善于轉(zhuǎn)換 學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化

◎丁建生

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要有快速、全面、有效解決問題的能力。我們面對(duì)問題，要能善于轉(zhuǎn)換，如直接與間接的轉(zhuǎn)換、特殊與一般的轉(zhuǎn)換、局部與整體的轉(zhuǎn)換等，以實(shí)現(xiàn)問題由隱性向顯性、未知向已知、新向舊、難向易的轉(zhuǎn)化。下面以一元一次不等式中的問題為例，說明如何通過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，使問題不斷轉(zhuǎn)化，最終順利、簡(jiǎn)捷地解決問題。

一、將間接轉(zhuǎn)換為直接

例1 運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個(gè)x”到“結(jié)果是否＞95”為一次程序操作，如果程序操作進(jìn)行了三次才停止，那么x的取值范圍是_____。

【解析】根據(jù)程序規(guī)定得：

第一次操作結(jié)果為2x+1，

第二次操作結(jié)果為2（2x+1）+1=4x+3，

第三次操作結(jié)果為2（4x+3）+1。

操作三次才停止，意味著4x+3的值沒有大于95，2（4x+3）+1的值大于95。

解得11＜x≤23。

例2已知x=2是不等式（x-5）（ax-3a+2）≤0的解，且x=1不是這個(gè)不等式的解，求實(shí)數(shù)a的范圍。

【解析】x=2是不等式的解，說明x=2滿足不等式，即（2-5）（2a-3a+2）≤0。

x=1不是不等式的解，說明了什么？說明如果將x=1代入不等式，不等式（1-5）（a-3a+2）≤0不成立，那么它的反面就成立，即（1-5）·（a-3a+2）＞0，

解得1＜a≤2。

【反思】例1中首先要能將每次的“程序操作”轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)（數(shù)學(xué)化的表達(dá)），其次要能將“三次才停止”正確地轉(zhuǎn)換成不等式（組）；例2的關(guān)鍵在于正確理解“解”的含義，將“x=1不是這個(gè)不等式的解”轉(zhuǎn)換成一個(gè)“反向”不等式（1-5）（a-3a+2）＞0。

二、將局部轉(zhuǎn)換為整體

例3若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x+y＞-，求出滿足條件的m的所有正整數(shù)值。

【解析】常規(guī)思路是將m當(dāng)作已知數(shù)，解關(guān)于x、y的方程組，再將x、y代入x+y＞ -中，得到關(guān)于m的不等式，進(jìn)而求解。

但，這不是最好的方法。如果從整體出發(fā)，我們所關(guān)心的是x+y，依靠它建立不等式。通過觀察方程組中兩個(gè)方程系數(shù)的特征，將其左、右兩邊分別相加得3（x+y）=-3m+6，

【反思】解決問題的過程中，有時(shí)我們需要不為局部、細(xì)節(jié)所困擾，當(dāng)著眼于整體，就會(huì)收到方便快捷、“柳暗花明”的效果。

三、將特殊轉(zhuǎn)換為一般

例4 你會(huì)用已學(xué)的知識(shí)解下列不等式嗎？

（1） ||x-5 ＜3；

（2）（2x+1）（x-2）＞0。

【解析】乍看起來，問題似乎超越了我們的學(xué)習(xí)范圍。我們可嘗試轉(zhuǎn)換為最簡(jiǎn)的一般性問題來思考、認(rèn)識(shí)。

對(duì)于題1，就是求當(dāng)a為何值時(shí)， ||a＜3。絕對(duì)值有兩種方法處理，一是分類討論：當(dāng)a≥0時(shí)， ||a=a，則原不等式就變?yōu)閍＜3；當(dāng)a＜0時(shí)， ||a=-a，則原不等式就變?yōu)?a＜3。

二是根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義：在數(shù)軸上數(shù)a表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于3，則a在-3、3之間，即-3＜a＜3。

對(duì)于題2，就是a、b為何值時(shí)ab＞0，

依據(jù)上面的轉(zhuǎn)換分析，題1的解答有兩種：

（方法一）當(dāng)x-5≥0，即x≥5時(shí)，

原不等式就變?yōu)閤-5＜3，所以5≤x＜8，

當(dāng)x-5＜0，即x＜5時(shí)，

原不等式就變?yōu)?（x-5）＜3，所以x＞2，

綜上，原不等式解集為2＜x＜8；

（方法二）根據(jù) ||x-5的幾何意義，數(shù)x表示的點(diǎn)到數(shù)5表示的點(diǎn)的距離小于3，則x必在2和8之間，即2＜x＜8。

【反思】解決本題的關(guān)鍵是對(duì)問題進(jìn)行了一般化的認(rèn)識(shí)，抓住了問題的本質(zhì)與核心。

同學(xué)們可運(yùn)用類似的方法解下面的不等式：

四、將未知轉(zhuǎn)換為已知

例5已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x-3y=4，并且x≥-1，y＜2，現(xiàn)有k=x-y，求k的取值范圍。

【解析】x、y的范圍是確定的，k是未知數(shù)，k的范圍需要我們求解。

我們可將字母k視為“已知”，這樣可得到關(guān)于x、y的方程組

再由x≥-1，y＜2，

這樣可解得1≤k＜3。

【反思】當(dāng)把未知數(shù)k視為“已知”時(shí)，x、y就都可以用k來表示，再依據(jù)已知的x、y的范圍建立起關(guān)于k的不等式組。利用這種方法，我們可解決下列同類問題。

變式1：3a2+5 ||b=7，s=2a2-3 ||b ，求s的取值范圍。

變式2：已知非負(fù)數(shù)a、b、c滿足條件3a+2b+c=4，2a+b+3c=5，設(shè)S=5a+4b+7c的最大值為m，最小值為n，求m-n的值。

同學(xué)們，試試看！

數(shù)學(xué)解題的過程其實(shí)就是將問題不斷轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)化的過程。如，把實(shí)際問題中的生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言、生活問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)化過程）。抽象與具體、數(shù)與形、綜合與部分、一般與特殊、正面與反面等的相互轉(zhuǎn)換，需要同學(xué)們具有敏銳的數(shù)學(xué)眼光、豐盈的數(shù)學(xué)智慧，用心感悟、不斷積累。