海市蜃樓形成的理論分析與實(shí)驗(yàn)?zāi)M再現(xiàn)

黃思俞，許艷秋，王宗箎，鄭冬梅，肖波齊

(三明學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 三明 365004)

在平靜的海面或沙漠上方，有時(shí)會出現(xiàn)城市建筑、亭臺樓閣、山水湖泊等自然景觀，這是由于光線在密度分布不均勻的大氣中傳播時(shí)，產(chǎn)生折射或全反射形成的上現(xiàn)蜃景或下現(xiàn)蜃景的海市蜃樓. 上現(xiàn)蜃景的出現(xiàn)是由于大氣的密度隨著高度的增加逐漸減小，折射率n也形成了隨高度的增加逐漸減小的梯度變化[1-4]. 例如，夏季在平靜的海面或湖面上，由于海水的蒸發(fā)，距離海面較近的地方大氣濕度大，密度也大，折射率n也就大，有可能在海面上出現(xiàn)上現(xiàn)蜃景的海市蜃樓. 下現(xiàn)蜃景的海市蜃樓恰好相反，主要出現(xiàn)在干旱的熱天，由于地面的溫度很高，貼近地面的氣體密度更小，氣體更稀薄，在距離地面的一定高度內(nèi)，氣體密度隨高度的增加逐漸變大，折射率n形成了隨高度的增加逐漸增大的梯度變化[5-6]. 例如，炎熱的夏季，在沙漠、戈壁灘等地方出現(xiàn)下現(xiàn)蜃景的海市蜃樓；在平直的高速公路上行車時(shí)，也經(jīng)常會看到前方遠(yuǎn)處貼近柏油路面上出現(xiàn)遠(yuǎn)方山峰縮小正立像的下現(xiàn)蜃景.

關(guān)于海市蜃樓的形成原因，很多文獻(xiàn)都利用分層折射率的方法進(jìn)行分析. 光線經(jīng)過多次折射，入射角不斷增大，最后出現(xiàn)全反射改變光路方向[7-9]. 為更好地研究和分析海市蜃樓的形成原因，本文將以海市蜃樓中的上現(xiàn)蜃景為例，分別利用費(fèi)馬原理和光學(xué)拉格朗日方程進(jìn)行推導(dǎo)，得到大氣中光線傳播的軌跡方程，對海市蜃樓的形成原因進(jìn)行分析，并利用濃液法對海市蜃樓中的上現(xiàn)蜃景進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M再現(xiàn).

1 海市蜃樓形成的理論分析

1.1 根據(jù)費(fèi)馬原理推導(dǎo)大氣中光線傳播的軌跡方程

當(dāng)光線從空間某一點(diǎn)P經(jīng)過路徑C到達(dá)Q點(diǎn)，所經(jīng)過空間的折射率分布為n(x,y,z)時(shí)，在路徑中的任一處取一光線軌跡的路程元ds，如圖1所示，光線所經(jīng)過的光程定義為[10]

圖1 分層折射率法光線的折射全反射光路曲線和理論推導(dǎo)大氣中光線傳播的軌跡方程曲線

根據(jù)費(fèi)馬原理光線將沿著2點(diǎn)之間的光程為極值的路線傳播，因而有

(1)

由于對稱性只需討論光線在豎直平面xoz內(nèi)的傳播，在光線傳播平面中x是水平方向，z是與x垂直的豎直方向(高度)，并假設(shè)大氣的折射率n只是高度z的函數(shù)，因而式(1)變?yōu)?/p>

(2)

由式(2)得

令

(3)

整理得

因而

(4)

將式(3)代入式(4)有

(5)

整理式(5)得光線在大氣中傳輸?shù)能壽E微分方程[11]為

(6)

假設(shè)折射率隨高度變化規(guī)律成指數(shù)關(guān)系n=n0e-αz，其中n0是底層空氣的折射率，α是正的系數(shù)，由式(6)得

分離變量并積分

(7)

整理式(7)得光線在大氣中傳輸?shù)能壽E方程

(8)

式(8)中α,n0,k,c取合適的常量. 根據(jù)(8)式得到向上凸的拋物線.

1.2 利用光學(xué)拉格朗日方程推導(dǎo)大氣中光線傳播的軌跡方程

設(shè)空氣折射率隨高度變化為n=n0e-αz，由光學(xué)拉格朗日關(guān)系得到光線方程為[12]

在近軸情況下ds≈dx，光線方程變?yōu)?/p>

由于對稱性，只需討論光線在xoz平面內(nèi)的傳播，其中x是光線傳播平面中與z垂直的水平方向，光線方程變?yōu)?/p>

(9)

解式(9)二次微分方程得

(10)

2 海市蜃樓的實(shí)驗(yàn)?zāi)M再現(xiàn)

2.1 濃液法模擬上現(xiàn)蜃景的實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置主要由透明玻璃水箱、開窗金屬箱殼、載物臺、實(shí)景物、激光筆、射燈等組成，如圖2所示. 配置好的NaCl水溶液放置在透明玻璃水箱中，側(cè)面觀察窗可以觀察NaCl質(zhì)量分?jǐn)?shù)變化和激光光路，正面通過觀察窗可以觀察放置在載物臺上的實(shí)景物及上現(xiàn)蜃景. 射燈照亮實(shí)景物有利于上現(xiàn)蜃景的觀察.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置

2.2 配制純凈的NaCl水溶液

NaCl水溶液由食用鹽配制而成，由于市面上購買的食鹽中含有較多雜質(zhì)，如果不去除雜質(zhì)，會導(dǎo)致配制的NaCl水溶液變渾濁，不利于實(shí)驗(yàn)觀察. 因此用濾紙對食鹽水溶液進(jìn)行過濾，經(jīng)過濾的NaCl水溶液變的更清澈透明.

2.3 形成平穩(wěn)NaCl水溶液和清水的交界面

2.3.1 紗網(wǎng)框的制作

紗網(wǎng)框在折射率梯度變化的NaCl水溶液形成中起著重要的作用. 在向裝了半箱NaCl水溶液的透明玻璃箱里注入清水時(shí)，紗網(wǎng)可以減少水流對溶液的沖擊和擾動(dòng)，讓NaCl水溶液和清水層間形成清晰平穩(wěn)的分界面. 紗網(wǎng)框?qū)嵨锶鐖D2(b)所示，用細(xì)木條釘比玻璃箱內(nèi)壁尺寸略小的方框，框內(nèi)縫了3層紗布. 中間一層紗布的紋路傾斜著縫，是為了預(yù)防所有的網(wǎng)孔都疊加在一起，形成相同的孔隙，清水直接快速滲漏下去，沖擊液面. 由于細(xì)木條本身要承受3層紗網(wǎng)的重力，其浮力不足以支撐整個(gè)紗網(wǎng)框的重力，浮在液面上. 因此在木條上增加泡沫塑料，增加浮力.

2.3.2 NaCl水溶液和清水的注入

將質(zhì)量分?jǐn)?shù)約為20%的 NaCl水溶液過濾后，緩慢倒入裝在金屬箱殼內(nèi)的透明玻璃箱中，液面高度約為箱體高度的一半. 再將蓋上1層濾紙的紗網(wǎng)框輕輕放入，紗網(wǎng)框浮在液面上，如圖2(c)所示. 在紗網(wǎng)框上鋪上1層濾紙，能夠更好地減少清水注入時(shí)對NaCl水溶液的沖擊和擾動(dòng). 待NaCl水溶液穩(wěn)定平靜后，利用虹吸法緩慢注入清水(用市面上出售的大桶引用水代替)，隨著清水的注入紗網(wǎng)框也跟著向上浮. 當(dāng)清水加注到90%時(shí)停止注水，輕輕拿開紗網(wǎng)框，看到NaCl水溶液和清水之間形成了清晰的分界面，如圖2(a)所示. 與之前文獻(xiàn)報(bào)道的“保鮮膜法”相比，克服了在抽出保鮮膜時(shí)對NaCl水溶液和清水交界面或多或少的擾動(dòng)，破壞分界面的穩(wěn)定，影響NaCl水溶液均勻梯度的形成.

2.4 均勻折射率梯度變化的NaCl水溶液形成與光路觀察

注入完清水后，NaCl水溶液和清水之間形成了清晰的分界面，隨著時(shí)間的增加NaCl會向清水層自由擴(kuò)散. 由于在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中實(shí)驗(yàn)臺包括箱體都保持靜止，因此自由擴(kuò)散進(jìn)行得較緩慢，并且從分界面均勻地向上層的清水?dāng)U散. 自由擴(kuò)散進(jìn)行一定時(shí)間后，在豎直方向就會出現(xiàn)NaCl溶液質(zhì)量分?jǐn)?shù)的梯度變化，溶液的折射率也成梯度變化. 溶液中質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度的大小也再隨著時(shí)間的增加而變化，這種變化過程持續(xù)的時(shí)間長達(dá)十幾個(gè)小時(shí)，直到箱中液體的質(zhì)量分?jǐn)?shù)處處相同為止. 圖3分別是清水注入后2 h和6 h激光穿過液體光路發(fā)生彎曲的情況,可以看到經(jīng)過6 h自由擴(kuò)散的溶液對激光光路的彎曲幅度，要比經(jīng)過2 h自由擴(kuò)散的溶液對激光光路的彎曲幅度更大. 說明經(jīng)過6 h自由擴(kuò)散的溶液質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度更大，折射率梯度也更大.

(a)清水注入后2 h (b)清水注入后6 h圖3 清水注入不同時(shí)間激光穿過溶液的彎曲情況

圖3激光穿過溶液的光路和圖1光線在大氣中傳播的軌跡方程曲線，它們都是向上凸的拋物線，說明理論推導(dǎo)的軌跡方程與模擬實(shí)驗(yàn)相符.

2.5 海市蜃樓的再現(xiàn)與觀察

圖4(a)是剛注好清水后從觀景窗觀察的景象. 圖中有3個(gè)像，最上面的倒立像是實(shí)景物光線在清水液面反射的像，中間的倒立像是實(shí)景物光線在NaCl水溶液和清水之間形成的分界面反射的像，最下面正立的像是實(shí)景物光線沿水平方向直接透過溶液的像. 由于此時(shí)并未形成NaCl水溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度，因此未出現(xiàn)上現(xiàn)蜃景像. 圖4(b)是注好清水2 h后從觀景窗觀察的景象. NaCl水溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度逐漸形成，中間比圖4(a)中多了1個(gè)正立的像(從上往下數(shù)第2個(gè))，即上現(xiàn)蜃景的像，由于NaCl擴(kuò)散層還比較薄所以像較矮較模糊. 同時(shí)看到中間的倒立像變模糊了，是由于NaCl水溶液和清水之間形成的分界面隨著自由擴(kuò)散的進(jìn)行變得不清晰，導(dǎo)致其反射像變模糊的緣故. 圖4(c)是注好清水6 h后從觀景窗觀察的景象. NaCl水溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)梯度完全形成，并且已接近最大值，NaCl水溶液和清水之間的分界面完全消失，反射像也消失，正立的上現(xiàn)蜃景像最清晰. 畫面中又只剩3個(gè)像，即最上面的液面反射倒立像、中間的上現(xiàn)蜃景像和最底下實(shí)景物光線沿水平方向直接透過溶液的像.

(a) 0 h (b) 2 h (c) 6 h圖4 不同時(shí)間從觀景窗觀察上現(xiàn)蜃景海市蜃樓

3 結(jié)束語

以上現(xiàn)蜃景為例，分別根據(jù)費(fèi)馬原理和利用光學(xué)拉格朗日方程進(jìn)行推導(dǎo)，得到光線在大氣中傳輸?shù)能壽E方程. 2個(gè)方程雖然形式上不同，但方程描繪的都是一系列向上凸的曲線，分析說明了上現(xiàn)蜃景海市蜃樓的形成原因. 最后利用濃液法對海市蜃樓中的上現(xiàn)蜃景進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)?zāi)M再現(xiàn). 實(shí)驗(yàn)過程中采用紗網(wǎng)框上浮法注入清水，有效地減少了注入清水時(shí)對溶液的沖擊和擾動(dòng)，得到了清晰平穩(wěn)的NaCl水溶液和清水分界面. 成功配制了折射率n隨高度均勻梯度變化的NaCl水溶液，觀察到了實(shí)景物清晰穩(wěn)定的上現(xiàn)蜃景像，順利完成了上現(xiàn)蜃景海市蜃樓的實(shí)驗(yàn)?zāi)M再現(xiàn).