光纖陀螺溫度漂移的多尺度建模研究

劉文濤,劉潔瑜,沈 強

(火箭軍工程大學(xué) 控制工程系，陜西 西安 710025)

0 引言

光纖陀螺是基于Sagnac效應(yīng)的角速度傳感器，具有全固態(tài)，啟動時間短，動態(tài)范圍大，抗沖擊等優(yōu)良特性。溫度漂移作為制約光纖陀螺精度提高的一項累積誤差，對光纖陀螺的工程化應(yīng)用有較大影響，因此有必要對其展開研究。

由光纖陀螺的工作原理可知，溫度漂移一方面是因為兩束光波在相向傳播時熱光效應(yīng)導(dǎo)致的非互異性相位誤差；另一方面是由于陀螺元器件的較強溫度敏感性[1]?；诖?，目前抑制陀螺溫度漂移的方法主要是通過增加溫控裝置或針對陀螺輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行溫度漂移建模及補償。但在工程應(yīng)用中，增加溫控裝置不僅增加了陀螺的成本和體積，同時其抑制溫度漂移的效果有限；而建模及補償技術(shù)既不受光電器件工藝和成本的限制，方法和途徑也相對靈活，所以，建模及補償技術(shù)比硬件上的結(jié)構(gòu)改造有著更廣泛的應(yīng)用。

目前對光纖陀螺溫度漂移建模的方法主要有曲面擬合回歸、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機、小波網(wǎng)絡(luò)、模糊推理等。曲面擬合回歸雖然原理簡單、建模效率高，但其難以準(zhǔn)確逼近中、高精度的光纖陀螺溫度漂移中的非線性關(guān)系[2-3]；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]和支持向量機[5]等智能算法由于計算復(fù)雜、訓(xùn)練時間較長及網(wǎng)絡(luò)參數(shù)選擇繁瑣等，在工程中的應(yīng)用并不多見；小波網(wǎng)絡(luò)[6]由于小波基和小波閾值相關(guān)的參數(shù)設(shè)定都是人為選擇的，無明確的指導(dǎo)理論，限制了其使用精度；模糊推理[7-9]雖然在擬合非線性關(guān)系方面有一定的優(yōu)勢，但如何選擇恰當(dāng)?shù)碾`屬度函數(shù)尚未有定論。

與以上方法不同，經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[10]是一種完全依據(jù)信號的自身時間尺度進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法，不需要人為設(shè)定參數(shù)，且分解得到的分量信號層次分明，易于進(jìn)行自適應(yīng)數(shù)據(jù)建模。綜上所述，本文提出一種將經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的光纖陀螺溫度漂移建模方法，旨在提高溫度漂移模型精度。

1 光纖陀螺儀的溫度漂移機理

Shupe等[11]指出由于光纖環(huán)熱光效應(yīng)的存在會導(dǎo)致線圈某一點的折射率變化，進(jìn)而在正、反兩束光波到達(dá)該點時會產(chǎn)生相位差。經(jīng)過公式推理，Shupe推導(dǎo)出當(dāng)兩束干涉光波分別沿著順時針(CW)和逆時針(CCW)傳輸，在通過長度為L，折射率為n的光纖環(huán)時，線圈在z點處因溫度變化而導(dǎo)致熱致非互異性相位延遲[12]：

(1)

(2)

式中：ΦCW，ΦCCW分別為順、逆時針光波圍繞光纖環(huán)旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的相移；β0=2π/λ0為光在真空中的傳播常數(shù)，λ0為光在真空中的波長；c0=nc為光在真空中的光速，c為波導(dǎo)中的光速；ΔT(z)為光纖在z處溫度分布的變化量，z為光纖環(huán)上某確定位置。

式(1)、(2)相減可得

(3)

式中ΔΦ為光波在正、逆向傳播時的相移差。

(4)

由光在介質(zhì)中的傳播公式c=c0/n，可將式(4)變形為

(5)

將式(5)按(0，L/2)、(L/2,L)進(jìn)行分部積分，可得：

(6)

(7)

將式(7)代入數(shù)學(xué)中的分部積分公式后，最終得到光纖環(huán)因溫度變化而引起的熱致非互異相移：

(8)

式(8)從理論上解釋了光纖陀螺溫度漂移產(chǎn)生的機理，對溫漂模型的建立及相關(guān)輸入、輸出變量的選擇具有指導(dǎo)意義。由式(8)可見，光纖環(huán)的長度、直徑的變化都將直接對其漂移產(chǎn)生影響，而由于熱脹冷縮效應(yīng)、熱光效應(yīng)和光彈效應(yīng)的影響，溫度變化才是導(dǎo)致以上變化的根源。因此，本文考慮以溫度為輸入變量，建立光纖陀螺的溫度漂移模型。

2 模型設(shè)計

由式(8)分析可知，溫度變化率和溫度梯度是影響陀螺溫度漂移的主要因素，而溫度變化率和溫度梯度均起因于陀螺內(nèi)部溫度(記為Tg)和溫控箱溫度(記為Te)在同一時間下的線性組合，因此，本文考慮利用Tg和Te作為模型輸入，模型的輸出則為預(yù)處理后的陀螺輸出數(shù)據(jù)，最終建立一個二輸入、一輸出的光纖陀螺溫度漂移模型。

2.1 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解是由黃鄂博士提出的一種數(shù)據(jù)處理方法，能夠?qū)Ψ瞧椒€(wěn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分層處理。具體步驟如下：

1)確定原始數(shù)據(jù)x(t)的極大值點和極小值點，并利用3次樣條插值分別對其進(jìn)行處理，形成上、下包絡(luò)線，分別記為a(t)和b(t)，計算得到其均值m(t)=[a(t)+b(t)]/2，然后求得均值m(t)與x(t)的差值r1=x(t)-m(t)，接著判斷r1是否滿足本征模態(tài)函數(shù)(IMF)的兩個條件：

a.在任一采樣時間點上，由imfi的極大值和極小值所確定的包絡(luò)線均值必須為0。

b.數(shù)據(jù)序列中的極值點和過零點的數(shù)量相差不多于1個。

若滿足以上兩個條件，則該均值包絡(luò)線為分解得到的第一個本征模態(tài)函數(shù)imf1，即imf1=r1，反之進(jìn)行第2)步驟。

2)把r1看做新的原始序列，重復(fù)步驟1)，計算均值包絡(luò)線m11，并求出信號差值r11=r1-m11，對r11重復(fù)上述步驟k次，直至r1k滿足本征模態(tài)函數(shù)的兩個條件，r1k=r1(k-1)-m1k，此時得到的r1k即為imf1，然后計算新的差值r1=x(t)-imf1。

3)對新的差值r1重復(fù)步驟1)、2)，可依此得到imf2，imf3，…，imfn與其對應(yīng)，r2=r1-imf2，r3=r2-imf3，…，rn=r(n-1)-imfn，此時，rn會成為一個單調(diào)序列，即原始信號的趨勢項。

經(jīng)過步驟1)～3)，原始信號x(t)最終被分解為多個本征模態(tài)函數(shù)和一個余項之和。

2.2 自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)模糊推理建模

由EMD原理可知，經(jīng)分解后得到的本征模態(tài)函數(shù)是頻率遞減的高頻震蕩序列，具有明顯的非線性。本文結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊推理的特點，選擇使用結(jié)合了二者優(yōu)良特性的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)模糊推理(ANFIS)對分解得到的本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行建模[13]，旨在使模型能夠準(zhǔn)確地模擬輸入、輸出關(guān)系。經(jīng)過分析，建立的自適應(yīng)模糊推理網(wǎng)絡(luò)如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)模糊推理網(wǎng)絡(luò)設(shè)計

兩個輸入變量分別是Te和Tg，一個系統(tǒng)輸出變量為高頻震蕩序列F，模糊規(guī)則Rule有兩條，分別為：

Rule1：IfTeis A1andTgis B1，Then

f1=p1·Te+q1·Tg+r1；

Rule2：IfTeis A2andTgis B2，Then

f2=p2·Te+q2·Tg+r2。

網(wǎng)絡(luò)第一層將輸入變量模糊化，輸出分別為輸入變量各自論域?qū)?yīng)的隸屬度函數(shù)輸出值，所選隸屬度函數(shù)為鐘形函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(9)

式(9)中的參數(shù)a,b,c待求。根據(jù)論域的區(qū)間可以初步設(shè)定，之后在自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程中不斷更新，找到最佳值，其決定了函數(shù)形狀。

網(wǎng)絡(luò)第二層為模糊集運算，計算模糊化后溫度信息的激勵強度：

(10)

網(wǎng)絡(luò)第三層是對于溫度信息的激勵強度進(jìn)行歸一化處理:

(11)

網(wǎng)絡(luò)第四層可結(jié)合兩條模糊規(guī)則，完成自適應(yīng)運算，建立模糊推理結(jié)論部分的線性模型：

(12)

式中p,q,r為線性模型參數(shù)。

模糊訓(xùn)練總輸出F表示根據(jù)輸入的溫度信息預(yù)測的陀螺漂移，其結(jié)果為第四層兩個節(jié)點輸出的總和：

F=f4,1+f4,2

(13)

聯(lián)合式(10)～(13)計算可得到：

(14)

利用最小二乘擬合可得p1,q1,r1,p2,q2,r2等參數(shù)的大小，然后計算建模數(shù)據(jù)的誤差，并將誤差由輸出向輸入傳遞。通過梯度下降法對誤差數(shù)值不斷進(jìn)行更新，最終實現(xiàn)對于前提參數(shù)的調(diào)節(jié)。經(jīng)過反復(fù)迭代，實現(xiàn)對于高頻震蕩序列的回歸。

2.3 曲面擬合回歸建模

曲面擬合作為一種回歸算法，對于多輸入變量問題的線性擬合效果好，精度高，而對于EMD得到的單調(diào)趨勢項，其線性規(guī)律明顯，因此，選用曲面擬合回歸對單調(diào)趨勢項進(jìn)行建模，所用模型數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(15)

式中：m,n分別為關(guān)于Tg和Te的多項式擬合階次；Q為相應(yīng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。確定合適的階次后，可由最小二乘法求得Q。

綜上所述，本文建立光纖陀螺溫度漂移模型的具體流程如圖2所示。

圖2 模型設(shè)計流程

3 試驗與分析

3.1 溫度漂移數(shù)據(jù)采集

為了實際考證光纖陀螺儀的輸出特性，我們選用FS-098型光纖陀螺儀，通訊接口使用RS-422，采樣頻率為10 ms。對陀螺進(jìn)行了全溫實驗，試驗設(shè)計如下：

1)將FS-098型光纖陀螺儀置于隔震地基的溫控箱內(nèi)，檢查接線，一切準(zhǔn)備妥當(dāng)后啟動電源，開始實驗驗證。

2)分別在-40 ℃，-30 ℃，-20 ℃，-10 ℃,0,10 ℃,20 ℃,30 ℃,40 ℃,50 ℃,60 ℃等溫度點待光纖陀螺儀達(dá)到穩(wěn)定后，進(jìn)行零偏測試，得到各個測試點的陀螺輸出角速度數(shù)據(jù)和溫度數(shù)據(jù)。

3)待陀螺輸出角速度數(shù)據(jù)和溫度數(shù)據(jù)穩(wěn)定后，記錄下全溫過程中的陀螺溫度和角速度數(shù)據(jù)。最后求取全溫過程中的陀螺儀溫度和輸出角速度的平均值。

3.2 試驗結(jié)果

對于實驗時每個溫度點的零偏數(shù)據(jù)以及陀螺的溫度信息，利用取平均值的方法去除粗大誤差，最終得到各個溫度點的零偏漂移實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 實驗結(jié)果

依據(jù)所得實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行信號預(yù)處理后，對其進(jìn)行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，其結(jié)果如圖4所示。

圖4 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解實驗結(jié)果

選取Te，Tg及F的部分?jǐn)?shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，另一部分作為測試數(shù)據(jù)，通過ANFIS對訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，在擬合數(shù)據(jù)殘差平方和最小的原則下不斷調(diào)整隸屬度函數(shù)以及模糊規(guī)則的相關(guān)參數(shù)。通過不斷學(xué)習(xí)來確定最佳的變量參數(shù)，并最后通過測試數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ瓦m應(yīng)性，模型擬合結(jié)果如圖5所示。計算得到模型的均方根誤差(RMSE)為0.010 9，殘差平方和(SSE)達(dá)到0.002 149，擬合狀況良好。

圖5 自適應(yīng)模糊推理建模結(jié)果

考慮單調(diào)趨勢項特點，m,n分別選用二階的模型，接著求得系數(shù)矩陣Q，最終得到曲面擬合模型：

(16)

對單調(diào)趨勢項的擬合結(jié)果如圖6所示，計算該模型的相關(guān)統(tǒng)計量，均方根誤差為0.028 6，殘差平方和達(dá)到0.004 137。

圖6 曲面擬合結(jié)果

根據(jù)經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的原理，將ANFIS和曲面擬合回歸的結(jié)果線性相加，得到最終建模結(jié)果。利用其對原始溫度漂移序列進(jìn)行補償，補償前、后的效果對比如圖7所示。

圖7 本文所用方法補償前后對比

3.3 分析與討論

3.3.1 與單一使用曲面擬合回歸建?；騿我皇褂肁NFIS建模的比較

為了說明本文方法的優(yōu)越性，將本文所建模型的補償效果與單一使用曲面擬合回歸或單一使用ANFIS建模的模型補償效果進(jìn)行比較，對比結(jié)果如圖8所示。由圖可知，本文方法所建模型與其他兩種方法相比，補償效果更明顯。

圖8 幾種模型補償結(jié)果的對比

3.3.2 驗證實驗數(shù)據(jù)的運行結(jié)果

為了進(jìn)一步證明本文方法的可行性，還設(shè)置了驗證試驗。重新選取一組溫度漂移數(shù)據(jù)對本文方法進(jìn)行了驗證，驗證結(jié)果如表1所示。

表1 驗證數(shù)據(jù)的相關(guān)實驗結(jié)果

4 結(jié)束語

本文通過對光纖陀螺儀溫度漂移誤差方程的推導(dǎo)，確定了建立模型時的輸入、輸出變量。對FS-098型光纖陀螺儀進(jìn)行了-40～60 ℃全溫區(qū)間的溫度試驗，根據(jù)實驗所得溫度漂移數(shù)據(jù)的時間尺度特點，開始先利用完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)性時頻分析方法——經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解將溫度漂移數(shù)據(jù)分解成為高頻震蕩序列和單調(diào)趨勢項，根據(jù)其各自特點，分別使用曲面擬合回歸和自適應(yīng)模糊推理對其進(jìn)行分層建模，通過殘差平方和(SSE)和誤差均方根(RMSE)數(shù)值，結(jié)合補償效果表明，本文方法實用有效。