斐波納契數(shù)列

惠波

（武漢市中考題）陽陽和明明玩上樓游戲，規(guī)定一步只能上一級或二級，玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)樓梯的臺階數(shù)為一級、二級、三級……逐步增加時，樓梯的上法數(shù)依次為：1，2，3，5，8，13，21……（這就是著名的斐波納契數(shù)列）。請你仔細(xì)觀察這列數(shù)中的規(guī)律后回答：上10級臺階共有 種上法。

本題以數(shù)列為載體，需要探求數(shù)字之間蘊含的關(guān)系和規(guī)律。通過觀察、比較、猜想、歸納，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列排列的規(guī)律是：從第3個數(shù)字開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的和。故不難得出第10個臺階共有89種上法。

那么，什么是斐波納契數(shù)列？

1228年，意大利數(shù)學(xué)家斐波納契在《算法之書》中提出了一個著名的問題：假設(shè)一對剛出生的兔子，一個月后，長成大兔；再經(jīng)過一個月，生出了一對小兔。三個月過后，大兔又生一對小兔，而原先的小兔長成大兔……總之，每過一個月小兔可以長成大兔，而一對大兔，每一個月總生出一對小兔，并且不發(fā)生死亡，問這樣過了一年，共有多少對兔子？

我們畫出圖形，以便尋找兔子數(shù)的規(guī)律。圖中“●”表示小兔，“O”表示大兔。

顯然，某月后的兔子數(shù)由兩部分組成：大兔數(shù)和小兔數(shù)。而當(dāng)月的小兔數(shù)，就是上月的大兔數(shù)，因為上月有多少對大兔，下月就有多少對小兔；而當(dāng)月的大兔數(shù)，則是上月兔子總數(shù)，因為不管大兔、小兔，到下月都是大兔。根據(jù)這一結(jié)論，又可知道，上月的大兔數(shù)，總是前月的兔子總數(shù)。所以，當(dāng)月的兔子數(shù)等于上月的兔子數(shù)加上上月的大兔數(shù)，也就等于上月的兔子數(shù)加上前月的兔子數(shù)。

于是，不難得出開始、一月后、二月后……十二個月后的兔子對數(shù)：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

所以，本題的答案是233對。

由一對兔子繁殖問題而衍生出來的斐波納契數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一個熱門話題，它不但有趣，而且很有用，近年的不少數(shù)學(xué)競賽試題也與“斐波納契數(shù)列”有關(guān)。

例1 （湖北省四通杯）在春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備利用超大屏幕反復(fù)播放一個廣告節(jié)目，這個節(jié)目每次播放時間是10秒，如果開始只有一段10秒的錄像母帶，若用兩盤空白錄像帶在一臺錄像機上開始互錄，問應(yīng)如何操作，才能用最少的錄制遍數(shù)錄制一盤可以播放1小時的廣告節(jié)目？

解析：首先將母帶上的節(jié)目分別錄入兩個空白磁帶，然后將兩盤磁帶循環(huán)進(jìn)行轉(zhuǎn)錄，直至錄入所需要的時間長度為止。由于廣告節(jié)目每次播放時間是10秒，又需播放1小時，故錄制遍數(shù)為3600÷10=360（遍），從上面設(shè)計錄制過程容易得出每次錄入的遍數(shù)，它們剛好是“斐波納契數(shù)列”。分別是F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)3=2，F(xiàn)4=3……，F(xiàn)11=89，F(xiàn)12=144，F(xiàn)13=233，F(xiàn)14=377；由377>360，故陸續(xù)錄制14次即可完成。

例2 （江蘇省數(shù)學(xué)競賽）現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成n（n>1）段，每段的長為不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求的最大值，此時有幾種方法將鐵絲截成滿足條件的n段？

解析：欲使n盡可能的大，則每一段應(yīng)盡可能地短。又由于每段長為不小于1cm，故最短的一段應(yīng)取1cm，假設(shè)含有1cm的起始三段長為1，x，y，且1≤x≤y.為了使這三段不能構(gòu)成三角形，則1+x≤y.又x，y盡可能地短，因此可取x=1，y=2，于是這n段可按1，1，2，3，5，8，13，…截取，它們剛好符合“斐波納契數(shù)列”。又因為1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143<150，而1+1+2+3+…+55+89=232>150，故n的最大值為10，因此將長為150的鐵絲分為滿足條件的10段共有以下7種方法：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，62

1，1，2，3，5，8，13，21，35，61

1，1，2，3，5，8，13，21，36，60

1，1，2，3，5，8，13，21，37，59

1，1，2，3，5，8，13，22，35，60

1，1，2，3，5，8，13，22，36，59

1，1，2，3，5，8，13，22，36，58