函數(shù)中“解析式”、“表格”、“圖象”的三位一體教學(xué)

侍書麗

(江蘇省蘇州國際外語學(xué)校 213151)

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：一是“以數(shù)解形”，二是“以形助數(shù)”.初中數(shù)學(xué)的函數(shù)教學(xué)中，畫函數(shù)圖象是函數(shù)中數(shù)形結(jié)合思想的正式開始，這一思想有一個要求是函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，所以教學(xué)目標是讓學(xué)生達到見“數(shù)”腦中就要有“形”，見“形”腦中就要有“數(shù)”的境界，即實現(xiàn)函數(shù)教學(xué)中“解析式”、“表格”、“圖象”的三位一體.

一、在初學(xué)函數(shù)圖象的畫法時精心設(shè)計能搭建三者關(guān)系的問題

一次函數(shù)圖象的畫法是學(xué)生第一次學(xué)習，他們的認知基礎(chǔ)是小學(xué)學(xué)習的折線統(tǒng)計圖，如何實現(xiàn)從解析式到圖象的轉(zhuǎn)換呢？我對畫圖三部曲“列表——描點——連線”是這樣思考的：

案例畫函數(shù)y=2x+1的圖象.

(1)精設(shè)問——所設(shè)問題具有啟發(fā)性，引出下一環(huán)節(jié)

針對函數(shù)關(guān)系式，設(shè)計這樣的三個問題：(1)兩個變量可以取哪些數(shù)，即取值范圍是什么？(2)對自變量x每取一個值，對應(yīng)函數(shù)值y與之有怎樣的數(shù)量關(guān)系？即對自變量x每取一個值，對應(yīng)函數(shù)值y都比x的2倍大1；(3)如果將x取的每一個值與對應(yīng)的y的值形成一對有序數(shù)對，會想到什么？即平面直角坐標系中有序數(shù)對與點的關(guān)系.

(2)巧過渡——每一環(huán)節(jié)都有其各自的作用，但又相互聯(lián)系，所以過渡要自然

緊接上面的第三問指出：每一個有序數(shù)對如何體現(xiàn)呢？數(shù)學(xué)中，表格最能體現(xiàn)兩個量之間的關(guān)系.特別注意的是：列表絕不僅僅是畫圖的一個工具，還是“以數(shù)解形”的良好鋪墊，故列好表不用急著畫圖，而是要“駐足”看一看表格中到底蘊含著什么規(guī)律？是否有解析式所看不到的東西？

x…-3-2-10123…y…-5-3-11357...

(3)慢思索——每一個結(jié)論都要通過探索得到，要能水到渠成

①除了表格兩端的省略號表示還有無數(shù)有序數(shù)對沒能體現(xiàn)以外，一定要讓學(xué)生明白，其實每兩個整數(shù)之間也有無數(shù)有序數(shù)對沒能體現(xiàn)，這樣才能解釋畫出的圖象為何是線.

②每一個有序數(shù)對除了y是x的2倍加1外，還要能發(fā)現(xiàn)x每增加1，y便增加2.這是為什么呢？是解析式中哪個量引起的呢？這里要讓學(xué)生去思考并發(fā)現(xiàn)，是由比例系數(shù)k決定的，若函數(shù)解析式是y=3x+1則表示x每增加1，y便增加3，學(xué)生這時會想，若是y=-2x+1呢？這樣做有三個好處：Ⅰ.圖象的兩類不同趨勢就自然在腦中形成了，無需依靠畫一批函數(shù)圖象通過觀察歸類而得到，學(xué)生多了一層探索和理解，緊緊抓住了問題的本質(zhì)；Ⅱ.以后有一類題是給出表格中數(shù)據(jù)，如何判斷是學(xué)過的哪一類函數(shù)，學(xué)生便可依靠x每增加某相同的單位，y也增加或減少另外的某相同的單位來判斷是一次函數(shù)；Ⅲ.比例系數(shù)|k|可以通過算tanα(其中α是直線與x軸的夾角即坡角)的值來確定，既方便又準確.

③描點、連線過程中，描出第一個點，而準備描第二個點時，一定要讓學(xué)生體會x變大時，點便會向右移，而y變大時，點會上移，如此，x變大而y也同時變大時，點會朝右上方移動，這樣學(xué)生不難體會朝不同方向時，x、y是如何變化的，學(xué)生才會對增減性有一個系統(tǒng)性的認識.而且邊描點時要邊體會每兩個點都是網(wǎng)格中“橫1×豎2”的長方形對角上的兩個點，這樣才會讓學(xué)生對圖象是一條直線心服口服.

上面的案例說到底就是講究一個“慢”字和“探”字，著名教育家約翰杜威指出：““慢而穩(wěn)”才能使印象較為沉著，思維較為深澈，問題感覺得深，思維才能滲透得切，任何教學(xué)，僅為報表記憶、夸示嫻熟等，而把問題輕輕掠過，不去深刻思維的都違反了真正的思維訓(xùn)練的方法.”大多數(shù)老師這三步進行的是很快的，因為還要畫更多的圖，然后通過所畫的圖象總結(jié)相關(guān)的性質(zhì)，然而我在這一“慢”一“探”中，所有的性質(zhì)不僅全部形成，而且都是在理解的基礎(chǔ)上形成，學(xué)生的思維得到了發(fā)散和深入，一幅圖可見無數(shù)圖，即見樹木亦見森林.

二、在一定認知基礎(chǔ)上畫圖時要仔細剖析和駐足觀察內(nèi)在聯(lián)系

我認為，只有實現(xiàn)函數(shù)教學(xué)中“解析式”、“表格”、“圖象”的三位一體，才能真正地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透；只有實現(xiàn)函數(shù)教學(xué)中“解析式”、“表格”、“圖象”的三位一體，才能更深入地探究復(fù)雜函數(shù)里的難點問題.例如：二次函數(shù)的左右平移問題，本可以通過畫一組函數(shù)圖象，可輕松看出平移的規(guī)律，但事實上，學(xué)生總是覺得奇怪，因為點在坐標系中移動時，若向右移動則點的橫坐標變大，而向左移動則點的橫坐標變小，那按理應(yīng)該是“左減右加”才對啊.通常老師只會向?qū)W生解釋說這兩者是不一樣的，或不厭其煩地再拿出畫的圖讓學(xué)生看，事實擺在面前嘛！為了解決這一問題，下面的案例我是這樣設(shè)計的：

案例畫出二次函數(shù)y1=x2與y2=(x+1)2的圖象.

(1)關(guān)系式所體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系可折射出點的位置關(guān)系

學(xué)生已經(jīng)有了畫圖的經(jīng)驗，是可以快速畫出來的，但是，在畫圖之前，我拋出了一個問題：當兩個函數(shù)值取相同的值(正數(shù))時，自變量x的取值有什么聯(lián)系？這個問題看似簡單，但一下子讓學(xué)生有了思考并發(fā)現(xiàn)：第二個函數(shù)自變量x的兩個取值分別比第一個的兩個小1，有了這個思考，其實已經(jīng)為后面的研究埋下伏筆，已經(jīng)能夠理解后面的結(jié)論了.

(2)表格所體現(xiàn)的點的位置關(guān)系可折射出圖象位置關(guān)系

所列表格如下：

x…-52-2-32-1-12012132252…y1…94114014194…y2…94114014194…

我國數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休！”結(jié)合上面的兩個案例，都足以說明函數(shù)關(guān)系式、表格和圖象之間成一一對應(yīng)的關(guān)系，這種一一對應(yīng)想要有機結(jié)合，需要我們一一去探究并通過設(shè)問架起搭在它們之間的橋梁，而不是在已經(jīng)完成了的“成品”上觀察歸納，這樣會使學(xué)生越來越把記結(jié)論變得理所應(yīng)當，而失去了學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，更失去了數(shù)學(xué)本身的意義了.