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    淺探胡克力與萬(wàn)有引力的聯(lián)系

    2019-06-20 09:17鐘城偉
    課程教育研究 2019年13期
    關(guān)鍵詞:萬(wàn)有引力變換

    鐘城偉

    【摘要】根據(jù)開(kāi)普勒第一定律,萬(wàn)有引力情況下行星運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓,恒星在橢圓的焦點(diǎn)上。在胡克力的情形下,我們很容易得到運(yùn)動(dòng)軌跡也是橢圓。本文就這一現(xiàn)象,在理論上探討了胡克力和萬(wàn)有引力的聯(lián)系。通過(guò)引入的一個(gè)軌跡間的變換將胡克力運(yùn)動(dòng)方程與萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)系起來(lái),由此可以通過(guò)胡克力運(yùn)動(dòng)方程的解得到萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程的解,并通過(guò)所得萬(wàn)有引力的解證明了開(kāi)普勒第一定律和第三定律。

    【關(guān)鍵詞】胡克力 ?萬(wàn)有引力 ?橢圓軌跡 ?運(yùn)動(dòng)方程 ?變換

    【中圖分類(lèi)號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089(2019)13-0151-02

    一、引言

    中學(xué)階段,我們學(xué)習(xí)了萬(wàn)有引力及行星運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí),尤其是開(kāi)普勒三定律[1]的結(jié)果僅僅把結(jié)論呈現(xiàn)出來(lái),但是為什么萬(wàn)有引力情形下的運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足開(kāi)普勒三定律卻沒(méi)有涉及。想要回答這個(gè)問(wèn)題,我們需要寫(xiě)出其運(yùn)動(dòng)方程并求解,但是直接的求解比較困難,在本文中,我們發(fā)現(xiàn),胡克力的運(yùn)動(dòng)軌跡也為橢圓且非常容易得到其運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式。這為求解提供了一個(gè)思路,能否將胡克力和萬(wàn)有引力聯(lián)系起來(lái),通過(guò)某種變換將胡克力運(yùn)動(dòng)方程的解變?yōu)槿f(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程的解。正所謂“他山之石,可以攻玉”,我們?cè)诒疚闹写_實(shí)利用一個(gè)變換由胡克橢圓運(yùn)動(dòng)方程得到萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程,并由此得到萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程的解,從而證明了開(kāi)普勒第一和第三定律。

    二、運(yùn)動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式

    萬(wàn)有引力(反比于距離的平方)的運(yùn)動(dòng)方程如下:

    m■=-■

    其中G為萬(wàn)有引力常數(shù),M為恒星質(zhì)量,m為行星質(zhì)量。這屬于有心力場(chǎng)下的運(yùn)動(dòng),因此運(yùn)動(dòng)軌跡在一個(gè)平面內(nèi),設(shè)此平面為xy平面,運(yùn)動(dòng)方程為:

    m■=-■,m■=-■

    在此平面上引入復(fù)數(shù)坐標(biāo)z=x+iy,可改寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程為:

    m■=-■

    同理對(duì)于胡克力(正比于距離)的運(yùn)動(dòng)方程m■=-kr(?子表示時(shí)間)可以通過(guò)引入uv平面和復(fù)數(shù)坐標(biāo)w=u+iv改寫(xiě)為(這里使用不同的記號(hào)避免混淆):

    m■=-kw

    三、兩個(gè)方程間的聯(lián)系

    1.變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式

    在復(fù)平面上,設(shè)萬(wàn)有引力方程m■=-■的關(guān)于時(shí)間t的解為z(t),胡克力方程m■=-kw關(guān)于時(shí)間?子的解為w(?子)。我們的目標(biāo)是找到一個(gè)變換,z=z(w)和?子=?子(t)使得,若w(?子)滿(mǎn)足m■=-kw,則z(w(?子(t)))滿(mǎn)足m■=-■。結(jié)果表明變換z=z(w)和?子=?子(t)為z=■和 ■=■(其中r0是具有長(zhǎng)度量綱的常數(shù)),接下來(lái)我們證明該變換符合我們的目標(biāo),也即變換是有效的。

    2.變換有效性的證明

    在該變換下,z對(duì)時(shí)間t的一次導(dǎo)數(shù)■為:

    ■=■■(w2)=■2w■■=■2w■■

    =r0■■

    二次導(dǎo)數(shù)■為:

    ■=r0■■■=r0■■■■

    =■■■■+■■■

    =■■-■■+■-■w

    在胡克力運(yùn)動(dòng)方程下,總能量E守恒,E由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和彈簧勢(shì)能組成

    E=■m■■+■■+■ku■+v■

    =■m■■+■kw■

    所以■■=■,代入到二次導(dǎo)數(shù)■的表達(dá)式中可得:

    ■=■-■■+■-■w

    =-r■■■■=-r■■■■

    因此令4r0E=GMm,即可得到萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程m=■=-■。

    3.變換的進(jìn)一步說(shuō)明

    當(dāng)我們求解出來(lái)胡克力運(yùn)動(dòng)方程m■=-kw的解w(?子)時(shí),我們可以通過(guò)引入變換z=■和■=■,并選取合適能量E=■的胡克力運(yùn)動(dòng)軌跡w(?子),使得變換后的z(t)=z(w(?子(t)))滿(mǎn)足萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程m■=-■。

    四、變換的應(yīng)用

    1.變換前后的運(yùn)動(dòng)軌跡

    可以很容易驗(yàn)證w(?子)=u+iv=A1cos ?棕?子+iA2sin ?棕?子是胡克力運(yùn)動(dòng)方程的解,其中?棕=■,這個(gè)軌跡顯然是橢圓■+■=1。我們來(lái)看一下變換之后的運(yùn)動(dòng)軌跡z(t)。可設(shè)A1>A2>0,改寫(xiě)w為w=r0re■+■e■,其中r0=■■,r=■。r0具有長(zhǎng)度量綱,符合變換的要求。此時(shí)Z=■=r0r■e■+■e■+2,因此

    x=r■r■+■cos2?棕?子+2r0,y=r0r■-■sin2?棕?子

    x,y滿(mǎn)足■+■=1這也是一個(gè)橢圓,而且原點(diǎn)位置在橢圓的焦點(diǎn)上。

    按照變換■=■,我們求得■=■=r2+■+2cos2?棕?子,所以t=r■+■?子+■sin2?棕?子

    以上x(chóng)(?子),y(?子),t(?子)給出了萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)的解。

    2.開(kāi)普勒第一定律和第三定律的證明

    我們證明了x,y滿(mǎn)足■+■=1因此萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)軌跡可以是橢圓,且在寫(xiě)萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程時(shí),我們認(rèn)為恒星位于原點(diǎn)處,該橢圓的焦點(diǎn)也在原點(diǎn)處,因此我們證明了開(kāi)普勒第一定律,也即行星的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓,恒星在橢圓的焦點(diǎn)上。

    再者,按照上述結(jié)果,橢圓運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)軸為a=r■r■+■,質(zhì)點(diǎn)位置z在?子=0→■完成一個(gè)周期,對(duì)應(yīng)t的周期為T(mén)=r■+■■+0=r■+■■。我們知道胡克力下的運(yùn)動(dòng)w(?子)=u+iv=A1cos?棕?子+iA2sin?棕?子對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)能量E=■kA■■+A■■■=m ?棕■r■■■+r■,變換要求■=E=m ?棕■r■■■+r■,這個(gè)要求實(shí)際上意味著■=■=■=■

    這就是開(kāi)普勒第三定律。

    五、結(jié)語(yǔ)

    本文主要給出了胡克力與萬(wàn)有引力軌跡使用復(fù)數(shù)表示時(shí)的一個(gè)變換,將兩個(gè)方程聯(lián)系了起來(lái),從而通過(guò)胡克力運(yùn)動(dòng)方程的橢圓解得到了萬(wàn)有引力運(yùn)動(dòng)方程的橢圓解(和極坐標(biāo)系的結(jié)果[1]一致),并給出開(kāi)普勒第一和第三定律證明。這一方法可以嘗試推廣到其它有心力之間的聯(lián)系變換。

    參考文獻(xiàn):

    [1]舒幼生.力學(xué)[M].北京大學(xué)出版社,2005,09:128-139.

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