質(zhì)點(diǎn)和剛體碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)30屆全國物理競(jìng)賽復(fù)賽第2題說起
——從第

(杭州市蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué) 浙江 杭州 311202)

黃 晶

(杭州學(xué)軍中學(xué) 浙江 杭州 312000)

汪 飛

(江蘇省海門中學(xué) 江蘇 南通 226100)

1 細(xì)致思考 提出問題

【例1】(第30屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第2題)一長(zhǎng)為2l的輕質(zhì)剛性細(xì)桿位于水平的光滑桌面上，桿的兩端分別固定一質(zhì)量為m的小物塊D和一質(zhì)量為αm(α為常數(shù))的小物塊B，桿可繞通過小物塊B所在端的豎直固定轉(zhuǎn)軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為m的小環(huán)C套在細(xì)桿上(C與桿密接)，可沿桿滑動(dòng)，環(huán)C與桿之間的摩擦可忽略.一輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為l，勁度系數(shù)為k，兩端分別與小環(huán)C和物塊B相連.

一質(zhì)量為m的小滑塊A在桌面上以垂直于桿的速度飛向物塊D，并與之發(fā)生完全彈性正碰，碰撞時(shí)間極短. 碰撞時(shí)滑塊C恰好靜止在距軸為r(r>l)處.

(1)若碰前滑塊A的速度為v0，求碰撞過程中軸受到的作用力的沖量；

(2)若碰后物塊D,C和桿剛好做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求碰前滑塊A的速度v0應(yīng)滿足的條件.

第(1)問參考解答(部分)：

由于碰撞時(shí)間Δt很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結(jié)束. 設(shè)碰后A,C,D的速度分別為vA,vC,vD，顯然有

(1)

以A,B,C,D為系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)相對(duì)于軸不受外力矩作用，其相對(duì)于軸的角動(dòng)量守恒

mvD2l+mvCr+mvA2l=mv02l

(2)

由于軸對(duì)系統(tǒng)的作用力不做功，系統(tǒng)內(nèi)僅有彈力起作用，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒. 又由于碰撞時(shí)間Δt很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結(jié)束，所以不必考慮彈性勢(shì)能的變化. 故

(3)

由式(1)、(2)、(3) 解得

(4)

[可利用彈性碰撞特點(diǎn)v0=vD-vA代替式(3) ，同樣可解出式(4)]

……(略)

問題由來：上述試題解答過程本身并不存在錯(cuò)誤，不過其中最后一點(diǎn)補(bǔ)充說明讓人心生狐疑，其說道,可利用彈性碰撞特點(diǎn)v0=vD-vA代替式(3)，即能量守恒一式，讓人產(chǎn)生疑問的緣由在于式(3)利用了完全彈性碰撞過程中接近速度與分離速度相等這一特性，即恢復(fù)系數(shù)e=1.恢復(fù)系數(shù)的概念建立在質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)碰撞的過程之上[1]，而在該題中，其物理過程屬于質(zhì)點(diǎn)與剛體的碰撞，恢復(fù)系數(shù)的概念在其中是否同樣適用，很多教材中并沒有給出相關(guān)的說明.

由于上述疑問，筆者認(rèn)為有必要通過分析將恢復(fù)系數(shù)的概念從質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的碰撞拓展到質(zhì)點(diǎn)與剛體相碰的過程中，以消除疑慮.

2 建立模型 消除疑惑

如圖1所示，一小球與桿發(fā)生完全彈性正碰，已知小球質(zhì)量為m，桿質(zhì)量為M，桿相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，碰撞前，小球速度為v，桿質(zhì)心的速度為vC，桿角速度為ω，碰撞點(diǎn)O距桿的質(zhì)心距離為r，設(shè)碰撞之后，小球速度為v′，桿質(zhì)心的速度為vC′，桿角速度為ω′，碰撞過程中小球與桿之間沖量大小為I.

圖1 小球與桿發(fā)生彈性正碰

對(duì)小球分析，由動(dòng)量定理

-I=mv′-mv

(5)

對(duì)桿分析，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

I=MvC′-MvC

(6)

由沖量矩定理

Ir=Jω′-Jω

(7)

對(duì)系統(tǒng)分析，碰撞前后能量守恒

(8)

由式(5)、(6)、(7)可得

再將結(jié)果代入式(8)中整理得到

(9)

同理可得

(10)

注意到vC+ωr為桿上碰撞點(diǎn)對(duì)地速度，故

v-vC-ωr=v-(vC+ωr)

為碰撞前的小球與桿上碰撞位置的接近速度

為碰撞后桿與小球的分離速度，由式(9)和式(10)得到

即小球與桿碰撞前后接近速度等于分離速度，與質(zhì)點(diǎn)之間完全彈性碰撞結(jié)論一致[2].

上述分析過程與桿質(zhì)量分布、形狀、碰撞位置均無關(guān)，故可將這一分析推廣到更為一般的質(zhì)點(diǎn)與剛體的碰撞過程中，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)與剛體的完全彈性碰撞過程，利用已知的守恒定律及其他條件完全可以得到結(jié)論，碰撞前后接近速度等于分離速度這一條件并非獨(dú)立方程，故上述分析的意義在于在實(shí)際計(jì)算過程中，可利用這一條件替換能量守恒方程，從而起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用.

3 小試牛刀 歸納總結(jié)

【例2】(第23屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第2題)如圖2所示，一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，長(zhǎng)為2l，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為m的小球B,D和C，開始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上.桌面上另有一質(zhì)量為M的小球A，以一給定速度v0沿垂直于桿DB的方間與右端小球B作彈性碰撞.求剛碰后小球A,B,C,D的速度，并詳細(xì)討論以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況.

圖2 例2題圖

參考答案提供解答(部分)：

設(shè)剛碰撞后，小球A,B,C,D的速度分別為vA,vB,vC,vD，并設(shè)它們的方向都與v0的方向相同．由于小球C位于由B,C,D這3個(gè)球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心處，所以小球C的速度也就是這系統(tǒng)質(zhì)心的速度．因碰撞前后4個(gè)小球組成的質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒， 故有

Mv0=MvA+3mvC

(11)

碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量守恒，有

0=mlvC+2mlvD

(12)

這里角動(dòng)量的參考點(diǎn)設(shè)在與B球重合的空間固定點(diǎn)，且規(guī)定順時(shí)針方向的角動(dòng)量為正．因?yàn)槭菑椥耘鲎?，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能相等，有

(13)

因?yàn)闂U是剛性桿，小球B和D相對(duì)于小球C的速度大小必相等，方向應(yīng)相反，所以有

vB-vC=vC-vD

(14)

解式(11)～(14)，可得兩個(gè)解

vC=0

(15)

和

(16)

因?yàn)関C也是剛碰撞后由B,C,D這3個(gè)小球組成的系統(tǒng)質(zhì)心的速度，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，碰撞后這系統(tǒng)的質(zhì)心不可能靜止不動(dòng)，故式(15)不合理，應(yīng)舍去．取式(16)時(shí)可解得剛碰撞后A,B,D這3個(gè)球的速度

以下基于恢復(fù)系數(shù)的角度進(jìn)行分析.

碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒

Mv0=MvA+3mvC

(17)

系統(tǒng)碰撞前后基于C點(diǎn)角動(dòng)量守恒

Mlv0=2ml2ω+MlvA

(18)

其中ω為碰撞后桿的角速度.

接近速度等于分離速度

v0=(vC+ωl)-vA

(19)

再考慮到

vB=vC+ωl

(20)

vD=vC-ωl

(21)

聯(lián)立同樣可以得到結(jié)果.

質(zhì)點(diǎn)與剛體完全彈性碰撞的問題在物理競(jìng)賽中時(shí)有涉及，利用常規(guī)的動(dòng)量、能量以及角動(dòng)量守恒，可以得到結(jié)果，然而,由于能量守恒為二次方程，聯(lián)立方程計(jì)算較為復(fù)雜，而如果引入恢復(fù)系數(shù)，將能量守恒方程用接近速度等于分離速度這一方程替換，可以減少大量的計(jì)算量，為考試贏得時(shí)間，這也為相關(guān)習(xí)題的解答提供了新的思路和新的啟發(fā).