圖像自尋的火箭彈命中概率計(jì)算與分析

房施東，陳 棟，劉 楨，高 姍，周 到

(1.中國(guó)人民解放軍陸軍炮兵防空兵學(xué)院，安徽 合肥 230031；2.江西省軍區(qū)數(shù)據(jù)信息室，江西 南昌 330006；3.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 十八大隊(duì)，河北 石家莊 050000)

圖像自尋的火箭彈是一款新型復(fù)合制導(dǎo)火箭彈,其通過采用北斗中制導(dǎo)+圖像末端自尋的復(fù)合制導(dǎo)控制技術(shù)來提高命中精度。命中精度是衡量武器系統(tǒng)綜合效能的重要指標(biāo)。文獻(xiàn)[1]通過分析制導(dǎo)炮彈彈道誤差特性,考察影響射擊精度的主要因素,建立了毀傷概率模型,通過蒙特卡洛法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)；文獻(xiàn)[2]針對(duì)制導(dǎo)殺傷破甲子母彈特點(diǎn)，建立了射擊誤差模型，推導(dǎo)出毀傷概率計(jì)算公式，對(duì)其射擊效率進(jìn)行了評(píng)估；文獻(xiàn)[3]探討了導(dǎo)彈命中精度的評(píng)估過程，運(yùn)用仿真技術(shù)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，通過建立精度評(píng)估仿真模型，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈命中精度的評(píng)定。上述文獻(xiàn)大多側(cè)重于命中精度的影響因素、計(jì)算模型、仿真方法等的研究，但對(duì)于圖像末制導(dǎo)火箭彈落點(diǎn)偏差與跟蹤角誤差、導(dǎo)引盲距之間的關(guān)系及其對(duì)命中精度的影響分析等方面的研究鮮有涉及，因此筆者擬在落點(diǎn)偏差分析的基礎(chǔ)上構(gòu)建落點(diǎn)偏差的數(shù)學(xué)模型，并探討上述因素對(duì)命中概率影響規(guī)律，為該彈種研發(fā)與使用提供參考。

1 圖像自尋的火箭彈落點(diǎn)偏差分析

1.1 落點(diǎn)偏差產(chǎn)生過程

圖像自尋的火箭彈的導(dǎo)引頭探測(cè)設(shè)備采用捷聯(lián)方式，探測(cè)設(shè)備光軸與火箭彈主軸保持一致，因此在末段自尋的攻擊過程中，火箭彈主軸偏離彈目視線的角度(即跟蹤角誤差)的大小決定了火箭彈偏離目標(biāo)的程度。導(dǎo)引頭采用追蹤導(dǎo)引律[4]，使火箭彈始終保持對(duì)目標(biāo)的閉環(huán)跟蹤。然而隨著火箭彈與目標(biāo)距離的縮小，目標(biāo)會(huì)充滿探測(cè)器視場(chǎng)，從而使偵察導(dǎo)引頭無法提取足夠的目標(biāo)特征，以致在相應(yīng)的飛行時(shí)間內(nèi)導(dǎo)引系統(tǒng)無法完成一個(gè)修正過程，則此時(shí)導(dǎo)引系統(tǒng)不能有效工作，此時(shí)的彈目距離稱為導(dǎo)引盲距[5]。在導(dǎo)引盲距以內(nèi)，火箭彈以慣性運(yùn)動(dòng)直至攻擊目標(biāo)。

因此火箭彈在進(jìn)入導(dǎo)引盲距瞬時(shí)的跟蹤角誤差與導(dǎo)引盲距，以及在導(dǎo)引盲距內(nèi)空氣阻力、重力、風(fēng)速、風(fēng)向等因素，會(huì)使火箭彈落點(diǎn)與目標(biāo)中心產(chǎn)生一定的距離，即落點(diǎn)偏差。

1.2 落點(diǎn)偏差數(shù)學(xué)描述模型

1.2.1 末段彈道模型簡(jiǎn)化及分析

由于導(dǎo)引頭采用追蹤導(dǎo)引律，火箭彈的速度矢量始終對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，因此在導(dǎo)引盲距范圍內(nèi)，若不考慮重力及空氣阻力、風(fēng)速風(fēng)向等影響，火箭彈沿速度方向以直線軌跡攻擊目標(biāo)。然而，火箭彈在外界影響下，會(huì)以拋物線軌跡攻擊目標(biāo)。若將其簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)彈道，根據(jù)外彈道理論，建立非標(biāo)準(zhǔn)條件下的地面直角坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)外彈道運(yùn)動(dòng)方程組(自由落體段)如下[6]：

(1)

式中：v為火箭彈運(yùn)動(dòng)速度；vx為縱向速度；vz為橫向速度；vy為垂直速度;ρ為空氣密度；d為彈徑；m為彈箭質(zhì)量；CD為阻力系數(shù)；g為重力加速度；Wx、Wz為橫風(fēng)風(fēng)速。

假設(shè)Wx=0 m/s，Wz=10 m/s，火箭彈在進(jìn)入導(dǎo)引盲距瞬時(shí)坐標(biāo)為 (0，300，0)，速度v0=500 m/s、俯仰角θ0=-80°、偏航角為0°.根據(jù)相關(guān)已知條件，根據(jù)上述彈道模型進(jìn)行彈道解算，可得在縱向上由重力及空氣阻力影響而產(chǎn)生的落點(diǎn)偏差量Δx約為0.589 m；在橫向上由橫風(fēng)影響而產(chǎn)生的落點(diǎn)偏差量Δz約為0.025 m。同理，可以計(jì)算不同初始高度y0條件下，落點(diǎn)偏差Δx、Δz如表1所示。

表1 不同初始高度條件下的落點(diǎn)偏差

可以看出隨著高度y0的增加，|Δx|不斷增大。當(dāng)高度達(dá)到500 m時(shí)，|Δx|達(dá)到了2 m，而|Δz|雖然也增大，但是其值較小，|Δz|<0.1 m，因而可以忽略。

1.2.2 落點(diǎn)偏差數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化模型

在導(dǎo)引盲距內(nèi)，可運(yùn)用直線彈道法分析落點(diǎn)偏差與跟蹤導(dǎo)引角誤差的關(guān)系。設(shè)導(dǎo)引盲距為L(zhǎng)，在到達(dá)導(dǎo)引盲距瞬間火箭彈導(dǎo)引頭位置為M點(diǎn)，火箭彈落點(diǎn)偏差與對(duì)目標(biāo)的跟蹤導(dǎo)引角誤差關(guān)系如圖1所示。

圖1中，αz和αx分別為橫向與縱向跟蹤導(dǎo)引角誤差。T(xt,yt,zt)點(diǎn)為目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)，B(xb,yb,zb) 點(diǎn)為理論炸點(diǎn)坐標(biāo)。Dx、Dz分別為縱向與橫向的落點(diǎn)偏差量，其中Dx由重力及空氣阻力影響而產(chǎn)生的落點(diǎn)偏差量Δx與縱向?qū)б钦`差引起的偏差量共同組成，則Dx-Δx即為縱向?qū)б钦`差引起的偏差量。設(shè)θm為彈目視線與垂直線夾角，則對(duì)單個(gè)落點(diǎn)存在如下關(guān)系：

(2)

由于αx、αz是火箭彈導(dǎo)引角系統(tǒng)偏差(設(shè)為βx、βz)和隨機(jī)偏差(設(shè)為γx、γz)綜合影響的結(jié)果，且數(shù)值較小，因此式(2)轉(zhuǎn)換為[7]:

由于在彈道末段，圖像末制導(dǎo)火箭彈以大俯仰角(約為-80°)運(yùn)動(dòng)攻擊目標(biāo)，因此θm值較小，對(duì)Dx影響微小；同時(shí)，βx、βz和γx、γz數(shù)值較小，為便于后續(xù)分析，將式(3)簡(jiǎn)化為：

(4)

在對(duì)Dx和Dz分別進(jìn)行足夠多次的采樣處理后，可得出落點(diǎn)系統(tǒng)誤差(μx，μz)近似值:

(5)

以及落點(diǎn)隨機(jī)誤差(σx，σz)近似值:

(6)

式中，θx和θz分別為縱向和橫向跟蹤導(dǎo)引角隨機(jī)誤差均方根值。

2 命中概率數(shù)學(xué)模型及分析

2.1 概率密度函數(shù)

以目標(biāo)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系xOz，其中x為縱向，z為橫向，并假設(shè)落點(diǎn)偏差符合正態(tài)分布，則彈著點(diǎn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)可表示為[8]：

(7)

式中，ρ( 0≤|ρ|≤1)為橫向、縱向落點(diǎn)偏差的相關(guān)系數(shù)[9]。

為了避免在x和z不相互獨(dú)立(即0<|ρ|<1)時(shí)的復(fù)雜計(jì)算過程，假定ρ= 0，這往往可以通過合理設(shè)計(jì)控制律、控制好彈體姿態(tài)、避免彈體滾轉(zhuǎn)來保證。此時(shí)，式(7)可簡(jiǎn)化為:

(8)

2.2 命中概率計(jì)算模型

導(dǎo)彈命中精度常采用圓概率誤差CEP (Circular Error Probable，CEP)表示[8]。 圖像自尋的火箭彈雖然在性能上具有導(dǎo)彈特點(diǎn)，而炮兵射擊理論卻習(xí)慣于對(duì)一定正面和縱深的矩形目標(biāo)進(jìn)行命中概率的計(jì)算分析[10]。為便于交流，采用此方法。設(shè)目標(biāo)幅員的正面和縱深分別為2Lz和2Lx，根據(jù)式(8)所示概率密度函數(shù)，對(duì)于靜止目標(biāo)則有一發(fā)圖像末制導(dǎo)火箭彈命中目標(biāo)的概率為：

(9)

根據(jù)式(9)，給定σx，σz，μx，μz這4個(gè)參數(shù)，在落點(diǎn)偏差服從正態(tài)分布條件下即可求出對(duì)應(yīng)的P，即命中概率值，同時(shí)，也可以依據(jù)給定P值，分解確定火箭彈末制導(dǎo)段系統(tǒng)誤差(μx，μz)和隨機(jī)誤差(σx，σz)[7].

對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，設(shè)vt為速度，φ為速度與坐標(biāo)z軸夾角，t為火箭彈在導(dǎo)引盲距L內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則在時(shí)間t內(nèi)目標(biāo)在距離與方向上的運(yùn)動(dòng)距離為(vttsinφ，vttcosφ).根據(jù)誤差原理，可以把此運(yùn)動(dòng)距離歸為系統(tǒng)誤差，則有圖像末制導(dǎo)火箭彈對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的命中概率為：

(10)

根據(jù)式(10)，已知t、φ、σx、σz、μx、μz的條件下，可以分析速度vt對(duì)命中概率的影響，亦可反推速度閾值，從而確定火箭彈對(duì)不同運(yùn)動(dòng)速度目標(biāo)的適用性。

2.3 命中概率影響分析

在x和z軸向落點(diǎn)偏差符合正態(tài)分布且相互獨(dú)立不相關(guān)假定下，根據(jù)式(5)、(6)、(9)、(10)，即可通過MATLAB 7.0數(shù)學(xué)軟件計(jì)算和分析命中概率P與導(dǎo)引盲距、跟蹤角系統(tǒng)誤差、跟蹤角隨機(jī)誤差及目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系。

圖2為給定一組系統(tǒng)角誤差和隨機(jī)角誤差典型值情況下(假定βx、βz、θx和θz分別均為1.0°，vt=0)，命中概率P隨導(dǎo)引盲距L的變化情況(幅員分別為8 m×8 m與4 m×4 m)。對(duì)于8 m×8 m目標(biāo)，當(dāng)L≤100 m時(shí)，命中概率P不小于0.8，受L影響較??；當(dāng)100 m250 m時(shí)，P減小到 0.2.對(duì)于4 m×4 m目標(biāo)，其曲線變化類似，命中概率P受L影響更明顯。很顯然，要實(shí)現(xiàn)高的命中概率，應(yīng)盡量縮短導(dǎo)引盲距。

目標(biāo)幅員為8 m×8 m，vt=0，假定其他角誤差值均為1.0°，導(dǎo)引盲距L為100 m,命中概率P隨βz與θz的變化曲線如圖3所示。P隨縱向角誤差的變化曲線未給出，與此類似。總體來看，角誤差較小時(shí)(2°以內(nèi))，βz與θz對(duì)P的影響差不多；但是隨著角度誤差的增大(大于2°)，βz對(duì)P的影響較θz更大。

對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)而言，根據(jù)導(dǎo)引盲距L與火箭彈末段運(yùn)動(dòng)速度，可以確定火箭彈在導(dǎo)引盲距上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t.假定角誤差值均為1.0°，目標(biāo)幅員為8 m×8 m，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度與坐標(biāo)z軸夾角γ=0°，則L分別為50 m與100 m時(shí)，命中概率P隨目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度vt的變化曲線如圖4所示。

比較兩條曲線可以看出，在不同導(dǎo)引盲距條件下，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度vt對(duì)命中概率P影響差別較大。L=50 m情況下，當(dāng)-20 m/s≤vt≤40 m/s時(shí)，P≥0.85，受vt影響較小；超出此范圍，隨著運(yùn)動(dòng)速度絕對(duì)值的增大，P值迅速減小。考慮到μx、μz的影響及vt方向的不確定性，運(yùn)動(dòng)速度|vt|≤20 m/s，能夠保證命中精度P≥0.85.在L=100 m情況下，P受vt影響更大，運(yùn)動(dòng)速度|vt|≤5 m/s，才能夠保證命中精度P≥0.6.

通過對(duì)圖2～4分析可知，如果已知火箭彈的導(dǎo)引盲距、跟蹤導(dǎo)引系統(tǒng)角誤差和隨機(jī)角誤差均方值及目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度，則在落點(diǎn)偏差符合正態(tài)分布假設(shè)前提下，可根據(jù)前述數(shù)學(xué)關(guān)系式計(jì)算相應(yīng)的命中概率P值，預(yù)測(cè)是否能夠達(dá)到指標(biāo)要求。反之，給定對(duì)目標(biāo)(已知幅員與運(yùn)動(dòng)速度)的命中概率P值，可以分解確定對(duì)應(yīng)給定導(dǎo)引盲距的跟蹤導(dǎo)引角誤差(系統(tǒng)誤差及隨機(jī)誤差均方值) 的指標(biāo)要求。利用軟件計(jì)算分析知：

1)系統(tǒng)與隨機(jī)角誤差的指標(biāo)上限在P指標(biāo)的限制下隨導(dǎo)引盲距增大而減小。

2)由于系統(tǒng)角誤差和隨機(jī)角誤差綜合影響落點(diǎn)偏差，因此滿足P指標(biāo)要求下，一個(gè)小些，另一個(gè)就可大些。

3 圖像自尋的段命中概率仿真計(jì)算

3.1 導(dǎo)引盲距計(jì)算

導(dǎo)引盲距L與火箭彈控制特性、末段速度、偵察導(dǎo)引性能、目標(biāo)及背景的特性等有關(guān)。因此可以根據(jù)上述條件估算導(dǎo)引盲距。

根據(jù)制導(dǎo)控制周期與末段速度(會(huì)受射程等因素影響,在此取680 m/s)可得導(dǎo)引盲距L1：

L1≈周期×末段速度=

(20/1 000)s×680 m/s=13.6 m.

根據(jù)探測(cè)視場(chǎng)角(10°)與目標(biāo)幅員(8 m×8 m)可得導(dǎo)引盲距L2：

L2≈4 m×cot(10°/2×π/180) =45.7 m，

則L取L1與L2中較大值：L=L2=45.7 m.

因此，可以采用L≈50 m的數(shù)據(jù)對(duì)跟蹤導(dǎo)引角誤差指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3.2 導(dǎo)引角誤差指標(biāo)分析

對(duì)于8 m×8 m的靜止目標(biāo)，要求命中概率P值為0.5，在L=50 m,Δx=-0.04 m時(shí)，則利用MATLAB對(duì)角誤差指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算分析，結(jié)果如表2所示。

表2 跟蹤導(dǎo)引角誤差和落點(diǎn)偏差分解計(jì)算值

從表2中可見，對(duì)于50 m的導(dǎo)引盲距，跟蹤導(dǎo)引角誤差(系統(tǒng)誤差+隨機(jī)誤差均方值)控制在4.5°以內(nèi)即可。

3.3 命中概率仿真

從表2中選取4組典型數(shù)據(jù)，運(yùn)用MATLAB軟件基于蒙特卡羅法分別進(jìn)行10 000次炸點(diǎn)散布仿真，其散布如圖5所示。

圖5中落入中間8 m×8 m正方形的模擬炸點(diǎn)數(shù)量N，即為命中的彈數(shù)。由命中概率P=N/10 000，得到4組命中概率P=[0.497 8，0.504 4，0.502 3，0.498 6].

4 結(jié)束語(yǔ)

在火箭彈落點(diǎn)偏差符合正態(tài)分布的假設(shè)條件下，結(jié)合圖像自尋的火箭彈的工作過程，依據(jù)建立的落點(diǎn)偏差模型與命中概率模型，仿真分析了命中概率與導(dǎo)引盲距、跟蹤導(dǎo)引角誤差及目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系，提出了滿足命中概率要求的跟蹤導(dǎo)引角誤差的技術(shù)指標(biāo)，并驗(yàn)證了指標(biāo)的科學(xué)性，為該彈種研發(fā)與使用提供了參考。另外，跟蹤導(dǎo)引角誤差影響因素的分析等問題還需要進(jìn)一步研究。