追本溯源巧解最值

丁 潔

幾何問題如果加上“運動”元素，就會由于圖形的運動而產(chǎn)生許多“變量”?！斑\動中變量的最值問題”或“運動中的不變量”往往是中考命題的熱點。解這類幾何最值問題，如果缺少必要的基礎(chǔ)知識與基本能力儲備，往往難以找到突破口。下面我們就通過一道幾何最值問題的解析，來追本溯源。

例 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與y軸的正半軸的夾角為20°，點A在直線l上，OA=2，M為直線l上一動點，P、N是y軸上的一動點，求AP+PM+MN的最小值。

圖1

【錯解】從“最小值”出發(fā)，認(rèn)為：過點A作PA⊥y軸于點P，這樣AP就取得最小值；在此基礎(chǔ)上，過P作PM⊥l于點M，這樣PM就取得最小值；然后在此基礎(chǔ)上，過點M作MN⊥y軸于點N，此時的MN取得最小值。最后，將所求得的AP、PM、MN三條線段相加，得出結(jié)果。

【錯因】上述“解法”立足于孤立的線段去思考最值，忽視了“AP+PM+MN”的整體性，這樣一來，思考就片面化了，隱含的錯誤就是“AP+PM+MN”這個整體取得最小值時，AP并非一定同時取得最小值。

【正解】對于多條折線求和問題，我們應(yīng)將“代數(shù)求和”轉(zhuǎn)化為“幾何求和”，先借助“軸對稱”，將同側(cè)線段轉(zhuǎn)變到異側(cè)，再“化折為直”，完成求和。

圖2

如圖2，以點P所在直線（y軸）為對稱軸作點M的對稱點M′，則PM′=PM。以點M′所在的直線OM′為對稱軸作點N的對稱點N′，則M′N′=M′N=MN?！郃P+PM+MN=AP+PM′+M′N′。

這樣就可“化折為直”，最值一定是當(dāng)A、M′、N′在一條直線上時取到。再根據(jù)“垂線段最短”，過點A作AH⊥ON′于H，當(dāng)點N′落在點H處時，AP+PM+MN取得最小值。

由題意，不難得到∠AON′=60°，再根據(jù)OA=2，可求得AH=，即AP+PM+MN的最小值為。

【點評】本題難度較大，對同學(xué)們的思維能力要求較高。同學(xué)們不妨嘗試以下變式訓(xùn)練，以加深相關(guān)理解。

變式1如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（2，0），經(jīng)過原點的直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點，求PA+PB的最小值。

圖3

變式2在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B是x軸上的一個動點，經(jīng)過原點的直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點，求AP+BP的最小值。

變式3在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B是x軸上的一個動點，經(jīng)過原點的直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動點，Q是直線l上一定點，且OQ=2，求AP+PB+BQ的最小值。

變式4在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B是x軸上的一個動點，經(jīng)過原點的直線l與x軸的正半軸的夾角為20°，P是直線l上一動點，Q是直線l上一定點，且OQ=2，求AP+PB+BQ的最小值。

【解析】變式2、3、4沒有直接給出圖形，同學(xué)們可以自己試著畫圖。此外，這組題由易到難，同學(xué)們在看具體解析之前，可以先獨立嘗試解決。

變式1屬經(jīng)典的“將軍飲馬”模型，利用軸對稱的性質(zhì)，將同側(cè)兩線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩線段，從而“化折為直”，利用“兩點之間，線段最短”求得最小值。

變式2延續(xù)了變式1的思維，再結(jié)合“垂線段最短”可得最小值。

變式3、變式4由“兩條線段之和的最小值”拓展為“三條線段之和的最小值”，可繼續(xù)沿用“將軍飲馬”模型，多次作對稱線段以求解。這兩題與前面的例題解法類似，同學(xué)們不妨試一試，以檢驗自己對例題的理解程度。

【點評】例題難度較大，也許你不能一下子理解。而變式可以幫助你更好地理解與掌握解決此類問題的途徑。變式1對你而言估計沒有難度。變式2中，定點B變?yōu)閤軸上一動點，難度略有提升。根據(jù)“點動成線”的思路，x軸即為所有動點B的集合，所以作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，A′B的最小值就是A′到x軸上的點的距離的最小值，“垂線段最短”的“加盟”，使得問題走向深入。變式3、變式4由“兩條線段之和的最小值”拓展為“三條線段之和的最小值”，有了變式1、變式2的鋪墊，相信同學(xué)們一定能想到通過類似方法去“化折為直”。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要一定的連貫性與靈活性，上面的一組變式訓(xùn)練題由易到難，一脈相承。相信同學(xué)們在逐一解答的過程中，一定會感受到其中的關(guān)聯(lián)，從而領(lǐng)悟到“化定為動”的命題思路及解題過程中“化折為直”的奧秘。這個案例給我們這樣的啟示：經(jīng)典題猶如題根，抓住題根，就等于抓住了整個題系。我們要追本溯源，進行變式拓展及生長。切實理解問題的實質(zhì)，可以追求大道至簡，實現(xiàn)“做一題，會多題”“會一法，得通法”，這樣一來，我們的復(fù)習(xí)就更有效，從而收到事半功倍的效果。