基于線性滑動(dòng)模型的裂縫性地層聲波測(cè)井響應(yīng)數(shù)值模擬

歐偉明, 王祝文, 寧琴琴, 徐方慧, 于 洋

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130026)

一般裂縫性儲(chǔ)集層具有相當(dāng)高的滲透率,裂縫對(duì)油氣藏的開(kāi)采非常重要[1-3]。裂縫的存在會(huì)使聲波測(cè)井的波形發(fā)生很大的變化,因此掌握裂縫對(duì)井中聲波傳播的影響規(guī)律,將對(duì)裂縫的檢測(cè)和評(píng)價(jià)起到重要作用。國(guó)內(nèi)外關(guān)于裂縫對(duì)井中聲波傳播影響方面已經(jīng)做了大量的研究,一方面根據(jù)實(shí)際聲波測(cè)井和相關(guān)物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析;另一方面把裂縫當(dāng)作一個(gè)流體薄層,采用有限差分和有限元方法數(shù)值模擬。Morris等[4]利用聲波測(cè)井資料中縱、橫波幅度檢測(cè)裂縫的位置。Paillet[5]根據(jù)聲波測(cè)井資料中斯通利波和橫波幅度的變化研究在裂縫附近的聲波傳播。Zlatev等[6]采用物理實(shí)驗(yàn)?zāi)M全波列聲波在含有裂縫的井中傳播,研究裂縫寬度和傾角對(duì)波形的影響。采用數(shù)值模擬的方法能避免人為誤差、節(jié)約實(shí)驗(yàn)成本。魏周拓等[7]對(duì)井旁不同角度和不同位置裂縫的全波波列進(jìn)行了數(shù)值模擬。龔丹和章成廣[8]應(yīng)用三維應(yīng)力-速度有限差分方法模擬含有傾斜裂縫地層中的井孔聲場(chǎng)。Matuszyk等[9]采用頻率域有限元法模擬在裂縫性地層中井中聲波的波形。閻守國(guó)等[10]運(yùn)用變網(wǎng)格有限差分法模擬井中聲波在含有傾斜薄裂縫的孔隙地層中的傳播。閆怡飛等[11]采用有限元方法模擬存在井旁裂縫情況下的反射波波形特征。由于裂縫的寬度一般小于1 mm,這些流體薄層模型需要用非常小的網(wǎng)格來(lái)描述裂縫寬度,這會(huì)增加大量的計(jì)算時(shí)間。在地震波傳播方面,裂縫經(jīng)常被看作是一個(gè)位移不連續(xù)的線性滑動(dòng)界面[12-13]。在線性滑動(dòng)模型(LSM)中,假定裂縫可以用一個(gè)界面來(lái)表示,穿過(guò)這個(gè)界面,由地震波引起的位移是不連續(xù)的,而應(yīng)力保持連續(xù)。位移矢量的跳躍與應(yīng)力矢量之間的線性關(guān)系由斷裂柔度張量決定。Coates和Schoenberg[14]在線性滑動(dòng)模型基礎(chǔ)上引入一種等效介質(zhì)理論來(lái)模擬與裂縫相交的有限差分網(wǎng)格的性能。Wu等[15]采用有限差分法模擬一個(gè)開(kāi)放的充滿流體裂縫的地震響應(yīng),對(duì)比了線性滑動(dòng)模型和流體薄層模型,并發(fā)現(xiàn)這兩種模型具有很好的一致性,但計(jì)算前者所需要的時(shí)間非常少。吳國(guó)忱和秦海旭[16]采用線性滑動(dòng)模型模擬裂縫性介質(zhì)的響應(yīng)。目前還沒(méi)有線性滑動(dòng)理論在聲波測(cè)井響應(yīng)模擬方面的研究。鑒于采用線性滑動(dòng)模型模擬計(jì)算的高效性,筆者基于線性滑動(dòng)模型,采用有限差分法來(lái)模擬不同裂縫寬度和不同裂縫條數(shù)情況下的全波列聲波測(cè)井響應(yīng),研究水平的線性滑動(dòng)裂縫對(duì)聲波波形的影響規(guī)律。

1 線性滑動(dòng)模型

為了把線性滑動(dòng)模型的裂縫合并到有限差分網(wǎng)格中,Coates和Schoenberg[14]提出等效介質(zhì)理論。該理論中,所有含有裂縫的有限差分網(wǎng)格單元被模擬裂縫的等效各向異性網(wǎng)格代替,如圖1所示。等效介質(zhì)理論被用于計(jì)算有裂縫穿過(guò)的有限差分網(wǎng)格的彈性參數(shù)。等效介質(zhì)理論計(jì)算需要每個(gè)差分網(wǎng)格的參數(shù),包括基巖的拉梅常數(shù)λ和μ、裂縫寬度h、每個(gè)網(wǎng)格包含的裂縫長(zhǎng)度L以及法向和切向的裂縫柔度ZN和ZT。

τij=cijklekl.

(1)

式中,τij為應(yīng)力;cijkl為彈性張量;ekl為應(yīng)變。在等效介質(zhì)理論中,公式(1)中的彈性張量定義為

(2)

圖1 在有限差分模型中代替一條水平裂縫的各向異性的網(wǎng)格Fig.1 Anisotropic grids instead of a horizontal fracture in finite-difference model

對(duì)于二維模型,r=λ/(λ+2μ),δN=ZN(λ+2μ)/[L+ZN(λ+2μ)],δT=ZTμ/(L+ZTμ)。當(dāng)δN和δT的值為0時(shí),表示有限差分網(wǎng)格中沒(méi)有裂縫。對(duì)于開(kāi)口的、充滿流體的裂縫,ZN=h/Kf,ZT=∞(Kf為流體體積模量)。公式(2)描述的等效彈性介質(zhì)是橫向各向同性的。如果裂縫的傾角和網(wǎng)格之間存在角度,需要對(duì)方程進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換,得到每個(gè)網(wǎng)格的等效介質(zhì)參數(shù)后,可以采用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法來(lái)模擬各向異性介質(zhì)。

2 模型和有限差分實(shí)現(xiàn)

2.1 計(jì)算模型

地層中一些裂縫是單獨(dú)存在的,影響聲波的傳播;還有一些多條裂縫相距較近,它們組成裂縫帶,共同作用于聲波的傳播。本文中要模擬的模型包括單條裂縫模型和多裂縫模型。如圖2所示,夾在兩個(gè)相同的彈性地層中的水平裂縫穿過(guò)充滿流體的井孔,裂縫的寬度為h,裂縫帶的寬度為H,井孔半徑為a,a=10 cm。聲源位于井軸上,裂縫或裂縫帶的下表面到聲源的距離d=2 m。在裂縫帶中,裂縫的間距為5 cm。

圖2 被無(wú)限長(zhǎng)水平裂縫穿過(guò)的井孔模型Fig.2 Borehole model inserted by infinite horizontal fractures

2.2 有限差分方法

圖3 介質(zhì)參數(shù)和應(yīng)力、速度分量在交錯(cuò)網(wǎng)格中的位置Fig.3 Position of medium parameters and stress and velocity components in staggered grids

由于井是圓柱形,使用柱坐標(biāo)系來(lái)描述需要模擬的模型。因?yàn)槟Ｐ途哂袑?duì)稱性,可以將模型簡(jiǎn)化為在r-z平面上的二維模型。采用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法[17-20]模擬彈性波在本文模型中的傳播。介質(zhì)的物性參數(shù)和應(yīng)力、速度分量在交錯(cuò)網(wǎng)格中的位置,如圖3所示。空心圓表示剪切應(yīng)力,實(shí)心圓表示正應(yīng)力,空心方形表示z方向上的速度分量vz,實(shí)心方形表示r方向上的速度分量vr。括號(hào)中的參數(shù)i和j分別表示r、z方向上的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)。在r、z方向上網(wǎng)格步長(zhǎng)分別為Δr和Δz,Δr=Δz。二維柱坐標(biāo)系下,時(shí)間上二階、空間上二階、聲波在模型中傳播的速度-應(yīng)力方程為

(3)

式中,τrr、τθθ和τzz分別為r、θ和z方向上的正應(yīng)力;τrz為剪切應(yīng)力;上標(biāo)n為時(shí)間層數(shù);Δt為時(shí)間步長(zhǎng);Lr和Lz分別為r、z方向上的有限差分算子;σi為正向的算術(shù)平均算子,定義為σifi=(fi+fi-1)/2;參數(shù)ρ和μ分別為介質(zhì)的密度和剪切模量。在介質(zhì)的分界面上,分別對(duì)ρ和μ取算術(shù)平均值和調(diào)和平均值;在固-液分界面上,μ的值為0。

為了減小在計(jì)算期間的數(shù)值頻散,空間網(wǎng)格的步長(zhǎng)需要滿足不等式:

Δr≤vmin/10fmax.

4.有利于黨形成良好政治生態(tài)。黨內(nèi)政治生活與政治生態(tài)二者相互作用，密不可分。政治生活造就政治生態(tài)，政治生活是政治生態(tài)形成的基礎(chǔ)；政治生態(tài)影響政治生活，政治生態(tài)是政治生活的集中反映。一段時(shí)間以來(lái)，由于黨內(nèi)政治生活存在寬松軟的問(wèn)題，一些地方和部門的政治生活出現(xiàn)庸俗化、隨意化、平淡化的現(xiàn)象，給黨內(nèi)政治生態(tài)帶來(lái)極大的負(fù)面影響。因此，良好的黨內(nèi)政治生態(tài)要從嚴(yán)肅黨內(nèi)政治生活中來(lái)。正如習(xí)近平同志所說(shuō)：“黨內(nèi)政治生活、政治生態(tài)、政治文化是相輔相成的。”[4]

式中,vmin為模型中最小的縱波速度;fmax為聲源的最高頻率。對(duì)于二維的二階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法需要滿足如下穩(wěn)定性條件:

(4)

式中,vmax為模型中最大的縱波速度。本文中選取中心頻率為10 kHz的聲源,聲源函數(shù)s(t)的表達(dá)式為

(5)

式中,f0為聲源的中心頻率;Tc為聲源脈沖寬度,本文中Tc=2/f0。

3 數(shù)值模擬結(jié)果

3.1 單條無(wú)限長(zhǎng)裂縫

根據(jù)公式的有限差分方程編寫程序,模擬聲波在被單條水平裂縫穿過(guò)的井中傳播。模型的尺寸為6.4 m×2.56 m;根據(jù)有限差分的穩(wěn)定性條件,選取差分網(wǎng)格的步長(zhǎng)Δr為1 cm,時(shí)間步長(zhǎng)Δt為1 μm。彈性地層的縱波速度和橫波速度分別為3 570 m/s和2 170 m/s,地層密度ρ為2 350 kg/m3。井中流體的密度和縱波速度分別為1 000 kg/m3和1 500 m/s。在模型中加入非分裂完全匹配層吸收邊界[21],消除模型邊界產(chǎn)生的虛假反射波。

圖4展示了在不同時(shí)刻t井中聲波在含有水平裂縫的地層中傳播的波場(chǎng)快照。虛線代表著井壁,聲源位于z=500 cm和r=0 cm處,寬度為2 mm的水平裂縫位于z=300 cm處。聲波沿著地層傳播到模型邊界后,聲波被充分吸收了,地層中沒(méi)有產(chǎn)生反射波,說(shuō)明程序中加入的吸收邊界是有效的。在1 ms時(shí)刻,井中縱波傳播的距離最遠(yuǎn),但它的能量非常小;之后是橫波首波,它的能量比縱波大一些;傳播距離最近的是斯通利波,它的能量最高。在1.5 ms時(shí)刻,井中橫波首波和一部分斯通利波穿過(guò)裂縫,波的能量明顯減小了很多。在2 ms時(shí)刻,井中可以看見(jiàn)明顯的反射斯通利波和反射橫波首波。

圖5為模擬井中聲波在單條水平裂縫模型中傳播得到的波形。接收器的最小源距為1 m,接收器的間隔為0.2 m,水平裂縫位于源距上方2 m處。在裂縫上方的接收器記錄的波列中,橫波和斯通利波的幅度明顯減小了。穿過(guò)裂縫后,橫波幅度的驟降,說(shuō)明了線性滑動(dòng)裂縫對(duì)橫波具有很強(qiáng)的衰減作用。由于裂縫引起波的強(qiáng)反射,在裂縫下面的波列中出現(xiàn)了反射橫波首波和反射斯通利波。

圖4 在1、1.5和2 ms時(shí)刻的波場(chǎng)快照Fig.4 Acoustic wave field snapshots at 1, 1.5 and 2 ms respectively

圖5 井中聲波在單條水平裂縫模型中傳播的波形Fig.5 Waveforms of borehole acoustic waves propagating in a single horizontal fracture model

圖6展示了在裂縫上面不同源距的接收器所記錄的透射波波形。在有裂縫和無(wú)裂縫情況下,縱波的波形幾乎沒(méi)有發(fā)生變化,可見(jiàn)裂縫對(duì)縱波的影響很小。即使寬度很小的裂縫,也使橫波的幅度衰減了很多,這說(shuō)明裂縫對(duì)橫波的衰減作用很強(qiáng)。對(duì)于流體薄層模型,物理實(shí)驗(yàn)和基于有限元法的數(shù)值模擬也展現(xiàn)了裂縫會(huì)明顯降低橫波的幅度[6,9]。裂縫的存在使斯通利波的幅度也發(fā)生了明顯的衰減,隨著裂縫寬度的增加在同一源距斯通利波幅度的衰減程度增大。不同寬度裂縫對(duì)應(yīng)的透射斯通利波的幅度非常接近,該現(xiàn)象說(shuō)明在線性滑動(dòng)模型中斯通利波幅度對(duì)裂縫寬度的變化不是很敏感?；诹黧w薄層模型的數(shù)值模擬表明隨著裂縫寬度的改變,透射斯通利波的幅度發(fā)生了明顯變化[8-9]。對(duì)于流體薄層模型,因?yàn)榫辛黧w流入裂縫和裂縫散射,斯通利波發(fā)生衰減[22]。線性滑動(dòng)模型忽略了流體流入裂縫的影響,因此它不能反映裂縫寬度與斯通利波衰減之間的關(guān)系。

圖6 不同源距的透射波波形Fig.6 Transmitted waveforms with different source distances

為了更清晰展示在不同寬度裂縫情況下,透射縱波和透射橫波幅度的變化,用時(shí)間窗截取圖6中的縱波首波和橫波首波。圖7和圖8分別為不同源距的透射縱波和透射橫波首波波形。在同一接收器下,將有裂縫與沒(méi)有裂縫情況下縱波首波幅度作對(duì)比:圖7(a)中前者稍微小一些;圖7(b)中前者稍微大一些;而圖7(c)和(d)中兩者幾乎一致。從這些現(xiàn)象可以看出:當(dāng)接收器距離裂縫很近時(shí),接收器記錄的波列除了滑行波以外,還有由狹窄的裂縫口引起的散射波;由于這兩種波重疊在一起,并且由于不同源距它們相位的差異不同,記錄到縱波首波的幅度可能會(huì)增加也可能會(huì)減小。圖7(a)中隨著增加模型的裂縫寬度,縱波首波的幅度衰減程度增加,說(shuō)明了寬度較大的裂縫產(chǎn)生的散射波對(duì)透射縱波幅度的影響也更大。由圖8可以看出:隨著源距的增加,即隨著接收器到裂縫的距離增加,橫波首波幅度的衰減程度增大;同一源距不同寬度裂縫對(duì)應(yīng)的橫波幅度變化很小;裂縫的存在使橫波的相位發(fā)生了變化。

圖7 不同源距的透射縱波首波波形Fig.7 Waveforms of transmitted compressional head wave with different source distances

圖8 不同源距的透射橫波首波波形Fig.8 Waveforms of transmitted shear head waves with different source distances

圖9為源距為1 m的接收器記錄的不同寬度裂縫情況下的反射波形。裂縫的寬度分別為0.1、0.5和5 mm。如圖9所示,這3種不同寬度的裂縫對(duì)應(yīng)的反射波曲線幾乎重疊在一起,可見(jiàn)反射波的幅度對(duì)線性滑動(dòng)模型的裂縫寬度的變化不敏感。

圖9 不同寬度裂縫的反射波形Fig.9 Reflected waveforms of fractures with different widths

3.2 有限延伸距離的裂縫

圖10 不同裂縫延伸距離情況下的透射波波形Fig.10 Waveforms of transmitted waves with different extended distances of fractures

地層中的自然裂縫從井眼軸向徑向延伸了有限距離,一些水壓力縫的延伸距離很短[23]。假設(shè)水平裂縫從井軸向徑向方向延伸有限的距離l,模擬井中聲波在有限長(zhǎng)裂縫模型中傳播,研究裂縫長(zhǎng)度對(duì)聲波波形的影響。圖10和圖11分別展示了不同裂縫延伸距離情況下的透射全波、透射橫波首波波形,接收器的源距為3 m。模型中裂縫的寬度均為1 mm,彈性地層的參數(shù)和圖6中的相同。在圖10中裂縫的延伸距離分別為0.3、0.4、0.6 m和無(wú)限長(zhǎng),在圖11中裂縫的延伸距離分別為0.3、0.4、0.5、0.6 m和無(wú)限長(zhǎng)。發(fā)現(xiàn)透射縱波和透射斯通利波的波形受裂縫的延伸距離影響不明顯,而透射橫波的幅度和相位隨著裂縫延伸距離的改變而發(fā)生了明顯變化。當(dāng)裂縫的延伸距離為0.3 m時(shí),橫波的衰減也很小,透射橫波的幅度較大。隨著裂縫延伸距離增加,透射橫波首波的幅度減小、波峰右移。當(dāng)裂縫的延伸距離為0.6 m時(shí),透射橫波首波的波峰突然左移到無(wú)限長(zhǎng)裂縫情況下的波峰附近,并且透射橫波首波的幅度也與無(wú)限長(zhǎng)裂縫情況下的幅度相近。

圖11 不同裂縫延伸距離情況下透射橫波首波的波形Fig.11 Waveforms of transmitted shear head waves with different extended distances of fractures

3.3 多條裂縫模型

模擬井中聲波在多條裂縫模型中傳播,研究不同裂縫條數(shù)對(duì)聲波波形的影響。圖12為不同裂縫條數(shù)情況下的透射聲波波形,接收器的源距為3 m。模型中裂縫的條數(shù)分別為2、4和6,每條裂縫的寬度為1 mm。如圖12所示,隨著裂縫條數(shù)的增加,透射縱波的波形變化不大,透射橫波和透射斯通利波的幅度減小,其中斯通利波幅度的衰減非常明顯。觀察橫波首波可以發(fā)現(xiàn),由于裂縫帶的寬度隨著裂縫條數(shù)的增加而增加,多條裂縫模型使透射橫波的相位發(fā)生了很大變化;不同裂縫條數(shù)對(duì)應(yīng)的相位不同。

圖12 不同裂縫條數(shù)情況下的透射聲波波形Fig.12 Waveforms of transmitted acoustic wave with different fracture numbers

4 結(jié) 論

(1)裂縫對(duì)縱波的影響很小,距離裂縫較遠(yuǎn)的縱波波形幾乎沒(méi)有改變;由于狹窄的裂縫對(duì)聲波的散射作用,靠近裂縫的透射縱波受到散射波的干擾,波的幅度發(fā)生了改變;裂縫的寬度越大,散射波對(duì)透射縱波幅度影響越大。

(2)橫波對(duì)裂縫非常敏感,裂縫不僅對(duì)橫波有很強(qiáng)的衰減和反射作用,而且使橫波的相位發(fā)生了改變;距離裂縫越遠(yuǎn),橫波的衰減程度越高;不同寬度裂縫對(duì)應(yīng)的橫波幅度變化很小;當(dāng)裂縫的延伸距離很短時(shí),隨著裂縫延伸距離增加,透射橫波首波的幅度減小,波峰右移;對(duì)于多條裂縫,隨著裂縫條數(shù)的增加,透射橫波的幅度減小,橫波的相位也發(fā)生了很大變化。

(3)裂縫也會(huì)引起斯通利波很強(qiáng)的衰減和反射;斯通利波對(duì)線性滑動(dòng)理論所描述的裂縫寬度的變化不是很敏感,隨著裂縫寬度的增加,斯通利波幅度的衰減增加不明顯,因此在線性滑動(dòng)模型中,不適合用斯通利波定量評(píng)價(jià)裂縫寬度;對(duì)于多條裂縫,隨著裂縫條數(shù)的增加,透射斯通利波的幅度明顯減小。