各向異性地層井壁破裂壓力預(yù)測

馬天壽, 唐 弢, 陳 平, 陳春宇, 孫少林, 劉 陽

(1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室,四川成都 610500;2. 中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所巖土力學(xué)與工程國家重點實驗室,湖北武漢 430071;3.中國石油長慶油田公司油氣工藝研究院,陜西西安 710018; 4.中國石油西部鉆探克拉瑪依鉆井公司,新疆克拉瑪依 834009)

地層破裂壓力是鉆井工程設(shè)計、鉆井液密度優(yōu)化、鉆井措施制定的重要基礎(chǔ)[1-5],同時,也是水力壓裂設(shè)計、壓裂設(shè)備選擇、壓裂施工措施制定的重要依據(jù)[6-7]。國內(nèi)外學(xué)者針對直井破裂壓力預(yù)測開展了深入研究,形成了多種經(jīng)驗?zāi)Ｐ秃徒馕瞿Ｐ蚚8-13],但絕大部分模型都假設(shè)巖石是各向同性連續(xù)介質(zhì)[14-15]或橫觀各向同性連續(xù)介質(zhì)[16-25],對任意產(chǎn)狀各向異性條件下的直井井壁破裂力學(xué)機制研究較少。為此,筆者基于Lekhnitskij[26]和Amadei[27]求解各向異性介質(zhì)平面孔口問題的方法,建立考慮各向異性的直井井壁破裂壓力預(yù)測模型,分析破裂壓力的影響因素,以揭示各向異性地層井壁破裂的力學(xué)機制,為實際工程設(shè)計和施工措施制定提供指導(dǎo)。

1 井周應(yīng)力分布模型建立

1.1 巖石各向異性力學(xué)特性

為了準(zhǔn)確認(rèn)識各向異性巖石力學(xué)特性,收集了多種不同頁巖的各向異性彈性模量數(shù)據(jù)[28-37],并繪制了頁巖縱向和橫向彈性模量交匯圖,如圖1所示。不難看出,平行層理方向彈性模量E與垂直層理方向彈性模量E′存在顯著差異,E>E′,且比值大都高于1.5,部分超過2.0,說明頁巖各向異性特征較為顯著。

圖1 不同類型頁巖縱向和橫向彈性模量交匯圖Fig.1 Cross-plot of longitudinal and transverse elastic modulus for different shale rocks

1.2 模型建立

為簡化模型建立過程,假設(shè):地層為橫觀各向同性介質(zhì);地層均勻且連續(xù);巖石變形滿足彈性變形及小變形假設(shè);井周應(yīng)力應(yīng)變滿足廣義平面應(yīng)變;忽略滲流、溫度和鉆井液化學(xué)作用的影響。

對任意層理產(chǎn)狀下的垂直井眼,應(yīng)力分布模型涉及5個坐標(biāo)系(圖2):①整體坐標(biāo)系(xyz),也稱大地坐標(biāo)系;②地應(yīng)力坐標(biāo)系(xsyszs),最小水平地應(yīng)力與北坐標(biāo)夾角為βs;③井眼坐標(biāo)系(xbybzb),與地應(yīng)力坐標(biāo)系重合;④圓柱坐標(biāo)系(rbθbzb);⑤地層坐標(biāo)系(xwywzw),指地層中層理面的局部坐標(biāo)系,層理的傾角為αw和傾向為βw。

圖2 不同坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.2 Transformation relations between different coordinate systems

地層局部坐標(biāo)系下,巖石的本構(gòu)方程為

{ε}xwywzw=[A]{σ}xwywzw,

(1)

其中

式中,{σ}xwywzw和{ε}xwywzw分別為地層坐標(biāo)下的應(yīng)力和應(yīng)變矢量;[A]為巖石柔度矩陣;E和v分別為平行于層理面彈性模量和泊松比;E′、v′和G′分別為垂直于層理面彈性模量、泊松比和剪切模量。

在井眼坐標(biāo)系下求解應(yīng)力分布,需采用井眼坐標(biāo)系下的有效柔度矩陣,根據(jù)圖2所示關(guān)系,可得井眼坐標(biāo)系下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

{ε}xyz=[AT]{σ}xyz,

(2)

其中

[AT]=[Mσ]T[A][Mσ].

式中,{σ}xyz和{ε}xyz分別為井眼坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變矢量;[AT]為井眼坐標(biāo)系下柔度矩陣;[Mσ]為地層坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣。

根據(jù)廣義平面應(yīng)變假設(shè),εz=0,由式(2)可得:

(3)

式中,aij為柔度矩陣[AT]的分量,i、j=1,2,3,4,5,6;σx、σy、σz、τxy、τyz和τzx為應(yīng)力分量。

結(jié)合平衡方程、幾何方程和協(xié)調(diào)方程,根據(jù)Lekhnitskij[26]和Amadei[27]求解各向異性平面孔口問題的解法,求解出解析函數(shù)表示的應(yīng)力分量[21]為

(4)

式中,φk(zk)為解析函數(shù),k=1,2,3;zk為復(fù)變量,zk=x+μky;μk為與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程對應(yīng)的特征方程特征根;λk為與特征根有關(guān)的系數(shù)。

式(4)即為井周應(yīng)力分布問題的控制方程,井周應(yīng)力分布問題的求解已經(jīng)轉(zhuǎn)換為3個解析函數(shù)的求解,須結(jié)合邊界條件進(jìn)行求解。

1.3 應(yīng)力分布解

根據(jù)井眼周圍的受力邊界條件可知,井眼周圍地層受到原地應(yīng)力、井筒壓力的影響,采用疊加原理可將應(yīng)力分布分為3部分[26-27]:井眼鉆開前作用的原地應(yīng)力分量、井眼形成引起的應(yīng)力分量、井壁流體壓力引起的應(yīng)力分量。

(1) 井眼鉆開前作用的原地應(yīng)力分量。井眼鉆開前,井周應(yīng)力分量即遠(yuǎn)場原地應(yīng)力分量,通常采用水平和垂向地應(yīng)力進(jìn)行描述,即

(5)

式中,σH、σh和σv分別為最大、最小水平地應(yīng)力和垂向應(yīng)力;σx,0、σy,0、σz,0、τxy,0、τyz,0和τzx,0為井眼鉆開前原地應(yīng)力作用下的應(yīng)力分量。

(2) 井眼形成引起的應(yīng)力分量。對于不考慮內(nèi)壓的情況,井眼形成后井壁應(yīng)力為0,則對井壁上任意點(a,θ),其邊界條件為

(6)

將式(4)帶入式(6)可求解得到3個解析函數(shù),將解析函數(shù)帶入式(4),得井壁流體壓力引起的應(yīng)力分量表達(dá)式為

(7)

其中

b2=-Re[iγ1(λ2λ3-1)+iγ2(1-λ1λ3)+

iγ3λ3(λ1-λ2)],

b3=+Re[iγ1λ1(λ2λ3-1)+iγ2λ2(1-λ1λ3)+

iγ3(λ1-λ2)],

b4=-Re[iγ1μ1λ1(λ2λ3-1)+iγ2μ2λ2(1-λ1λ3)+

iγ3μ3(λ1-λ2)],

b5=+Re[iγ1μ1(λ2λ3-1)+iγ2μ2(1-λ1λ3)+

iγ3μ3λ3(λ1-λ2)],

c2=-Re[γ1(μ2-μ3λ2λ3)+γ2(λ1λ3μ3-μ1)+

γ3λ3(μ1λ2-μ2λ1)],

c3=+Re[γ1λ(μ2-μ3λ2λ3)+γ2λ2(λ1λ3μ3-μ1)+

γ3(μ1λ2-μ2λ1)],

c4=-Re[γ1μ1λ1(μ2-μ3λ2λ3)+γ2μ2λ2(λ1λ3μ3-

μ1)+γ3μ3(μ1λ2-μ2λ1)],

c5=+Re[γ1μ1(μ2-μ3λ2λ3)+γ2μ2(λ1λ3μ3-

μ1)+γ3μ3λ3(μ1λ2-μ2λ1)],

Δ=(μ2-μ1)+λ2λ3(μ1-μ3)+λ1λ3(μ3-μ2),

zk=a(cosθ+μksinθ).

式中,σx,h、σy,h、σz,h、τxy,h、τyz,h和τzx,h為井眼鉆開引起的應(yīng)力分量;a為井眼半徑;θ為井周角。

(3) 井壁流體壓力引起的應(yīng)力分量。對于只考慮井筒內(nèi)鉆井液液柱壓力的情況,井壁作用的法向應(yīng)力為液柱壓力pm,則對井壁上任意點(a,θ),其邊界條件為

(8)

將式(4)帶入式(8)可求解得到3個解析函數(shù),將解析函數(shù)帶入式(4),得井壁流體壓力引起的應(yīng)力分量表達(dá)式[38]為

(9)

其中

d2=+Re[γ1(μ2-μ3λ2λ3+iλ2λ3-i)+γ2(λ1λ3μ3-μ1+

i-iλ1λ3)+γ3λ3(μ1λ2-μ2λ1+iλ1-iλ2)],

d3=-Re[γ1μ1(μ2-μ3λ2λ3+iλ2λ3-i)+γ2μ2(λ1λ3μ3-

μ1+i-iλ1λ3)+γ3μ3λ3(μ1λ2-μ2λ1+iλ1-iλ2)],

d4=+Re[γ1λ1μ1(μ2-μ3λ2λ3+iλ2λ3-i)+

γ2λ1μ2(λ1λ3μ3-μ1+i-iλ1λ3)+γ3μ3(μ1λ2-

μ2λ1+iλ1-iλ2)],

d5=-Re[γ1λ1(μ2-μ3λ2λ3+iλ2λ3-i)+γ2λ1(λ1λ3μ3-

μ1+i-iλ1λ3)+γ3(μ1λ2-μ2λ1+iλ1-iλ2)].

式中,σx,b、σy,b、σz,b、τxy,b、τyz,b和τzx,b為井眼鉆開后井筒壓力作用下的應(yīng)力分量。

根據(jù)疊加原理,將上述3個應(yīng)力分量進(jìn)行疊加可得到井周總應(yīng)力模型為

(10)

2 破裂壓力計算方法

2.1 拉伸破壞準(zhǔn)則

井壁破裂是由于井壁張應(yīng)力超過巖石強度所致。拉伸破壞取決于地層巖石的抗張強度St,若考慮孔隙壓力影響,拉伸破壞準(zhǔn)則可寫為

σ3-αpp=-|St|.

(11)

式中,σ3為井壁拉伸主應(yīng)力;St為巖石的抗張強度;α為Biot系數(shù);pp為孔隙壓力。

2.2 井壁破裂壓力

計算破裂壓力要先計算出井眼圓柱坐標(biāo)下應(yīng)力分量,并將其帶入式(11),可得到井壁破裂壓力。根據(jù)圖2所示坐標(biāo)關(guān)系,通過轉(zhuǎn)軸公式變換,可得圓柱坐標(biāo)下井壁應(yīng)力分量為

(12)

直井井壁破裂主要是由井壁環(huán)向應(yīng)力超過巖石抗張強度所致,井壁張應(yīng)力為min{σθ},則有:

σ3-αpp=min{σθ}-αpp=-|St|.

(13)

聯(lián)立式(12)和(13),對式(13)進(jìn)行迭代求解,可得到井壁破裂時的臨界井筒壓力。

3 破裂壓力影響因素

根據(jù)破裂壓力計算方法可知,破裂壓力與層理產(chǎn)狀、地應(yīng)力、孔隙壓力等因素密切相關(guān),為了明確這些因素對破裂壓力的影響,選取四川盆地XX井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,該井的基礎(chǔ)參數(shù)為:垂深2 500 m、井眼尺寸215.9 mm、垂向地應(yīng)力61.2 MPa、最小水平地應(yīng)力47.6 MPa、最大水平地應(yīng)力55.5 MPa、最小水平地應(yīng)力方位0°、孔隙壓力30.5 MPa、平行層理方向彈性模量47.0 GPa、垂直層理方向彈性模量23.5 GPa、泊松比0.22、Biot系數(shù)0.80、抗張強度6.35 MPa。

3.1 層理產(chǎn)狀的影響

為了揭示層理產(chǎn)狀(傾斜方位和傾角)對破裂壓力的影響,分別計算不同產(chǎn)狀下的破裂壓力,E/E′=2.0,結(jié)果如圖3所示。為了簡潔直觀地展示,此處采用了半球投影圖表達(dá)計算結(jié)果,圖3中同心圓代表不同傾角、徑向射線代表不同傾斜方位,而破裂壓力表示為鉆井液當(dāng)量密度。不難看出:①各向同性模型計算破裂壓力為2.824 g/cm3,這與水平層理或低角度層理計算結(jié)果一致,即圖3中A點,說明低角度層理對破裂壓力影響較小,基本可以忽略;②當(dāng)傾斜方位沿著最小水平地應(yīng)力方向時,破裂壓力隨傾角增加而增加,最高破裂壓力為3.031 g/cm3,破裂壓力最大增幅約為0.207 g/cm3,如圖3中AB方向,說明鉆井井壁發(fā)生破裂的風(fēng)險降低,有利于井壁穩(wěn)定,但不利于水力壓裂,此時井壁破裂壓力變化的主要原因是井壁環(huán)向拉伸應(yīng)力逐漸降低,如圖4(a)所示;③當(dāng)傾斜方位沿著最大水平地應(yīng)力方向時,破裂壓力隨傾角的增加,先降低后略微增加,最低破裂壓力為2.695 g/cm3,破裂壓力最大降幅約為0.129 g/cm3,如圖3中AD方向,說明鉆井過程中井壁發(fā)生破裂的風(fēng)險增加,不利于井壁穩(wěn)定,但有利于水力壓裂,此時井壁破裂壓力變化主要是由于井壁環(huán)向拉伸應(yīng)力出現(xiàn)了先增加后略微降低的變化趨勢,如圖4(c)所示;④在傾角相同的情況下,隨著傾斜方位由最小水平地應(yīng)力偏向最大水平地應(yīng)力,井壁破裂壓力逐漸降低,其中接近垂直的高角度層理將導(dǎo)致較大的變化,破裂壓力由3.031 g/cm3降低至2.745 g/cm3,降低幅度約為0.286 g/cm3,如圖3中BCD路徑;井壁破裂壓力變化主要原因是井壁環(huán)向應(yīng)力分布規(guī)律在各向異性的控制下發(fā)生了極為顯著的變化,環(huán)向應(yīng)力由較為規(guī)則“啞鈴”形狀逐漸變?yōu)椴灰?guī)則“啞鈴”形狀,如圖4(b)箭頭所示,而且井壁最大拉伸應(yīng)力逐漸增加。

圖3 層理產(chǎn)狀對破裂壓力的影響Fig.3 Influence of bedding occurrence on fracture pressure

3.2 彈性模量各向異性程度的影響

為了揭示巖石彈性模量各向異性對破裂壓力的影響,分別計算彈性模量各向異性系數(shù)E/E′為1.0、1.5、2.0和2.5時的破裂壓力,計算結(jié)果如圖5所示,其中E/E′=2.0情況下的計算結(jié)果如圖3所示。由圖5可以看出:①在各向同性(E/E′=1.0)情況下,破裂壓力與層理產(chǎn)狀無關(guān),如圖5(a)所示;在各向異性(E/E′≠1.0)情況下,破裂壓力與層理產(chǎn)狀關(guān)系密切且整體變化規(guī)律基本一致,層理傾斜方位與最小水平地應(yīng)力方向一致情況下的破裂壓力最高,而與層理傾斜方位與最大水平地應(yīng)力方向一致情況下的破裂壓力最低,如圖3和圖5(b)、(c)所示;②隨著各向異性程度的增加,除了低角度層理的破裂壓力不發(fā)生變化,其余層理在相同產(chǎn)狀下得到的破裂壓力數(shù)值存在明顯差異,破裂壓力的最高值逐漸增加,同時破裂壓力的最低值也逐漸降低,如圖3和圖5(b)、(c)所示;③朝著最小水平地應(yīng)力傾斜的垂直層理破裂壓力最高,各向異性系數(shù)為1.5、2.0和2.5情況下最高破裂壓力分別為2.937、3.031和3.058 g/cm3,對應(yīng)破裂壓力最大增幅約為0.113、0.207和0.234 g/cm3;④朝著最大水平地應(yīng)力傾斜的高角度層理破裂壓力最低,各向異性系數(shù)1.5、2.0和2.5情況下最低破裂壓力分別為2.755、2.695和2.642 g/cm3,對應(yīng)破裂壓力最大降幅約為0.069、0.129和0.182 g/cm3。說明隨著彈性模量各向異性程度的增強,對井壁破裂壓力的影響逐漸增強,彈性各向異性的影響不應(yīng)被忽略。

圖4 層理產(chǎn)狀對環(huán)向應(yīng)力的影響Fig.4 Influence of bedding occurrence on hoop stress

圖5 彈性模量各向異性程度對破裂壓力的影響Fig.5 Influence of degree of anisotropy in elastic modulus on fracture pressure

3.3 泊松比各向異性程度的影響

為了揭示泊松比各向異性的影響,分別計算泊松比各向異性系數(shù)v/v′為1.0、1.5、2.0和2.5時的破裂壓力,計算結(jié)果如圖6所示,其中v/v′=1.0情況下的計算結(jié)果如圖3所示。由圖6可以看出:①泊松比各向異性對破裂壓力具有一定影響,主要結(jié)果是導(dǎo)致破裂壓力與層理產(chǎn)狀關(guān)系發(fā)生顯著變化,對最高和最低破裂壓力數(shù)值的影響較小,最高值約為3.05 g/cm3,而最低值約為2.70 g/cm3;②在層理傾斜方位沿著最小水平地應(yīng)力方向的情況下,隨著各向異性系數(shù)的增加,破裂壓力變化規(guī)律由最初的逐漸增加演變?yōu)橹饾u降低并增加,最大值仍然出現(xiàn)在最小水平地應(yīng)力方向;③在層理傾斜方位沿著最大水平地應(yīng)力方向的情況下,隨著各向異性系數(shù)的增加,破裂壓力仍然保持逐漸降低并略微增加的變化趨勢;④在層理傾角相同的情況下,隨著傾斜方位由最小水平地應(yīng)力偏向最大水平地應(yīng)力時,破裂壓力變化規(guī)律由最初的逐漸降低演變?yōu)橄仍黾雍蠼档偷内厔?尤其是在各向異性較強時,最大和最小水平地應(yīng)力中間出現(xiàn)了非常明顯的破裂壓力增加。

3.4 地應(yīng)力的影響

為了分析地應(yīng)力對破裂壓力的影響,分別計算水平地應(yīng)力比值σH/σh為1.2、1.6、2.0時的井壁破裂壓力,計算時固定σh而改變σH,結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出:①破裂壓力隨層理產(chǎn)狀變化基本能夠保持一致,即層理傾斜方位與最小水平地應(yīng)力方向一致情況下破裂壓力最高,而與層理傾斜方位與最大水平地應(yīng)力方向一致情況下破裂壓力最低;②隨著水平地應(yīng)力比值的增加,破裂壓力整體上呈減小趨勢,即水平地應(yīng)力差異越大,破裂壓力越低,3種情況下各向同性地層的破裂壓力分別為2.758、1.981和1.205 g/cm3,越不利于井壁穩(wěn)定,卻有利于水力壓裂裂縫的起裂;③隨著水平地應(yīng)力比值的增加,破裂壓力變化幅度逐漸變大,即破裂壓力降幅和增幅均顯著增加。例如,朝著最小水平地應(yīng)力傾斜的垂直層理破裂壓力最高,3種情況下最高破裂壓力分別為2.992、2.528和2.065 g/cm3,與各向同性地層相比,對應(yīng)破裂壓力最大增幅約為0.234、0.547和0.860 g/cm3。朝著最大水平地應(yīng)力傾斜的高角度層理破裂壓力最低,3種情況最低破裂壓力分別為2.605、1.550和0.495 g/cm3,與各向同性地層相比,對應(yīng)破裂壓力最大降幅約為0.153、0.431和0.710 g/cm3,其降幅甚至超過了50%，說明水平地應(yīng)力差值增加的同時,各向異性的影響也進(jìn)一步加劇，此外地應(yīng)力對破裂壓力變化值的影響明顯要高于地層各向異性產(chǎn)生的影響,即地應(yīng)力是地層破裂壓力的主控因素。

3.5 孔隙壓力的影響

孔隙壓力對破裂壓力也具有明顯的影響,為了分析其在考慮各向異性后的影響,計算孔隙壓力梯度分別為1.0、1.2和1.4時的破裂壓力,結(jié)果如圖8所示。由圖8可以看出:①不考慮各向異性影響時,當(dāng)孔隙壓力由25 MPa增加至35 MPa,各向同性地層破裂壓力由3.019 g/cm3降低至2.700 g/cm3,說明孔隙壓力越高破裂壓力越低,井壁穩(wěn)定性越差;②考慮各向異性影響后,3種情況下的破裂壓力隨層理產(chǎn)狀變化規(guī)律基本保持一致,即層理傾斜方位與最小水平地應(yīng)力方向一致情況下破裂壓力最高,而與層理傾斜方位與最大水平地應(yīng)力方向一致情況下破裂壓力最低;③隨著水平地應(yīng)力比σH/σh的增加,破裂壓力的變化幅度逐漸變大,即破裂壓力降幅和增幅均顯著增加。例如,朝著最小水平地應(yīng)力傾斜的垂直地層破裂壓力最高,3種情況下最高破裂壓力分別為3.238、3.069和2.899 g/cm3,與各向同性地層相比,破裂壓力最大增幅約為0.219、0.209和0.199 g/cm3;朝著最大水平地應(yīng)力傾斜的高角度層理破裂壓力最低,3種情況下最低破裂壓力分別為2.893、2.735和2.576 g/cm3,與各向同性地層相比,破裂壓力最大降幅約為0.126、0.125和0.124 g/cm3,這說明孔隙壓力增加的同時,各向異性的影響略微降低,孔隙壓力也是地層破裂壓力的重要影響因素。

4 結(jié) 論

(1)考慮各向異性影響后,破裂壓力隨層理產(chǎn)狀變化,低角度層理對破裂壓力影響較小,沿最小水平地應(yīng)力方向傾斜的高角度層理,其破裂壓力最高,而沿最大水平地應(yīng)力方向傾斜的高角度層理,其破裂壓力最低。

(2)彈性模量各向異性影響下,不同層理產(chǎn)狀的分布規(guī)律大致相似,但破裂壓力數(shù)值變化顯著,隨著各向異性程度的增加,破裂壓力最高值逐漸增加,而最低值逐漸降低,說明其對破裂壓力的影響逐步加劇;泊松比各向異性影響下,層理產(chǎn)狀的影響規(guī)律發(fā)生了顯著變化,但破裂壓力變化不明顯。

(3)隨著水平地應(yīng)力比增加,破裂壓力整體上呈減小趨勢變化,地應(yīng)力的影響明顯高于巖石各向異性,說明地應(yīng)力是地層破裂的主控因素;隨著水平地應(yīng)力比的增加,破裂壓力變化幅度逐漸增加,說明各向異性的影響逐漸加劇;隨著孔隙壓力的增加,不同層理產(chǎn)狀的分布規(guī)律大致相似,破裂壓力整體上呈減小趨勢,但破裂壓力變化幅度基本不變。