尺規(guī)作圖連接兩距離過遠的點的方法

于悅海 周 正 李晗菲 于茗雅 李佳恒

(北京一零一中學(xué)初三7班 100091)

數(shù)學(xué)課上我們碰到了這樣的問題：

問題黑板上兩個點A，B，距離大于直尺或三角板的最長邊，如何用尺規(guī)作圖把A，B兩點用直線連起來？

首先，我們需要確定幾種位置關(guān)系的作法：

引理1 任兩點連線段的垂直平分線(中點)

圖1

引理2 作任一角的平分線

圖2

特別地，作180°角的角平分線即過角的頂點作角兩邊所在直線的垂線．(留給讀者一個問題，如何過直線l外一點作直線l的垂線？如果這點與直線的距離大于圓規(guī)的最大半徑呢？)

引理3 過直線l外一點P作直線l的平行線

圖3

如圖3，在直線上任意取A，B兩點，以B為圓心，AP長為半徑畫弧，以P為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點C、D，連接PC，PC即為所求的直線的平行線．如果這點與直線的距離大于圓規(guī)的最大半徑，則可重復(fù)此作法作與點P距離較小的平行線，直至尺規(guī)足夠作出已知直線的平行線的過點P的平行線．

下面給出三種尺規(guī)作法和一種近似作法：

作法1中心對稱法

圖4

如圖4，過點A作兩條射線使得兩條射線都足夠接近點B并且點B在兩條射線之間(如何作到盡量接近？)，借助引理3，過點B作這兩條線的平行線，得到平行四邊形AMBN．在四條射線取四個點C，D，E，F(xiàn)使得AC=AD=BE=BF(使C，D，E，F(xiàn)的距離盡量小，以至用尺子或圓規(guī)可以夠到)．連接CD，EF．容易看出△CAD?△FBE．

圖5

易證，△CAD與△FBE關(guān)于AB的中點Q成中心對稱，于是連接對應(yīng)點CF，DE，交點即為對稱中心Q(成中心對稱的兩個圖形對應(yīng)點連線段一定經(jīng)過對稱中心且被對稱中心平分)．于是問題轉(zhuǎn)化為連AQ，BQ.若AQ距離依然過大以至于無法連接，即重復(fù)上面的方法即可．

所需工具：引理3，中心對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)．

類似作法：如圖5，只作一組平行線AC，BF，截取AC=BF，連CF，CF的中點Q即為AB的中點．這樣需要再借助引理1．

作法2矩形對角線法

圖6

如圖6，過A作一條射線AM盡量接近B，利用平行線的作法作出過B的這條線的平行線BN，借助引理2過A作BN的垂線，過B作AM的垂線．此時四邊形AMBN為矩形(有三個角都是90°)．借助引理1作AM，BN的中點C，D并連接CD．作CD的中點Q，分別連接AQ，BQ即可．(證明Q為矩形對角線方法的過程見圖7)

圖7

如圖，M、N分別是AD，BC中點，Q是MN中點

證Q是矩形ABCD對角線交點

過Q作PR∥AD，交AB于P，DC于R.

∴四邊形AMPQ，DMQR，BNQP，CNQR都是矩形

∴MQ=NQ=AP=BP=DR=CR

∴PR垂直平分AB，CD.

∴AQ=BQ=CQ=DQ

設(shè)∠AOB為x,∠COB為y

則∠ACD=∠CDB=y,∠CAD=∠AOB=x

∵x+y=90°

∴2x+2y=180°

∴(180°-2x)+(180°-2y)=180°

即∠AQC=180°

∴Q在AC上，同理Q也在BD上

∴Q在對角線交點上

所需工具：引理3，矩形判定及性質(zhì)，引理1．

作法3中位線法

圖8

如圖8，分別過A，B作兩條射線，兩條射線交于C，由引理1作AC，BC中點，記為M，N，連接MN，則MN是三角形ABC〗的中位線，此時只需由引理3過B作MN的平行線并延長即可連接AB．(留給讀者一個問題，如果M，N距離大到無法連接呢？)

所需工具：引理1，中位線定理，引理3．

作法4一次函數(shù)近似作圖法(不屬于尺規(guī)作圖)

圖9

如圖9，以點A為原點建立坐標系，由引理2，過點B分別向x軸，y軸作垂線，點B的坐標可在坐標軸上近似讀出為(m，n)．將(m，n)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx，將一次函數(shù)(正比例)解析式求出，畫出一次函數(shù)圖象即可．

所需工具：引理2，一次函數(shù)．