勾連除法 整體架構(gòu)
——“認(rèn)識平均分”整體教學(xué)研究

廣東深圳市光明新愛華小學(xué) 賴琪雯

“平均分”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要概念，與除法運(yùn)算、除法問題的解決、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識等內(nèi)容密切相關(guān)。各版本教材都將“平均分”編排在“除法的初步認(rèn)識”之前，在認(rèn)識平均分的兩種現(xiàn)實(shí)原型（等分、包含）之后引入除法，提出“（平均分的情況）可以用除法表示”。

這樣的設(shè)置引發(fā)筆者思考：平均分和除法之間有什么關(guān)系？ 為什么除法可以表示平均分？ 從平均分過渡到除法的認(rèn)識，兒童理解嗎？ 在《平均分》的具體教學(xué)中，教師可以怎樣為除法意義的認(rèn)識做鋪墊呢？

一、教材分析與備課思考

縱觀各版本教材，“平均分”這一內(nèi)容的編排有以下共同點(diǎn)：在情境選取上，采用分水果、分糖果、分圓片等可操作性強(qiáng)的具象情境；在概念引入和下定義時(shí)，呈現(xiàn)均分與不均分的情境圖加以對比，并用“每份分得同/一樣多”來定義平均分；在概念理解方面，借助卡通人物的語言、虛線、箭頭等形式凸顯平均分的過程；在處理平均分兩種現(xiàn)實(shí)原型時(shí)，先呈現(xiàn)“等分”的例子，再呈現(xiàn)“包含”的例子；在引入除法時(shí)，結(jié)合均分的情境直接呈現(xiàn)除法算式和各部分名稱，提出“（平均分）可以用除法來表示”。

教材雖如此編排，但若實(shí)際教學(xué)也這樣引入除法，就會讓人感覺中間斷了一截。要想讓平均分與除法的聯(lián)系更緊密、過渡更順暢，勢必要先對兩者的本質(zhì)進(jìn)行挖掘。關(guān)于平均分，它是一個(gè)兼具過程和結(jié)果的二重性概念，既表述了分的過程——等分或包含，又概括了分的結(jié)果——每份分得同樣多。只要是把一個(gè)整體平均分成若干相同的部分，這個(gè)過程/結(jié)果就是平均分。除法，從運(yùn)算的角度上說，它是減數(shù)相同的連減的簡便運(yùn)算。至此，從 “分”和“減”這兩個(gè)字眼，我們終于找到了平均分與除法之間的關(guān)聯(lián)?；诖?，筆者進(jìn)行了整體教學(xué)探索與嘗試。

二、整體教學(xué)“三步走”思路

第一步：動手操作，思維外顯，初識概念

課時(shí)主要目標(biāo)：結(jié)合情境，通過動手操作，經(jīng)歷分的過程，認(rèn)識平均分的兩種現(xiàn)實(shí)原型，初步理解平均分的含義。

【教學(xué)片段一：等分】

師：有一堆蘿卜，要分給3只小兔，每只小兔分到的要一樣多，怎么分？

（學(xué)生事先不知道蘿卜的總數(shù)量，用小棒代替蘿卜，獨(dú)立操作，再展示交流。）

生1每次給每只小兔各分1根（一根一根地分），分了4次；生2兩根兩根地分，分了2次；生3先各分3根，剩下的剛好各分1根，分了2次；生4先數(shù)出蘿卜的數(shù)量是12根，再想乘法口訣三幾十二，直接給每只小兔分4根，分了1次。

師：你們的方法各不相同，但分的時(shí)候卻有一樣的地方。

生：（要么）一根一根，（要么）兩根兩根，（要么）三根三根，沒有一下一根、一下兩根、一下三根的。

師：也就是說，要想每只小兔最后分到的一樣多，就得讓它們每次分到的一樣多。

【教學(xué)片段二：包含】

師：有15根骨頭，每只小狗分3根，可以分給幾只小狗？

生：老師，有幾只小狗啊？ （學(xué)生受“等分”情境的影響，對這種問題的理解需要指導(dǎo)）

（生用小棒代替骨頭，獨(dú)立操作，再展示交流）

師：小朋友們的方法都一樣，都是3根3根地拿，怎么不像分蘿卜那樣1根1根、2根2根地分呢？

生：因?yàn)槊恐恍」芬?根。

（初步感知兩種分物活動的不同）

【教學(xué)片段三：認(rèn)識平均分】

師：分蘿卜和分骨頭，分的總數(shù)不同，兔子、小狗的數(shù)量也不同，但有什么相同的地方？

生2：每只小兔分到4根，每只小狗分到3根，小兔和小兔一樣多，小狗和小狗一樣多。

師：像這樣，每只小兔分到的一樣多，每只小狗分到的一樣多，每份分得一樣多，叫作平均分。

設(shè)計(jì)意圖：本課時(shí)主要通過經(jīng)歷等分、包含這兩種情況的分物過程，再勾連其相同之處，初步體會平均分的含義。

第二步：多元表征，溝通切換，體會內(nèi)涵

課時(shí)主要目標(biāo)：在操作的基礎(chǔ)上，通過多元表征方式凸顯分的過程、表達(dá)分的結(jié)果，深入理解平均分的內(nèi)涵。

【教學(xué)片段一：圖畫表征】

師：上節(jié)課，小朋友們通過擺小棒、互相交流，能讓小伙伴清楚自己是怎么分蘿卜的，如果讓你用畫的方式來分，可以嗎？ （生自主畫圖）

(2)變量概念的理解，包含變量名、變量值和數(shù)據(jù)類型。以餐廳里的包間作為類比物，變量名相當(dāng)于包間名稱(牡丹廳)，數(shù)據(jù)類型相當(dāng)于包間類型(大、中、小)。變量值相當(dāng)于在該包間用餐的12位客人。

圖1 學(xué)生畫圖表示分蘿卜的過程（部分作品）

師：通過圖畫，你能讀懂這些小朋友是怎么分蘿卜的嗎？

（同樣，分骨頭的過程也可以用圖畫來表示。）

【教學(xué)片段二：語言表征】

師：回憶分蘿卜、分骨頭的過程，我們分別分什么？ 怎么分？ 結(jié)果是什么？ 請你和小朋友們交流這3個(gè)問題。

生：分蘿卜，1根1根地分，或2根2根地分，……最后每只小兔分到4根蘿卜。

生：分骨頭，每只小狗分3根，3根3根地拿，最后分給5只小狗。

師引導(dǎo)提煉：

12根蘿卜，平均分給3只小兔，每只小兔分到（4）根。

15根骨頭，每只小狗分3根，可以分給（5）只小狗。

【教學(xué)片段三：算式表征】

師：通過動手?jǐn)[、動筆畫、動口說，小朋友們都把平均分弄清楚了。其實(shí)，平均分的過程還可以用算式記錄下來。

圖2 等分（左）和包含（右）

等分：每次給每只小兔分1根，每次分掉3根，12-3-3-3-3=0。12連續(xù)減去4個(gè)3后，沒有剩余。所以，每只小兔分到4根蘿卜。

包含：每只小狗分3根，15-3-3-3-3-3=0。15連續(xù)減去5個(gè)3后，沒有剩余。所以，可以分給5只小狗。

設(shè)計(jì)意圖：本課時(shí)是在初步認(rèn)識平均分后，在較熟練操作的基礎(chǔ)上，探索呈現(xiàn)圖畫、語言、算式多元表征，并互相勾連，加深對平均分內(nèi)涵的認(rèn)識。其中，圖畫表征是基礎(chǔ)，用語言清晰地表達(dá)出圖畫意思是關(guān)鍵，而算式是較高層次的抽象概括，能檢驗(yàn)學(xué)生是否理解平均分的內(nèi)涵。這三種表征方式都能為后面除法的引入做鋪墊。

第三步：增大數(shù)目，靈活應(yīng)用，初步體驗(yàn)試商過程

課時(shí)主要目標(biāo)：增大總體的數(shù)目，通過多次嘗試，能靈活選取每次分的數(shù)量，從而減少分的次數(shù)，掌握大數(shù)目平均分的方法，為今后試商做鋪墊。

【教學(xué)片段】

師：50顆糖果平均分給4個(gè)人，每人得到幾顆？你是怎么分的？

（生用50根小棒代替糖果實(shí)際操作，可能出現(xiàn)不同的分法：1根1根地分、2根2根地分、3根3根地分、5根5根地分、10根10根地分，等等。）

師：當(dāng)分的物品數(shù)量越來越多，再像這樣用小棒操作會怎么樣？

生：麻煩，出錯(cuò)……

師：你能不能用表格記錄的方式，把每次分給每個(gè)小朋友的糖果數(shù)量記錄下來？

生1 生2 生3 生4第1次第2次第3次第4次……

設(shè)計(jì)意圖：本課時(shí)通過經(jīng)歷大數(shù)目物品的平均分過程，對比不同學(xué)生每次分糖的數(shù)量、分的總次數(shù)，形成方法：第一次要用較大的計(jì)數(shù)單位，盡可能多分一些，使剩下的盡可能少一些。每次分掉多少、剩下多少，可以用數(shù)數(shù)的知識或乘、加運(yùn)算的知識。這其實(shí)是試商的過程，意在拓展學(xué)生對平均分的認(rèn)識，靈活應(yīng)用方法，同時(shí)培養(yǎng)數(shù)感，為今后除法試商做鋪墊。

三、整體教學(xué)過程實(shí)施策略

不同教材在編排“平均分”時(shí)，都安排了不少于兩課時(shí)的內(nèi)容。在關(guān)聯(lián)前后、整體教學(xué)的過程中，教師應(yīng)注重以下三條策略，幫助學(xué)生深入理解平均分的內(nèi)涵，并順利過渡到除法意義的認(rèn)識。

1.注重情境選取，提供具象可操作情境

情境是數(shù)學(xué)的承重墻，合理恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境能為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。二年級學(xué)生心中雖已有了抽象的概念，但其思維仍處于具體運(yùn)算階段，需要具體事物的支撐。在平均分的概念教學(xué)中，教師要注重情境選取，提供具象的、可操作的情境，使情境與數(shù)學(xué)問題有機(jī)整合，從而幫助學(xué)生理解概念。例如：教師可以設(shè)計(jì)動物樂園美食分享會的故事情境，給小狗、小兔、松鼠、小猴等動物提供骨頭、蘿卜、松果、桃子等食物，用連貫的分食物情境串聯(lián)一節(jié)課，設(shè)計(jì)多次分物活動。在情境的支撐下，學(xué)生能直觀地理解數(shù)學(xué)問題、明確探究任務(wù)，在解決問題時(shí)也有話可說、有理可循。

2.注重過程經(jīng)歷，積累基本活動經(jīng)驗(yàn)

動手操作是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式之一，是學(xué)生建構(gòu)知識的重要方法，對發(fā)展學(xué)生的“創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”具有重要意義。二年級學(xué)生雖然已經(jīng)有了較強(qiáng)的“平分”意識，在生活中也積累了較豐富的“平分”經(jīng)驗(yàn)，但他們大多滿足于追求平分的結(jié)果，而對分配過程的關(guān)注度不夠、表達(dá)還很模糊。上文提到，平均分是一個(gè)二重性概念，如果只關(guān)注結(jié)果，而不充分經(jīng)歷分配的過程，沒有積累分物的活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就難以建構(gòu)平均分的意義和概念，也不利于后續(xù)將平均分轉(zhuǎn)化成除法，建立平均分與除法之間的聯(lián)結(jié)。更有甚者，缺乏對過程的關(guān)注還會導(dǎo)致后續(xù)遇到大數(shù)目物品的平均分時(shí)無從下手。因此，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)注重過程經(jīng)歷，幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗(yàn)、探尋平均分的概念本質(zhì)。

3.注重多元表征，“圖—話—式”多渠道表達(dá)

數(shù)學(xué)概念是生活中事物抽象概括的結(jié)果，小學(xué)生建構(gòu)概念離不開多種表征方式的輔助。在平均分的教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們都會操作、會分物，也在教師的引導(dǎo)下學(xué)會了畫圖表達(dá)。但是，有時(shí)學(xué)生會畫圖，并不代表他能用語言表述。平均分有三要素，即均分主體、均分方法、均分結(jié)果，這三要素對應(yīng)了總數(shù)、份數(shù)和每份數(shù)，也與除法算式中的被除數(shù)、除數(shù)、商相關(guān)聯(lián)。因此，在會操作、會畫圖之后，還要引導(dǎo)學(xué)生用語言清晰地提煉這三個(gè)問題。這樣有助于學(xué)生將動手操作、動筆涂畫、動口表達(dá)有機(jī)結(jié)合，將模糊的感知轉(zhuǎn)化為內(nèi)部的思維活動。

其次，算式表征是從操作到直觀圖畫，再到清晰的語言之后更高層次的抽象概括。平均分和除法算式的勾連在于，分物的過程是從總體里去掉部分的過程，也就是做減法；而除法是減數(shù)相同的連減的簡便運(yùn)算。因此，在平均分概念的建構(gòu)過程中，算式表征十分重要，有助于學(xué)生從平均分轉(zhuǎn)化到除法，從而輔助理解除法運(yùn)算的意義。