從化歸角度理解面積問題

陳宏亮

(江蘇省海門市東洲國際學(xué)校 226100)

問題(2018·昆山一模)如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，以AE為邊作等邊△ADE(點(diǎn)D與點(diǎn)C分別在AB的異側(cè))，連接CD.則△ACD的面積為____.

一、幾何背景下的方法分析

分析通過分析△ABC與△ADE，可得ED=EA=EC=EB，則點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，圓心為點(diǎn)E，進(jìn)一步分析可得∠ACD=30°，∠ADC=45°，那求△ACD的面積的方法選擇就是本題解題的關(guān)鍵了.

1.三角形面積公式求解面積

2.利用共邊三角形同高不同底進(jìn)行面積比值轉(zhuǎn)換

3.利用平行進(jìn)行面積等積變換

4.利用割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為面積的和差關(guān)系

方法總結(jié)幾何背景下的面積策略是把圖形面積與三角函數(shù)、勾股定理或者相似等幾何性質(zhì)相結(jié)合，進(jìn)而求出相應(yīng)線段的長度，即面積問題轉(zhuǎn)化為線段問題.

二、代數(shù)背景下的方法分析

方法總結(jié)代數(shù)背景下的面積問題，本質(zhì)上是把面積中的線段的問題，通過函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為基本的點(diǎn)問題，也就是幾何中的“斜線段”化為直角坐標(biāo)系中平行于坐標(biāo)軸的“直線段”.

法9：S△ADC

把各類方法綜合一下，不管背景是代數(shù)背景還是幾何背景，不管是求面積還是用面積，此類問題大致可歸為兩類思考方向：①運(yùn)用原圖形的面積公式轉(zhuǎn)化為線段之積;②運(yùn)用共邊三角形把面積轉(zhuǎn)化為新三角形,出現(xiàn)面積相等、面積比值、面積和差的問題.而幾何背景下可運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)或者運(yùn)算求得線段長度，代數(shù)背景下“化斜為直”轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的問題.當(dāng)點(diǎn)涉及動點(diǎn)時，面積問題也是以此法求得.

教學(xué)感悟其實(shí)初學(xué)幾何圖形時，我們了解到點(diǎn)是組成幾何圖形的基本要素，本題在處理面積問題時化圖形為線段，化線段為點(diǎn)，較好地闡釋了“化歸思想”在面積問題中的運(yùn)用，進(jìn)而合理使用數(shù)學(xué)方法解決問題這也是初中階段培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的基本要求.在日常教學(xué)中對于“化歸思想”的運(yùn)用不能僅僅局限于思想的表述或者總結(jié)，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生細(xì)化至某一類問題的“化歸方向”，使學(xué)生有徑可循，有法可依.