對(duì)一道中考?jí)狠S題的溯源、多解與思考

杭 靜 陳德前

(1.江蘇省興化市板橋初級(jí)中學(xué) 225700;2.江蘇省興化市教育局教研室 225700))

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，,邊長(zhǎng)為a(a為大于0的常數(shù))的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O)，頂點(diǎn)C、D都在第一象限．(1)當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求證：無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；(3)設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由．

二、設(shè)計(jì)溯源

看到這道試題，我們不禁聯(lián)想到蘇科版教材七年級(jí)下冊(cè)第149頁(yè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的內(nèi)容和八年級(jí)上冊(cè)第59頁(yè)的第11題：畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC.

(1)把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊分別于OA、OB相交于點(diǎn)E、F(如圖2①)，度量PE、PF的長(zhǎng)度，這兩條線段線段嗎？

(2)把三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)(如圖2②)，PE與PF相等嗎？證明你的結(jié)論．

三、多解呈現(xiàn)

(2)解法1：∵ 四邊形ABCD是正方形，∴∠APB=90°，PA=PB．取AB的中點(diǎn)M，連接PM、OM，如圖3.∵∠APB=∠AOB=90°，∴BM=AM=OM=PM，即A、O、B、P四點(diǎn)共圓，∴∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB.

解法2：∵ 四邊形ABCD是正方形，∴∠APB=90°，PA=PB．取AB的中點(diǎn)M，連接PM、OM，如圖3，∵∠APB=∠AOB=90°，∴BM=AM=OM=PM，即A、O、B、P四點(diǎn)共圓，∴∠AOP=∠ABP=45°；同理∠BOP=45°，即OP平分∠AOB.

解法3：如圖4，過點(diǎn)P作PE⊥OP，交x軸于點(diǎn)E.∵∠APB=∠AOB=90°，∴∠PBO+∠PAO=180°，而∠PAE+∠PAO=180°，∴∠PBO=∠PAE；由∠APB=∠OPE=90°，有∠OPB=∠APE；又PB=PA，∴△PBO≌△PAE，∴PO=PE，得∠POA=45°，∴OP平分∠AOB.

解法4:如圖4，在OA的延長(zhǎng)線上截取AE=BO，連接PE.∵∠APB=∠AOB=90°，∴∠PBO+∠PAO=180°，而∠PAE+∠PAO=180°，∴∠PBO=∠PAE；又PB=PA，∴△PBO≌△PAE，∴PO=PE，∠BPO=∠APE，∴∠OPE=90°，∠POA=45°，∴OP平分∠AOB.

解法5：∵ 四邊形ABCD是正方形，∴∠APB=90°，PA=PB．將△PBO繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°到△PAE的 位置.∵∠APB=∠AOB=90°，∴∠PBO+∠PAO=180°，∴∠PAE+∠PAO=180°，∴點(diǎn)E在OA的延長(zhǎng)線上，如圖4，∴∠OPE=∠APB=90°．

山東省濟(jì)寧市魚臺(tái)縣王廟鎮(zhèn)棉花種植面積有5萬(wàn)多畝，郝集村的劉磊今年種植了不少畝棉花，為了準(zhǔn)確把握棉花各生育期生長(zhǎng)特點(diǎn)及需肥規(guī)律，驗(yàn)證云天化復(fù)合肥在棉花種植中所展現(xiàn)的效果是否能滿足植物生長(zhǎng)所需的營(yíng)養(yǎng)，待試驗(yàn)結(jié)束后對(duì)照試驗(yàn)用肥量、用肥成本、用肥肥效、棉花產(chǎn)量等綜合因素下，云天化復(fù)合肥同其他廠家的肥料的優(yōu)缺對(duì)照，云天化工作人員選擇了劉磊家的棉花作為對(duì)照試驗(yàn)的樣本，想通過田間試驗(yàn)，總結(jié)出一套適合棉花生長(zhǎng)全程營(yíng)養(yǎng)解決方案，為云天化復(fù)合肥做好技術(shù)服務(wù)指導(dǎo)，提高云天化復(fù)合肥的影響力。

由PO=PE，有∠POA=45°，∴OP平分∠AOB.

解法7：如圖6，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，交射線OP于點(diǎn)F.同證法6可知△ABO≌△DAE，∴BO=AE，OA=DE；再由BO與EF平行，有∠POB=∠F，又∠OPB=∠FOD，∴△PBO≌△PDF，∴BO=DF，∴OE=OA+AE=DE+OB=DE+DF=EF，∴∠FOE=45°，∴OP平分∠AOB.

解法8：如圖6，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E.同證法6可知△ABO≌△DAE，∴BO=AE；連接PE，∵∠APB=∠AOB=90°，∴∠PBO+∠PAO=180°，而∠PAE+∠PAO=180°，∴∠PBO=∠PAE；又PB=PA，∴△PBO≌△PAE，∴PO=PE，∴∠BPO=∠APE，∴∠OPE=90°，∠POA=45°，∴OP平分∠AOB.

解法9：如圖7，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，過點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足分別為E、F.可證△PEA≌△BFP，得PE=BF，又BF=OE，∴PE=OE，得∠POE=45°，∴OP平分∠AOB.

解法10：如圖8，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，DE與FC交于點(diǎn)H.易知四邊形OEFH是矩形；∵AB=AD，∠ABO=∠DAE，∴Rt△ABO≌Rt△DAE，∴BO=AE，AO=DE，同理，Rt△ABO≌Rt△BCF，∴OA=BF，∴OE=OF，∴四邊形OEFH是正方形，∴DH=BD.連接PH，可證△PBO≌△PDH，∠BPO=∠DPH，∴O、P、H在同一直線上，∴OP平分∠AOB．

理由5：過P作PM⊥x軸于M, 如圖11①.

四、教學(xué)思考

要想順利地解決壓軸題,在復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們必須加強(qiáng)以下幾方面的工作:

1.重基礎(chǔ).要重視知識(shí)的基礎(chǔ)性、全面性，切實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法,做到概念清晰無(wú)誤,運(yùn)算熟練準(zhǔn)確,思路簡(jiǎn)捷有序.要構(gòu)建完整的知識(shí)體系，讓各種概念、定理、公式、常用結(jié)論及解題方法，都能在頭腦中再現(xiàn)，象本題的求解中用到的點(diǎn)的坐標(biāo)、特殊角的三角函數(shù)值、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定、中位線定理、函數(shù)解析式的求法、面積法等都是初中階段重要而基礎(chǔ)的知識(shí)，務(wù)必要切實(shí)掌握，只有這樣，才能在解題時(shí)得心應(yīng)手，游刃有余.

2. 優(yōu)思維.要優(yōu)化思維品質(zhì)，努力培養(yǎng)思維的深刻性、廣闊性、靈活性、批判性.思維深刻、批判能力強(qiáng)的同學(xué)，解題時(shí)不會(huì)一有了解題思路就迫不及待地動(dòng)筆解答，而是廣開思路，尋找最優(yōu)的解法.如在第(2)小題的解決過程中要從圖形中去尋找有關(guān)信息，思考簡(jiǎn)便解法.這樣做雖然分析問題的過程拉長(zhǎng)了，但落筆做題的時(shí)間卻大大縮短了，真正起到了事半功倍的效果.

3．提能力.要發(fā)展探究能力，掌握重要的思維方式.目前數(shù)學(xué)開放型試題的研究已成為中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)問題，如第(3)小題，研究開放探索型問題，給我們提供了自主探索的機(jī)會(huì).要順利解決開放探索型問題，就要關(guān)注數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，掌握常用的思維方式，提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能分析問題與解決問題及獲取信息的能力.要全身心的參與探究活動(dòng)的全過程，在觀察、實(shí)驗(yàn)的活動(dòng)中，通過比較、分析、歸納、類比、抽象等思維活動(dòng)，獲取數(shù)學(xué)猜想再進(jìn)行說理，創(chuàng)造性地解決有關(guān)開放探索型問題.