究?jī)H僅是試題研究的一個(gè)開端.對(duì)解法的探索使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對(duì)本質(zhì)的探源，使我們更深刻的認(rèn)識(shí)問題，將新舊解題經(jīng)歷跨時(shí)空貫通起來，這又是一個(gè)新的開始.