一類分數(shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題解的存在性與唯一性

仝 榮，胡衛(wèi)敏

（伊犁師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計分院，新疆 伊寧 835000）

0 引言

近年來，分數(shù)階微分方程在流體力學、流變學、粘彈性力學、生物、生態(tài)和工程等領(lǐng)域均有著廣泛的應用。同時分數(shù)階微分方程邊值問題的理論研究也取得了許多有意義的成果，因此關(guān)于分數(shù)階微分方程反周期邊值問題的研究受到了越來越多國內(nèi)外學者的關(guān)注［1-4］。然而，對于非線性項含有分數(shù)階導數(shù)的分數(shù)階微分方程的反周期邊值問題的研究，特別是在脈沖條件下的研究成果相對較少。因此，本文對此類分數(shù)階微分方程做了進一步研究。

文獻［5］研究了分數(shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題

解的存在性，其中為Caputo 型分數(shù)階導數(shù)。

文獻［6］研究了分數(shù)階微分方程反周期邊值問題

解的存在性，其中1 ＜α＜2,0 ＜β＜α-1為Caputo 型分數(shù)階導數(shù)。

文獻［7］研究了分數(shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題

解的存在性，其中CDα為Caputo 型分數(shù)階導數(shù)。

本文研究分數(shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題

解的存在性和唯一性，其中f∶[0, +∞)×[0, +∞)→[0, +∞)是連續(xù)函數(shù)為標準的Caputo 型分數(shù)階微分。其脈沖項為

為方便起見，引入下列記號，J=[0,1] ，0 ＜t1＜t2…＜tk＜…＜tm＜1 ，令t0=0,tk+1=1 ，J0=[0,t1] ，J1=(t1,t2]，J2=(t2,t3],…,Jk=(tm,1]，J′=[0,1]{ }t1,t2,…,tm。

1 預備知識

定義1［8］函數(shù)f∶(0 , +∞)→R 的α(α＞0)階 Caputo 分數(shù)階導數(shù)定義為

式中，n=[α]+1，[α]表示α的整數(shù)部分。

定義2［8］函數(shù)f∶(0 , +∞)→R 的α(α＞0)階 Riemann-Liouville 積分定義為

式中，右邊是在[0，+∞)上逐點定義的。

引理1［5］令α＞0 ，如果u∈C[0,1]?L(0,1) ，則分數(shù)階微分方程有唯一解

引理2［2］若則有

式中，N 是大于或等于α的最小整數(shù)。

引理3［6］令E是Banach 空間，假設 Ω 是E的有界開集，θ∈Ω ，并且令T∶→E是全連續(xù)算子，使得‖Tu‖≤‖u‖ ,?u∈?Ω成立，則算子T在上存在不動點。

引理 4［7］假設E是一個 Banach 空間，T∶E→E是全連續(xù)算子，且集合是有界的，則T在E上至少存在一個不動點。

引理5［9］（Banach 壓縮映射原理） 設(X,d)是完備的度量空間，若T∶X→X是一個壓縮映射，則T在X中有且只有唯一不動點。

引理6設f∈C[0,T],2 ＜α＜ 3,1 ＜β＜2,則分數(shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題

有唯一解，即

證明由引理2 知

由脈沖條件得

因此，

由邊值條件u′(0)=-u′(T)得

因此，

由邊值條件u(0)=-u(T)得

綜上，當k=1,2,…,m時，反周期邊值問題（1）的解為

2 主要結(jié)果

定義算子T∶PC(J,R)→PC(J,R)，對 ?u∈PC(J,R)，令

定理1若則分數(shù)階微分方程反周期邊值問題（1）至少存在一個解。

證明 第一步證明T:PC(J,R)→PC(J,R)是一個全連續(xù)算子。

設Ω?PC(J,R)是有界集，即對 ?t∈J,u∈Ω，存在正常數(shù)Li＞0(i=1,2,3,4)，使得|f(t,u)|≤L1,|Ik(u)|≤L2,|Qk(u)|≤L3,|Jk(u)|≤L4成立。因此，

另一方面，?t∈Jk,0 ≤k≤m，則有

第二步證明T等度連續(xù)。

對 ?t1,t2∈Jk，且t1＜t2,0 ≤k≤m，有因此，T在J(k=1,k2,…,m)上等度連續(xù)。

由Arzela-Ascoli 定理知，T:PC(J,R)→PC(J,R)是全連續(xù)算子。又因為

即對?ε＞0，存在一個常數(shù)r＞0，使得對于成立。滿足

所以，‖Tu‖ ≤‖u‖ ,u∈?Ω。

因此，由引理3 知，算子T在上至少存在一個不動點，即反周期邊值問題（1）至少有一個解u∈。

定理2假設存在正常數(shù)Li(i=1,2,3,4)，對 ?t∈J,u∈R,k=1,2,…,m，使得

則分數(shù)階脈沖微分方程反周期邊值問題（1）至少存在一個解。

證明由定理1 知，算子是全連續(xù)的。設是有界的。即若u∈V，則u=μTu,0 ＜μ＜1 。對 ?t∈J，有

因此，對 ?t∈J，有

即V是有界的。

所以，由引理4 知，算子T至少存在一個不動點，即反周期邊值問題（1）至少有一個解。

定理3假設存在正常數(shù)Ki(i=1,2,3,4)，對t∈J,u,v∈R,k=1,2,…,m，使得

這里有

則反周期邊值問題（1）有唯一解。

證明對 ?u,v∈R，有

因此，‖Tu-Tv‖ ≤Λ‖u-v‖ 。

即T是一個壓縮映射。由引理5 知，映射T存在唯一不動點，即反周期邊值問題（1）有唯一解。