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    函數(shù)中“解析式”、“表格”、“圖象”的三位一體教學(xué)

    2019-06-27 00:57:18侍書麗
    數(shù)理化解題研究 2019年15期
    關(guān)鍵詞:序數(shù)畫圖圖象

    侍書麗

    (江蘇省蘇州國際外語學(xué)校 213151)

    數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老,也是最基本的研究對象,它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合包括兩個方面:一是“以數(shù)解形”,二是“以形助數(shù)”.初中數(shù)學(xué)的函數(shù)教學(xué)中,畫函數(shù)圖象是函數(shù)中數(shù)形結(jié)合思想的正式開始,這一思想有一個要求是函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合,所以教學(xué)目標是讓學(xué)生達到見“數(shù)”腦中就要有“形”,見“形”腦中就要有“數(shù)”的境界,即實現(xiàn)函數(shù)教學(xué)中“解析式”、“表格”、“圖象”的三位一體.

    一、在初學(xué)函數(shù)圖象的畫法時精心設(shè)計能搭建三者關(guān)系的問題

    一次函數(shù)圖象的畫法是學(xué)生第一次學(xué)習,他們的認知基礎(chǔ)是小學(xué)學(xué)習的折線統(tǒng)計圖,如何實現(xiàn)從解析式到圖象的轉(zhuǎn)換呢?我對畫圖三部曲“列表——描點——連線”是這樣思考的:

    案例畫函數(shù)y=2x+1的圖象.

    (1)精設(shè)問——所設(shè)問題具有啟發(fā)性,引出下一環(huán)節(jié)

    針對函數(shù)關(guān)系式,設(shè)計這樣的三個問題:(1)兩個變量可以取哪些數(shù),即取值范圍是什么?(2)對自變量x每取一個值,對應(yīng)函數(shù)值y與之有怎樣的數(shù)量關(guān)系?即對自變量x每取一個值,對應(yīng)函數(shù)值y都比x的2倍大1;(3)如果將x取的每一個值與對應(yīng)的y的值形成一對有序數(shù)對,會想到什么?即平面直角坐標系中有序數(shù)對與點的關(guān)系.

    (2)巧過渡——每一環(huán)節(jié)都有其各自的作用,但又相互聯(lián)系,所以過渡要自然

    緊接上面的第三問指出:每一個有序數(shù)對如何體現(xiàn)呢?數(shù)學(xué)中,表格最能體現(xiàn)兩個量之間的關(guān)系.特別注意的是:列表絕不僅僅是畫圖的一個工具,還是“以數(shù)解形”的良好鋪墊,故列好表不用急著畫圖,而是要“駐足”看一看表格中到底蘊含著什么規(guī)律?是否有解析式所看不到的東西?

    x…-3-2-10123…y…-5-3-11357...

    (3)慢思索——每一個結(jié)論都要通過探索得到,要能水到渠成

    ①除了表格兩端的省略號表示還有無數(shù)有序數(shù)對沒能體現(xiàn)以外,一定要讓學(xué)生明白,其實每兩個整數(shù)之間也有無數(shù)有序數(shù)對沒能體現(xiàn),這樣才能解釋畫出的圖象為何是線.

    ②每一個有序數(shù)對除了y是x的2倍加1外,還要能發(fā)現(xiàn)x每增加1,y便增加2.這是為什么呢?是解析式中哪個量引起的呢?這里要讓學(xué)生去思考并發(fā)現(xiàn),是由比例系數(shù)k決定的,若函數(shù)解析式是y=3x+1則表示x每增加1,y便增加3,學(xué)生這時會想,若是y=-2x+1呢?這樣做有三個好處:Ⅰ.圖象的兩類不同趨勢就自然在腦中形成了,無需依靠畫一批函數(shù)圖象通過觀察歸類而得到,學(xué)生多了一層探索和理解,緊緊抓住了問題的本質(zhì);Ⅱ.以后有一類題是給出表格中數(shù)據(jù),如何判斷是學(xué)過的哪一類函數(shù),學(xué)生便可依靠x每增加某相同的單位,y也增加或減少另外的某相同的單位來判斷是一次函數(shù);Ⅲ.比例系數(shù)|k|可以通過算tanα(其中α是直線與x軸的夾角即坡角)的值來確定,既方便又準確.

    ③描點、連線過程中,描出第一個點,而準備描第二個點時,一定要讓學(xué)生體會x變大時,點便會向右移,而y變大時,點會上移,如此,x變大而y也同時變大時,點會朝右上方移動,這樣學(xué)生不難體會朝不同方向時,x、y是如何變化的,學(xué)生才會對增減性有一個系統(tǒng)性的認識.而且邊描點時要邊體會每兩個點都是網(wǎng)格中“橫1×豎2”的長方形對角上的兩個點,這樣才會讓學(xué)生對圖象是一條直線心服口服.

    上面的案例說到底就是講究一個“慢”字和“探”字,著名教育家約翰杜威指出:““慢而穩(wěn)”才能使印象較為沉著,思維較為深澈,問題感覺得深,思維才能滲透得切,任何教學(xué),僅為報表記憶、夸示嫻熟等,而把問題輕輕掠過,不去深刻思維的都違反了真正的思維訓(xùn)練的方法.”大多數(shù)老師這三步進行的是很快的,因為還要畫更多的圖,然后通過所畫的圖象總結(jié)相關(guān)的性質(zhì),然而我在這一“慢”一“探”中,所有的性質(zhì)不僅全部形成,而且都是在理解的基礎(chǔ)上形成,學(xué)生的思維得到了發(fā)散和深入,一幅圖可見無數(shù)圖,即見樹木亦見森林.

    二、在一定認知基礎(chǔ)上畫圖時要仔細剖析和駐足觀察內(nèi)在聯(lián)系

    我認為,只有實現(xiàn)函數(shù)教學(xué)中“解析式”、“表格”、“圖象”的三位一體,才能真正地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透;只有實現(xiàn)函數(shù)教學(xué)中“解析式”、“表格”、“圖象”的三位一體,才能更深入地探究復(fù)雜函數(shù)里的難點問題.例如:二次函數(shù)的左右平移問題,本可以通過畫一組函數(shù)圖象,可輕松看出平移的規(guī)律,但事實上,學(xué)生總是覺得奇怪,因為點在坐標系中移動時,若向右移動則點的橫坐標變大,而向左移動則點的橫坐標變小,那按理應(yīng)該是“左減右加”才對啊.通常老師只會向?qū)W生解釋說這兩者是不一樣的,或不厭其煩地再拿出畫的圖讓學(xué)生看,事實擺在面前嘛!為了解決這一問題,下面的案例我是這樣設(shè)計的:

    案例畫出二次函數(shù)y1=x2與y2=(x+1)2的圖象.

    (1)關(guān)系式所體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系可折射出點的位置關(guān)系

    學(xué)生已經(jīng)有了畫圖的經(jīng)驗,是可以快速畫出來的,但是,在畫圖之前,我拋出了一個問題:當兩個函數(shù)值取相同的值(正數(shù))時,自變量x的取值有什么聯(lián)系?這個問題看似簡單,但一下子讓學(xué)生有了思考并發(fā)現(xiàn):第二個函數(shù)自變量x的兩個取值分別比第一個的兩個小1,有了這個思考,其實已經(jīng)為后面的研究埋下伏筆,已經(jīng)能夠理解后面的結(jié)論了.

    (2)表格所體現(xiàn)的點的位置關(guān)系可折射出圖象位置關(guān)系

    所列表格如下:

    x…-52-2-32-1-12012132252…y1…94114014194…y2…94114014194…

    我國數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,割裂分家萬事休!”結(jié)合上面的兩個案例,都足以說明函數(shù)關(guān)系式、表格和圖象之間成一一對應(yīng)的關(guān)系,這種一一對應(yīng)想要有機結(jié)合,需要我們一一去探究并通過設(shè)問架起搭在它們之間的橋梁,而不是在已經(jīng)完成了的“成品”上觀察歸納,這樣會使學(xué)生越來越把記結(jié)論變得理所應(yīng)當,而失去了學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣,更失去了數(shù)學(xué)本身的意義了.

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