利用雙線性變換和R-H準(zhǔn)則判定LSI系統(tǒng)的穩(wěn)定性*

陳紹榮 ，何 健 ，陳柏良 ，薛在陽(yáng)

（1.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610041；3.深圳市惟新科技股份有限公司，廣東 深圳 518000；4.奧特斯科技（重慶）有限公司，重慶 401133）

0 引 言

在國(guó)內(nèi)外《信號(hào)與系統(tǒng)》著作[1-2]中，均介紹了Jury準(zhǔn)則和利用Jury準(zhǔn)則來判定LSI離散時(shí)間系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟和方法。雖然高階LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性可利用Jury準(zhǔn)則做出判定，但遺憾的是，若高階LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，則Jury準(zhǔn)則不能判定出高階LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)有多少個(gè)極點(diǎn)位于z平面的單位圓外。本文在著作[3]的基礎(chǔ)上，給出了基于雙線性變換和R-H準(zhǔn)則來判定LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，間接解決了Jury準(zhǔn)則遺留的問題。

1 Jury準(zhǔn)則

設(shè)：

則其穩(wěn)定性檢驗(yàn)表如下：

將每?jī)尚邢嗷^(qū)分開，第1行列出D（z）的系數(shù)，第2行將第1行的系數(shù)順序顛倒排列，第3行按下述方法求得，即：

第4行將第3行的系數(shù)順序顛倒排列，再按上述辦法求出穩(wěn)定性檢驗(yàn)表中的第5行，即：

第6行將第5行的系數(shù)順序顛倒排列。

這樣一直排下去，每?jī)尚斜惹皟尚猩僖豁?xiàng)，一直排到2n-3行為止。

可以證明，D（z）=0的根均位于z平面單位圓內(nèi)的充要條件是：

式（5）揭示的D（z）=0的根均位于z平面單位圓內(nèi)的充要條件，稱為Jury準(zhǔn)則。

Jury準(zhǔn)則即式（5），表明由多項(xiàng)式D（z）的系數(shù)構(gòu)成的穩(wěn)定性檢驗(yàn)表除滿足 D（1）＞0 和 （-1）nD（-1）＞0外，對(duì)表中每一個(gè)奇數(shù)行而言，第一個(gè)系數(shù)必須大于最后一個(gè)系數(shù)。

解：考慮到：

則其穩(wěn)定性檢驗(yàn)表如下：

雖然 D（1）=16＞0、（-1）5D（-1）=2＞0 但是從穩(wěn)定性檢驗(yàn)表可見，第3行的系數(shù)bn-1=3小于最后一個(gè)系數(shù)|b0|=6，因此可以判斷該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

高階LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性可利用Jury準(zhǔn)則做出判定，遺憾的是，若高階LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，則Jury準(zhǔn)則不能判定出D（z）=0有多少個(gè)根位于z平面的單位圓外。本可以利用雙線性變換和R-H準(zhǔn)則來解決這一問題。

2 雙線性變換函數(shù)的導(dǎo)出

由于z平面與s平面之間存在映射函數(shù)z=esT，使得s平面到z平面不是“一對(duì)一”的映射，而是“多對(duì)一”的映射，即s平面的ω每增加2π/T時(shí)，z的幅角Ω就增加2π，亦即s平面上的σ相同，而ω相差2πm/T（m為整數(shù)）的各點(diǎn)，在z平面上都映射為同一點(diǎn)。因此，首先需要找一個(gè)“一對(duì)一”的映射函數(shù)，將s平面一對(duì)一地映射成w平面上以實(shí)軸為對(duì)稱軸、寬度為2π/T的帶狀域。利用映射函數(shù)z=ewT，將w平面上的帶狀域一對(duì)一地映射成全z平面，如圖1所示，保證了s平面到z平面是“一對(duì)一”的映射。由于s平面到z平面的“一對(duì)一”映射是經(jīng)歷兩次“一對(duì)一”映射完成的，因此在這一過程中找出的s平面與z平面的映射函數(shù)，通常稱為雙線性變換函數(shù)。

圖1 雙線變換函數(shù)的映射關(guān)系

基于圖1給出的單值映射圖形，下面尋找雙線性變換函數(shù)。

設(shè)：

考慮到歐拉公式，則式（8）可寫成：

式（12）或式（13）揭示了s平面與z平面的單值映射關(guān)系，通常將這種映射關(guān)系稱為雙線性變換。

考慮到式（13），則有：

由式（15）可知，利用式（13）揭示的雙線性變換函數(shù)，正向期望相同，可將s平面的左半平面（σ＜0）、虛軸 （σ=0）及右半平面 （σ＞0）分別映射成 z平面上的單位圓內(nèi)部 （0 ≤ |z|＜1）、單位圓周 （|z|=1）及單位圓外部 （|z|＞1）。

3 利用雙線性變換和R-H準(zhǔn)則判定LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性

解：由于LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)H（z）的極點(diǎn)為v1=0.5，v2=3，v3=4。顯然，極點(diǎn)v2=3和v3=4位于z平面的單位圓外，故系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

下面來考察s平面與z平面的零點(diǎn)和極點(diǎn)的單值映射情況。

為了簡(jiǎn)單，在式（12）和式（13）中可取變換常數(shù)C=1?，F(xiàn)在，利用雙線性變換式（13），將LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)H（z）映射到s平面，即：

類似地，對(duì)高階LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)，利用雙線性變換可以得到n次多項(xiàng)式Deq（s），那么通過R-H準(zhǔn)則可以間接判斷高階LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：為了簡(jiǎn)單，取式（13）中的變換常數(shù)C=1。利用雙線性變換式（13），將LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)H（z）映射到s平面，即：

式中：

Deq（s）=0的根全部位于s平面的左半平面的必要條件是多項(xiàng)式Deq（s）中不缺項(xiàng)，且各項(xiàng)的系數(shù)同符號(hào)。因此，由式（21）可知，Deq（s）=0有根位于s平面的右半平面，即Heq（s）有極點(diǎn)位于s平面的右半平面，亦即H（z）有極點(diǎn)位于z平面的單位圓外，該LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。

為了確定出Deq（s）=0的根位于s平面的右半平面的個(gè)數(shù)，下面列寫Deq（s）的R-H陣列：

分析表明，R-H陣列中第1列元素，從正到負(fù)，再?gòu)呢?fù)到正，符號(hào)共變化了2次，因此Deq（s）=0有2個(gè)根位于s平面的右半平面，那么D（z）=0一定有2個(gè)根位于z平面的單位圓外，即5階LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)有2個(gè)極點(diǎn)位于z平面的單位圓外。

4 結(jié) 語

本文介紹了Jury準(zhǔn)則，給出了基于雙線性變換和R-H準(zhǔn)則來判定LSI離散時(shí)間因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，間接解決了Jury準(zhǔn)則遺留的問題。