餅形破片入水侵徹速度衰減公式的修正

張磊，高松林，，李曉彬，李思宇，杜志鵬

1海軍研究院，北京100161

2武漢理工大學(xué)交通學(xué)院，湖北武漢430063

0 引言

入水問題研究始于20世紀20年代，從20世紀40年代開始被廣泛研究。早期的入水問題與魚雷彈道有關(guān)，Waugh 等［1］及 May［2］總結(jié)了入水彈道的特性。磯部孝［3］在20世紀70年代對不同頭型彈體的入水問題進行了一系列實驗，推導(dǎo)了不同彈體侵徹能力的系列公式。Lee［4］通過牛頓第二定律，引入速度衰減系數(shù)和阻力系數(shù)，給出了破片入水的經(jīng)典理論公式。沈曉樂等［5］針對3.3 g立方體破片進行了一系列水下彈道實驗，認為阻力系數(shù)為常數(shù)，并通過實驗得到立方體破片的阻力系數(shù)為0.15?？紫樯氐龋?］采用Fluent軟件計算了初始速度約為1 600 m/s的水中立方體彈體的阻力系數(shù)，并指出阻力系數(shù)與雷諾數(shù)有關(guān)。張偉等［7］針對不同頭型低速彈體進行了水下彈道實驗，認為彈體在水中運動時，其阻力系數(shù)與空泡數(shù)有關(guān)。李營等［8］分析了不同初始速度下破片的速度衰減規(guī)律，得到了不同初始速度下的阻力系數(shù)公式，提出阻力系數(shù)與初始速度有關(guān)，但認為破片在運動過程中阻力系數(shù)為常數(shù)。楊莉等［9］通過理論分析和數(shù)值仿真，采用多項式函數(shù)擬合了破片入水的速度衰減方程，但沒有給方程系數(shù)賦予特定的物理含義。以往的研究主要關(guān)注的是立方體破片、球形破片或長徑比較大的柱形破片，針對長徑比較小的餅形破片入水速度衰減特性的研究相對較少。

以往的研究表明，長徑比對破片速度衰減規(guī)律的影響很大，當長徑比小于一定數(shù)值時采用阻力系數(shù)為定值的破片入水經(jīng)典理論公式已不符合實際情況。為此，本文擬研究餅形破片（長徑比較小的柱形破片）的入水速度衰減規(guī)律，考慮阻力系數(shù)隨侵徹位移的變化，改進破片入水的經(jīng)典理論公式。采用數(shù)值仿真方法模擬不同初始速度下餅形破片的入水過程，并分別采用經(jīng)典公式和改進后的公式對結(jié)果進行數(shù)值擬合，比較2種公式和數(shù)值仿真結(jié)果的吻合程度，利用仿真和理論公式研究經(jīng)驗系數(shù)a，b與長徑比和初始速度的關(guān)系。

1 經(jīng)典理論公式的改進

當破片在水下高速運動時，在破片周圍會形成超空泡現(xiàn)象，導(dǎo)致破片與水的接觸面積變小，因此摩擦阻力也變小，故可忽略不計。破片入水速度快、時間短，可以忽略自身重力的影響，其在水中高速運動時主要受到壓差阻力的影響。根據(jù)牛頓第二定律，可以得到破片在水下運動的基本方程為［8，10-12］

式中：x為破片侵徹位移，m；m為破片質(zhì)量，kg；ρw為液體密度，kg/m3；A0為破片的迎流面積，m2；v為破片的瞬時速度，m/s2；Cd為破片的阻力系數(shù)。

對式（1）進行變換，得到

針對破片在水中的運動過程，提出了2個假設(shè)條件：一是破片沒有磨損，即認為破片質(zhì)量m恒定；二是A0不發(fā)生變化。針對餅形破片，隨著侵徹位移的增加，破片的形狀和迎流面積容易變化，導(dǎo)致破片的阻力系數(shù)減小。因此，引入經(jīng)驗系數(shù)b來修正阻力系數(shù)隨侵徹位移的變化，采用侵徹位移x的一階多項式表示阻力系數(shù)隨侵徹位移的衰減，即

式中：Cd0為破片入水的初始阻力系數(shù)；x為破片的侵徹位移，m；b為經(jīng)驗系數(shù)，m-1。

將式（3）代入式（2），可得

將式（4）兩邊進行積分，得到

當x=0時，破片的初始速度為v0，對式（5）進行變換，可得

式中，a為經(jīng)驗系數(shù)，定義為

當 b→0時，式（6）可以簡化為 Lee［4］的經(jīng)典表達式：

2 數(shù)值仿真分析

2.1 仿真模型

采用AUTODYN顯式非線性動力分析軟件對5種不同長徑比的餅形破片的入水運動過程進行有限元仿真。采用軸對稱性模型，破片采用拉格朗日單元，破片材料采用考慮了應(yīng)變強化、溫度軟化和應(yīng)變率強化的Johnson-cook本構(gòu)模型。

式中：σ為材料塑性應(yīng)力；A，B，C，n和M為材料參數(shù)；εp,eff為等效塑性應(yīng)變；，為無量綱應(yīng)變率，其中ε為材料的應(yīng)變，ε0為參考應(yīng)變，T*=(T-Tr)/(Tm-Tr)，為無量綱溫度，其中Tr為參考溫度，Tm為材料熔化溫度，T為材料此刻所處環(huán)境的溫度。

式中：D1，D2，D3，D4和D5為材料參數(shù)；εf為材料的失效應(yīng)變；σ*=-Rσ，Rσ為應(yīng)力三軸度。

材料參數(shù)取值如表1所示。

表1 Q235鋼材料參數(shù)Table 1 Parameters of Q235 steel

初始條件為破片的初始速度，水介質(zhì)采用歐拉單元模擬，用沖擊狀態(tài)方程描述水介質(zhì)的基本特性，該方程基于Hugoniot關(guān)系建立，表示為

式中：U為沖擊速度；UP為粒子速度；C1和S1為材料參數(shù)。方程中的參數(shù)取值如表2所示。水域四周均采用流進、流出邊界條件。采用歐拉—拉格朗日耦合技術(shù)進行耦合計算。破片和水介質(zhì)的網(wǎng)格劃分及相對位置如圖1所示。

表2 水的沖擊狀態(tài)方程Table 2 The shock state equation of water

圖1 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the model

2.2 仿真方法驗證

為了驗證上述仿真方法的可靠性，采用郭子濤［12］的實驗條件進行數(shù)值仿真，從侵徹速度及侵徹位移2個方面與郭子濤的實驗結(jié)果進行對比。首先，對直徑12.65 mm、長度25.4 mm的圓柱形破片（長徑比r=2）進行仿真計算，得到該圓柱形破片在初始速度分別為397，603 m/s時侵徹位移和侵徹速度隨時間的變化關(guān)系如圖2和3所示。由圖可見，仿真與實驗結(jié)果吻合較好。然后，對直徑12.65 mm、長度38.1 mm的圓柱形破片（長徑比r=3）進行仿真計算，得到圓柱形破片在初始速度分別為498，414 m/s時侵徹位移和侵徹速度隨時間的變化關(guān)系如圖4和5所示。由圖可見，仿真與實驗結(jié)果同樣吻合較好。由此驗證了本文仿真方法的精度和可靠性。

圖2 r=2時圓柱形破片的侵徹位移隨時間的變化關(guān)系Fig.2 The variation of penetration displacement of cylindrical fragments with time when slenderness ratio is 2

圖3 r=2時圓柱形破片的侵徹速度隨時間的變化關(guān)系Fig.3 The variation of penetration velocity of cylindrical fragments with time when slenderness ratio is 2

圖6 不同初始速度下破片侵徹速度隨侵徹位移的衰減曲線Fig.6 The variation of penetration velocity with penetration displacement under different initial velocities

2.3 速度衰減規(guī)律

為了研究高速餅形破片入水速度的衰減特性，設(shè)置了30種工況，每種工況的長徑比或初始速度不同。其中，長徑比分別設(shè)為r=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5和2，初始速度分別設(shè)為v0=1 200，1 500，1 800，2 100和2 400 m/s，從而研究長徑比和初始速度對破片入水速度衰減的影響。

當r=0.1，0.3，0.5和2時，不同初始速度下破片的侵徹速度隨侵徹位移的變化如圖6所示。可以發(fā)現(xiàn)：隨著長徑比的減小，破片的侵徹速度不再呈指數(shù)衰減，而是在初始階段快速衰減。r=0.1的餅形破片在侵徹位移不足30 mm時，速度就已經(jīng)衰減到600 m/s以下。隨著初始速度的增大，破片的侵徹速度在初始階段衰減得越來越快。因此，采用經(jīng)典的速度衰減公式擬合餅形破片速度衰減曲線，誤差較大。基于這一結(jié)果，認為餅形破片和圓柱形破片的速度衰減模式不同。這就是本文開展餅形破片入水速度衰減規(guī)律研究的原因。

2.4 公式擬合程度對比

為了驗證理論公式的合理性和精度，基于初始速度為1 800 m/s時不同長徑比下破片速度的衰減仿真結(jié)果，分別采用式（6）和式（8）進行最小二乘擬合，得到的速度隨侵徹位移的變化規(guī)律如圖7所示。由圖可見，采用經(jīng)典理論公式得到的速度隨位移的變化關(guān)系與數(shù)值仿真結(jié)果的吻合度較差，而采用考慮經(jīng)驗系數(shù)的理論公式得到的結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果則吻合較好。因此，在研究餅形破片入水速度的衰減特性時，有必要考慮阻力系數(shù)隨侵徹位移的變化。另由圖7可見，隨著長徑比的增大，使用經(jīng)典理論公式得到的結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果的吻合度逐漸變好，由文獻［8］可知，當r＞0.5時，可以不考慮阻力系數(shù)變化對破片入水速度的影響，即經(jīng)典理論公式適用于描述長徑比較大的圓柱形破片入水速度的衰減規(guī)律。

3 經(jīng)驗系數(shù)研究

3.1 初始速度的影響

圖8和圖9分別給出了不同長徑比下，經(jīng)驗系數(shù)a和b隨初始速度的變化。由圖可見，當長徑比相同時，經(jīng)驗系數(shù)a隨初始速度的增加而增加；經(jīng)驗系數(shù)b隨初始速度的增加而減小。b的變化規(guī)律說明，在侵徹過程中，破片阻力系數(shù)的衰減程度與其初始速度有關(guān)，初始速度越大，阻力系數(shù)衰減越明顯。

3.2 長徑比的影響

圖10和圖11給出了不同初始速度下，經(jīng)驗系數(shù)a和b隨長徑比的變化規(guī)律。由圖可見，當初始速度相同時，經(jīng)驗系數(shù)a隨長徑比的增加而增加；經(jīng)驗系數(shù)b隨長徑比的增加而減小。b的變化規(guī)律說明，在侵徹過程中，破片阻力系數(shù)的衰減程度與其初始速度有關(guān)，初始速度越大，阻力系數(shù)衰減越明顯。從圖11還可以看出，當r=0.5時，不同初始速度下的經(jīng)驗系數(shù)b接近于0，可以把阻力系數(shù)看作常數(shù)，因此r=0.5可作為劃分2種速度衰減模式的臨界值。

圖8 不同長徑比下經(jīng)驗系數(shù)a隨初始速度的變化關(guān)系Fig.8 The variation of a with initial velocity under different slenderness ratios

圖9 不同長徑比下經(jīng)驗系數(shù)b隨初始速度的變化關(guān)系Fig.9 The variation of b with initial velocity under different slenderness ratios

圖10 不同初始速度下經(jīng)驗系數(shù)a隨長徑比的變化關(guān)系Fig.10 The variation of a with slenderness ratio under different initial velocities

圖11 不同初始速度下經(jīng)驗系數(shù)b隨長徑比的變化關(guān)系Fig.11 The variation of b with slenderness ratio under different initial velocities

3.3 a和b的取值

為能快速預(yù)測破片在水下侵徹過程中的速度，通過Matlab軟件曲面擬合功能對經(jīng)驗系數(shù)a和b進行曲面擬合，得到經(jīng)驗系數(shù)a和b關(guān)于初始速度和長徑比的計算公式，該公式適用于r=0.1～0.5，初始速度在1 200～2 400 m/s的餅形破片。圖12和圖13為經(jīng)驗系數(shù)a和b的擬合曲面，擬合得到的公式為：

圖12 經(jīng)驗系數(shù)a的曲面擬合結(jié)果Fig.12 The surface fitting result of empirical coefficient a

圖13 經(jīng)驗系數(shù)b的曲面擬合結(jié)果Fig.13 The surface fitting result of empirical coefficient b

式中，v0為破片初始速度。

4 結(jié) 論

采用理論推導(dǎo)方式和AUTODYN有限元軟件，對破片入水速度的衰減規(guī)律進行了分析。以破片初始速度v0和長徑比r為變量，引入經(jīng)驗系數(shù)a和b，分析a和b的變化規(guī)律。在液體介質(zhì)密度和破片質(zhì)量等參數(shù)不變的條件下，得到以下幾點結(jié)論：

1）在r＜0.5的范圍內(nèi)，通過引入經(jīng)驗系數(shù)a和b，即考慮阻力系數(shù)隨侵徹距離的變化，改進了破片入水的經(jīng)典理論公式，通過理論公式和數(shù)值仿真得到的速度衰減曲線吻合較好。

2）當初始速度相同時，長徑比越大，阻力系數(shù)受距離影響的程度越小；當長徑比相同時，初始速度越大，阻力系數(shù)受距離影響的程度越小。

3）當r＞0.5時，阻力系數(shù)的改變量可以忽略不計，即阻力系數(shù)可以看作常數(shù)。