二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的Hermite型矩形元的超收斂分析

王萍莉,牛裕琪,趙艷敏,王芬玲,史艷華

(許昌學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 許昌461000)

1.引言

本文考慮如下二維時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(TFDE)

其中? ?R2是x-y平面上具有Lipschitz連續(xù)邊界??的有界凸區(qū)域,u0(x,y)和f(x,y,t)是給定的適當(dāng)光滑函數(shù),為Caputo導(dǎo)數(shù),其定義如下

其中Γ(·)是Gamma函數(shù).

分?jǐn)?shù)階偏微分方程(FPDEs)是傳統(tǒng)模型的擴(kuò)展,基于分?jǐn)?shù)微積分的定義發(fā)展起來的，因而根據(jù)定義的方式通常分為時(shí)間分?jǐn)?shù)階,空間分?jǐn)?shù)階及時(shí)空分?jǐn)?shù)階偏微分方程.隨著FPDEs的不斷發(fā)展,可以發(fā)現(xiàn)其在越來越多的領(lǐng)域內(nèi)均有重要的應(yīng)用[1?4],故而人們對(duì)其日益重視.從分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義知道其具有非局部性質(zhì),因而相對(duì)于整數(shù)階方程來說,分?jǐn)?shù)階偏微分方程在聲波衰減,物質(zhì)記憶及遺傳性質(zhì),連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走過程等方面具有更明顯的優(yōu)勢(shì).但對(duì)于大多數(shù)FPDEs來說,尋找它們的解析解比較困難,因而尋找其有效的數(shù)值求解方法成了眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一.針對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程(TFPDEs)的數(shù)值方法大致分為直接數(shù)值算法和間接數(shù)值算法.早期關(guān)于TFPDEs的處理常常采用間接方法,將其轉(zhuǎn)化為積分微分方程進(jìn)行求解[5?6].直接方法是對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行直接逼近的數(shù)值方法[7?9],由于直接方法實(shí)施起來較直接簡(jiǎn)便,因而深受研究者的關(guān)注,其中最常見的一種格式即為L(zhǎng)1逼近方法.

關(guān)于TFPDEs人們研究了多種數(shù)值求解方法,如文[1,8,10-11]中考慮了其有限差分方法,文[12-13]中采用了譜方法,文[15-21]考慮了其有限元方法,除此之外還有許多其他的數(shù)值求解方法[22?23].關(guān)于有限元方法,在整數(shù)階偏微分方程方面我們己有些研究成果[24?32].其中文[24-25]分別研究了Hermite型矩形元対?rùn)E圓方程及廣文神經(jīng)傳播方程的高精度分析,均得到了超逼近結(jié)果.文[29]中提出了Ritz投影與插值算子相結(jié)合的技巧,同時(shí)該技巧也被應(yīng)用于其他方程[31?32],也得到較為理想的結(jié)果.

本文在空間和時(shí)間部分分別采用Hermite型矩形有限元方法及L1逼近格式,針對(duì)TFDE 建立了一個(gè)無條件穩(wěn)定的全高散逼近格式,利用投影與插值算子相結(jié)合的技巧,并巧妙的處理分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)其進(jìn)行了高精度數(shù)值逼近.首先,利用L1逼近的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明了其逼近格式的穩(wěn)定性; 其次,基于Hermite型矩形元的積分恒等式結(jié)果,建立了插值和Ritz投影之間在H1模意義下的超收斂分析; 進(jìn)而,利用插值與投影相結(jié)合,得到了超逼近結(jié)果; 最后,借助于插值后處理技術(shù)導(dǎo)出了整體超收斂結(jié)果.

2.單元構(gòu)造及全離散格式

設(shè)Γh是?上的一族正則的矩形剖分及任意K ∈Γh,設(shè)其四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為a1(?1,?1),a2(1,?1),a3(1,1),a4(?1,1),平行于x軸和y軸的邊分別為邊長(zhǎng)分別為2hx,K,2hy,K,記其中hK是單元K的最大直徑.設(shè)=[?1,1]×[?1,1]為平面ξ-η上的參考單元,記為的四個(gè)頂點(diǎn).我們定義有限元如下

則相應(yīng)的插值函數(shù)為

然后,我們定義相應(yīng)的有限元空間V h

并且,由文[24]可知,若u ∈H4(?),則有

全文中,C是一個(gè)不依賴于h和τ的常數(shù),在不同的地方可以取不同的值.

則(1.1)的變分形式為: 求u:(0,T]→H10(?)滿足

接下來,先將區(qū)間[0,T]分成N個(gè)相等的子區(qū)間: 0=t0< t1< ··· < tN=T,時(shí)間步長(zhǎng)為τ=T/N且tn=nτ,n=0,1,··· ,N.對(duì)(0,T]上的光滑函數(shù)φ,定義

其中

由于bnk=[(n ?(k ?1))1?α?(n ?k)1?α]?[(n ?k)1?α?(n ?(k+1))1?α]和φ(k)=(n ?k)1?α?(n ?(k+1))1?α在0

基于Hermite型矩形元和L1法,則(2.2)的全離散逼近格式為: 對(duì)于給定的Un?1,求Un∈V h滿足

其中Rh:H10(?)→Vh是Ritz投影算子,定義如下

并且,根據(jù)文[33],有

3.穩(wěn)定性,超逼近和超收斂分析

本節(jié)中,我們將研究全離散格式的穩(wěn)定性,并給出相應(yīng)的超逼近和超收斂結(jié)果.

首先我們給出定理3.1,它表明全離散格式是無條件穩(wěn)定的.

定理3.1設(shè)Un為(2.4)的解,則有

其中C1=max{Γ(2?α),(1?α)?1Tα}.

證在(2.4)中令vh=Un,則有

注意到DαtUn的定義,可得

利用Cauchy-Schwarz不等式及(3.3),并注意到∥?Un∥20≥0,bnk<0(0≤k

即有

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明(3.1)式成立.當(dāng)n=1時(shí),注意到?b10=1,由(3.4)式可得

定理成立.

假設(shè)n ≤s時(shí)定理成立,下證n=s+1時(shí)定理成立.

定理3.1得證.

其次,基于分析需要,我們先給出下面幾個(gè)引理.

引理3.1對(duì)任意的u ∈H10(?)∩H4(?),有∥Rhu ?Ihu∥1≤Ch3∥u∥4.

證注意到(2.1)和(2.5)式,易得

再利用H10(?)空間中的模等價(jià)關(guān)系,引理3.1得證.

引理3.2[7]設(shè)φk≥0(k=1,···),φ0=0,γ >0,其滿足則有

引理3.3[17]設(shè)為?上的一序列函數(shù),可得

為了得到超逼近和超收斂結(jié)果,我們首先給出一些記號(hào)和誤差方程.記聯(lián)立(2.2)和(2.4),我們可得如下誤差方程

定理3.2設(shè)un,Un分別為(2.2)和(2.4)在t=tn時(shí)刻的解.對(duì)任意的t ∈(0,T],若u(x,y,t)∈H4(?),ut(x,y,t)∈H3(?),utt(x,y,t)∈L2(?),以及任意的正整數(shù)1≤n ≤N,則有

證在(3.5)中,令vh=θn,則有

注意到(2.5),可知(?ρn,?θn)=0,因此我們有

借助于Dαtθn的定義,我們得到如下等式

由引理3.3可得

由Cauchy-Schwarz不等式及(2.3),(3.9)式右端的第二項(xiàng)可以估計(jì)為

由引理3.2,上式則得

利用(2.6)和(3.13),可得L2意義下的最優(yōu)誤差估計(jì)

接下來,為了估計(jì)∥θn∥1,我們?cè)?3.5)中令vh=Dαtθn,則有

利用引理3.3,(3.15)的左端可變形為

對(duì)(3.15)右端的每一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).

由Cauchy-Schwarz不等式和(2.6),我們有

由投影的定義，可得

由(2.3),則有

利用引理3.2和上式,我們可得到超逼近結(jié)果

由(3.13)和(3.20),則有

由引理3.1和(3.21)及三角不等式,易得

又借助于上式及插值性質(zhì),可得

定理3.2得證.

為了得到整體超收斂，我們將相鄰的九個(gè)單元合并成一個(gè)大單元,且定義插值算子滿足

其中,Q3為雙三次的多項(xiàng)式空間,C(ˉe)為ˉe的連續(xù)函數(shù)空間,Zi,i=1,2,··· ,16,為這九個(gè)單元的所有頂點(diǎn).

引理3.4[24]設(shè)u ∈H4(?),則上述定義的插值算子滿足

其中Sh3為雙三次有限元空間.

定理3.3在定理3.2的條件下，我們有

證根據(jù)定理3.2及(3.23)-(3.25)得

則定理得證.