物塊沿粗糙可動斜面下滑問題探討

鄒兆貴

摘? 要：通過分析與計算得到了物塊沿粗糙可動斜面下滑時的運動規(guī)律，并進一步討論了斜面與物塊的質量比對結論的影響。

關鍵詞：粗糙;斜面;下滑

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2019）4-0058-3

物塊在斜面上的運動問題是高中物理非常常見的一類問題，重點考查受力分析、牛頓運動定律。當斜面固定時，問題處理往往比較簡單。當斜面不固定，同時斜面光滑時，文獻[1-3]已經(jīng)準確得到了物塊與斜面的運動情況。當斜面不固定，同時斜面與物塊之間存在摩擦時，情況又如何呢？以下是一道典型例題。

1? ? 問題來源

如圖1所示，一質量為M的粗糙斜面靜止在光滑的水平面上，把一質量為m的物塊從斜面頂端無初速度釋放，問物塊m和斜面M分別做什么運動？加速度多大？（假設物塊m和斜面M之間的動摩擦因數(shù)為μ，斜面傾角為θ）

2? ? 問題分析與解答

如圖2所示，取一小段時間內，設物塊m從頂端下滑到圖2所示位置時刻，斜面M的水平加速度大小為a2，物塊m相對于斜面M沿斜面向下的加速度大小為a3，物塊m相對于地面的加速度大小為a1。a1的水平分量大小為a1x，豎直分量大小為a1y。斜面M對物塊m的支持力為FN，滑動摩擦力為Ff。物塊m對斜面M的壓力為FN1，滑動摩擦力為Ff1。地面對斜面M的支持力為FN2。

當sinθ-μcosθ>0，即μ

3? ? 進一步探討

物塊m從斜面頂端無初速度釋放，下滑至斜面M底端時，物塊m與斜面M的速度v1、v2分別為多少？（假設物塊m和斜面M之間的動摩擦因數(shù)為μ，斜面傾角為θ，斜面的長度為L）

為進一步研究v1、v2與斜面和物塊質量的比值的關系，令斜面M與物塊m的質量比 當θ=37°、μ=0.5時，作出物塊m與斜面M的速度v1、v2隨k的變化圖像，如圖3所示（取g=9.8 m/s2）。

從圖3看到，隨著k的增大，v2一直不斷減小。而v1隨著k的增大，先不斷減小，取得極小值后再不斷增大。

當θ=37°、μ=0.5時，作出物塊m相對于地面的加速度a1、相對于斜面M沿斜面向下的加速度a3、斜面M加速度a2隨k的變化圖像，如圖4所示（取g=9.8 m/s2）。

從圖4看到，隨著k的增大，a1、a2、a3均不斷減小。但是，隨著k的增大，a2 不斷減小到0，而a1、a3分別減小到某一個不為0的常數(shù)。當k→∞，即M>>m時，相當于斜面固定不動，物塊m以大小為a1=a3=gsinθ-μgcosθ的加速度沿斜面下滑。

作出物塊m加速度a1、a1的水平分量a1x、豎直分量a1y隨k的變化圖像，如圖5所示。

從圖5看到，隨著k的增大， a1、a1y不斷減小，但是a1x卻不斷增大。k→0，即M<a1x;當k增大到一定值時，a1y=a1x;此后隨著k的增大，a1y

當θ=37°、μ=0.5時，由（10）式知t= ，結合圖4知，隨著k的增大， a1y不斷減小，故t不斷增大。（下轉第62頁）

（上接第59頁）

4? ? 結束語

物塊沿粗糙可動斜面下滑，物塊與斜面均做勻加速直線運動。隨著斜面與物塊兩者質量比值的增大，物塊與斜面的加速度均不斷減小，而物塊相對于地面的水平加速度卻是增大的。同時，物塊下滑到斜面底端所用的時間隨著斜面與物塊兩者質量比值的增大而增大，物塊下滑到底端時的速度隨著斜面與物塊兩者質量比值的增大先減小后增大。當物塊下滑到斜面底端時，斜面對應的速度卻是隨兩者質量比值的增大不斷減小。當斜面的質量遠大于物塊質量時，物塊相當于沿固定斜面下滑。以上是對物塊沿粗糙可動斜面下滑問題的探討，以饗讀者。

參考文獻：

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（欄目編輯? ? 羅琬華）

收稿日期：2018-12-10

作者簡介：鄒兆貴（1986-），男，中學一級教師，主要從事高中物理教育教學工作。