輔助圖在數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中的應(yīng)用

王曉君

[摘 要]輔助圖的作用是把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形相結(jié)合，運(yùn)用圖形直觀的特點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到化隱為顯、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體的目的，從而快速、簡(jiǎn)便地解決問題。在數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生借助直觀的輔助圖來探究、分析抽象問題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]輔助圖;數(shù)學(xué)教學(xué);解決問題;應(yīng)用;價(jià)值

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）15-0033-02

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！边@充分說明“數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的，因?yàn)楹?jiǎn)單的圖形中蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)思想方法，且圖像語言為數(shù)學(xué)思維的表達(dá)提供了便利。因此，在數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中，教師借助輔助圖引導(dǎo)學(xué)生分析問題，不僅能讓學(xué)生易于理解題意，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，而且可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率。

一、輔助圖在數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中的價(jià)值

在數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中，把題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，通過直觀的圖形去分析問題、解決問題，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來，使得抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化，從而有利于探求解題的思路。

對(duì)于小學(xué)生來說，他們的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的時(shí)期，所以對(duì)于稍復(fù)雜的解決問題就會(huì)束手無策，甚至無法理解題意。因此，在數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中，教師可突出輔助圖的作用，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和理解，從而明晰題中的數(shù)量關(guān)系，獲得正確的解決問題的方法。正所謂“按圖索驥，順藤摸瓜”，這樣不僅很多問題可以迎刃而解，而且培養(yǎng)了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。

二、輔助圖在數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中的應(yīng)用

1.提高審題能力

低段學(xué)生的審題能力較差，問題的抽象表述往往讓他們無法理解題意，再加上他們剛學(xué)會(huì)加法，所以解決問題時(shí)容易出現(xiàn)不顧問題的表述，直接用加法來解決的情況。如果教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)使用輔助圖分析問題，這對(duì)提高學(xué)生的審題能力、幫助他們理解用加法解決問題有很大的作用。

案例：教學(xué)加法的解決問題

秋天到了，小朋友們?nèi)ス麍@里摘蘋果。3個(gè)小朋友一共摘了12個(gè)蘋果，其中小明摘了3個(gè)蘋果，小花摘了5個(gè)蘋果。那么，豆豆摘了幾個(gè)蘋果呢？

要求“豆豆摘了幾個(gè)蘋果”，就是從總數(shù)12個(gè)里減去小明摘的3個(gè)蘋果，再減去小花摘的5個(gè)蘋果，剩下的就是豆豆摘的蘋果數(shù)。若直接出示題目而不出示圖，有一部分學(xué)生就會(huì)不明白、不理解題意，甚至出現(xiàn)連加的錯(cuò)誤解法。因此，教師可出示12個(gè)蘋果，讓學(xué)生分一分、畫一畫。如下圖：

[一共12個(gè)][小明摘了3個(gè) ? ? ? ? ? ? ? ? 小花摘了5個(gè) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 豆豆摘了幾個(gè)？]

在輔助圖的幫助下，學(xué)生很快理解了題意，即知道總數(shù)求其中的一部分，甚至出現(xiàn)了12-3-5=4以及3+5=8、12-8=4這兩種解法。這兩種解法都可以用來解決這個(gè)問題，并且直觀地驗(yàn)證了算式結(jié)果的正確與否。

上述教學(xué)，利用輔助圖讓原本枯燥的解決問題變得趣味橫生，不僅有助于學(xué)生理解題意，得出正確的答案，而且有利于學(xué)生內(nèi)化所學(xué)的知識(shí)，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性、挑戰(zhàn)性。

2.分析數(shù)量關(guān)系

線段圖作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助工具，如今已被大多數(shù)學(xué)生所棄，因?yàn)樵趯W(xué)生心目中“套用”是最管用的，從而導(dǎo)致在解題過程中忽視分析題意。然而，線段圖有著廣泛的應(yīng)用，常用于輔助分析題中的數(shù)量關(guān)系，如“相遇問題”“追及問題”“和倍問題”等，能將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化、直觀化，所以不能忽視。

案例：教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法的解決問題

學(xué)校合唱隊(duì)有隊(duì)員18人，游泳隊(duì)的人數(shù)是合唱隊(duì)的[56]，乒乓球隊(duì)的人數(shù)是游泳隊(duì)的[23]。乒乓球隊(duì)有多少人？

教師先畫一條線段，表示合唱隊(duì)的總?cè)藬?shù)并作為單位“1”，再根據(jù)“游泳隊(duì)的人數(shù)是合唱隊(duì)的[56]”，把合唱隊(duì)的總?cè)藬?shù)平均分成6份，畫出與這樣的5份同樣長(zhǎng)的線段;然后根據(jù)“乒乓球隊(duì)的人數(shù)是游泳隊(duì)的[23]”，把游泳隊(duì)的人數(shù)作為單位“1”并平均分成3份，再畫出與這樣的2份同樣長(zhǎng)的線段。如下圖：

教師引導(dǎo)學(xué)生從已知條件或問題分析，使學(xué)生明白要求乒乓球隊(duì)的人數(shù)，必須先求出游泳隊(duì)的人數(shù)。根據(jù)“游泳隊(duì)的人數(shù)是合唱隊(duì)的[56]”，把“學(xué)校合唱隊(duì)有隊(duì)員18人”作為單位“1”，那么求游泳隊(duì)的人數(shù)就是求18的[56]是多少，所以用乘法計(jì)算，列式為18×[56]=15（人）;再根據(jù)“乒乓球隊(duì)的人數(shù)是游泳隊(duì)的[23]”，把游泳隊(duì)的人數(shù)作為單位“1”，求乒乓球隊(duì)的人數(shù)就是求15的[23]是多少，所以也用乘法計(jì)算，列式為15×[23]=10（人）。這里，通過直觀的線段圖，不僅可以吸引學(xué)生的注意力，很好地幫助學(xué)生找到題中的數(shù)量關(guān)系和變化的單位“1”，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，還能拓展學(xué)生的解題思路，使學(xué)生真正掌握這一類題型的解決方法。因此，在分析問題過程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)與形結(jié)合起來考慮，將數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化成圖形問題，這樣不僅可以使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，還能提高學(xué)生的思維能力。

3.理清解題思路

解決問題時(shí)，學(xué)生對(duì)于多樣化的解題方法掌握得不是很好，常表現(xiàn)為有一種解題方法就滿足了，很少仔細(xì)去聽、去理解其他同學(xué)不同的解題方法。如在點(diǎn)子圖、方格圖、面積圖中找出不同的解決方法，既有助于學(xué)生理清解題思路，又有利于學(xué)生對(duì)不同的解題思路進(jìn)行對(duì)比、優(yōu)化。

案例：教學(xué)連乘的解決問題

我們學(xué)校的廣播操方陣，每行10人，有4行，有3個(gè)方陣，一共有多少人？

教師要求學(xué)生用一個(gè)圓點(diǎn)表示一個(gè)人，在點(diǎn)子圖上圈出先算的部分，列出算式，再對(duì)著點(diǎn)子圖說說是怎么想的。

解法（1）：根據(jù)“每行10人，有4行”，先算出一個(gè)方陣有多少人。

解法（2）：根據(jù)“每行10人，有3個(gè)方陣”，先算出一大行有多少人。

解法（3）：根據(jù)“一個(gè)方陣有4行，有3個(gè)方陣”，先算出一共有幾小行。

在學(xué)生交流反饋后，教師將三種解法的點(diǎn)子圖放在一起，引導(dǎo)學(xué)生比較這三種解法相同和不同之處，使每位學(xué)生都能直觀地理解每一個(gè)解題步驟的意思。

上述教學(xué)連乘解決問題時(shí)，教師將教學(xué)重點(diǎn)定為“使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，學(xué)會(huì)用兩步連乘的方法解決問題”，將教學(xué)難點(diǎn)定為“使學(xué)生會(huì)分析連乘問題的數(shù)量關(guān)系，能借助簡(jiǎn)單的圖理解解題的思路，培養(yǎng)初步的數(shù)形結(jié)合的思維能力”。通過對(duì)學(xué)生的調(diào)查和教學(xué)實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)連乘問題的計(jì)算技能掌握得較好，但對(duì)連乘問題的解題思路是比較模糊的。為了更好地引導(dǎo)學(xué)生感悟解題方法的多樣化，理清解題思路，教師整堂課始終注意暴露學(xué)生的思維，有意識(shí)地用點(diǎn)子圖來幫助學(xué)生理解每一個(gè)解題步驟的含義，這樣既使學(xué)生明晰每一種方法中的數(shù)量關(guān)系，為后面的進(jìn)一步探究做好準(zhǔn)備，又培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。同時(shí)，教師利用多媒體課件，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，揭示知識(shí)的本質(zhì)和知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生真正理解和掌握所學(xué)知識(shí)。

4.簡(jiǎn)化解題過程

利用輔助圖解決問題，既可以將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成具體的圖形，簡(jiǎn)化解題過程，又能使學(xué)生對(duì)題意理解透徹，記憶深刻。

案例：教學(xué)分?jǐn)?shù)加減法的解決問題（填空題）

一杯牛奶，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上次剩下的一半。小明喝了四次后，剩下的牛奶占這杯牛奶的幾分之幾？

很多學(xué)生看到這樣的問題覺得比較棘手，因?yàn)橛盟闶絹斫忸}的話，不容易理解題意，而用圖形來分析思考就會(huì)簡(jiǎn)單許多，使學(xué)生感受到用輔助圖解題的作用和優(yōu)勢(shì)。

可用一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形來分析，如用一個(gè)正方形（如右圖）：一個(gè)正方形表示一杯牛奶，那么第一次喝了一半，剩下的就是二分之一;第二次剩下的就是二分之一的一半，即四分之一;第三次剩下的就是四分之一的一半，即八分之一;第四次剩下的就是八分之一的一半，即十六分之一。

這樣通過輔助圖，學(xué)生不僅理解了題意，而且容易得出剩下的牛奶占這杯牛奶的幾分之一，即陰影部分占整個(gè)正方形的幾分之幾。因此，在解決問題中運(yùn)用輔助圖，能把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，有利于學(xué)生找到題中的數(shù)量關(guān)系，加快解題的速度，提高解題的正確率。

總之，輔助圖的作用是把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形相結(jié)合，運(yùn)用圖形直觀的特點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到化隱為顯、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體的目的，從而快速、簡(jiǎn)便地解決問題。因此，在數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生借助直觀的輔助圖來探究、分析抽象問題的能力。尤其是當(dāng)學(xué)生遇到不易解決的問題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)他們聯(lián)系實(shí)際分析題意，并通過輔助圖明晰題中的數(shù)量關(guān)系，理清解題思路，最后正確、迅速地解決問題。

（責(zé)編 杜 華）