基于高維隨機(jī)矩陣的異常用電行為識(shí)別方法

王鵬，劉長(zhǎng)江，劉攸堅(jiān)，韋景康，邱凌，吳遠(yuǎn)超，李自懷

(1.廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司佛山供電局，廣東 佛山 528000；2.武漢新電電氣股份有限公司，湖北 武漢 430073)

計(jì)量裝置故障和竊電等異常用電行為會(huì)造成電網(wǎng)的非技術(shù)性損失[1-2]，給電力企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失。傳統(tǒng)的用電異常識(shí)別主要依靠電力稽查人員定期巡檢，強(qiáng)調(diào)人工管理[3]，需投入大量的人力、財(cái)力和物力，且不能達(dá)到預(yù)期效果。隨著智能電表的普及和電力系統(tǒng)信息化程度的高速發(fā)展，電力企業(yè)存儲(chǔ)了海量的用戶側(cè)電量數(shù)據(jù)[4-5]，通過(guò)充分挖掘電力大數(shù)據(jù)的潛在價(jià)值，及時(shí)識(shí)別用戶異常用電行為，減少經(jīng)濟(jì)損失，對(duì)智能電網(wǎng)的發(fā)展有著重要意義[6-8]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在利用電力大數(shù)據(jù)分析用戶異常用電行為識(shí)別方面進(jìn)行了相關(guān)研究[9]。文獻(xiàn)[10]和[11]利用聚類(lèi)算法分析每類(lèi)用戶的用電負(fù)荷特征，得到特征曲線，以負(fù)荷曲線和特征曲線的偏離度判斷用戶行為是否異常；文獻(xiàn)[12]基于密度的聚類(lèi)技術(shù)分析用戶行為，給出不同簇的異常程度量化值，進(jìn)而得到用戶異常得分排序；文獻(xiàn)[13]以負(fù)荷驟降為特征，基于皮爾森相關(guān)系數(shù)法、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和決策樹(shù)檢測(cè)非技術(shù)性損失；文獻(xiàn)[14]基于無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，通過(guò)主成分分析對(duì)特征量降維，利用網(wǎng)格處理優(yōu)化離群算法計(jì)算用戶離群程度，設(shè)定閾值找出異常用戶；文獻(xiàn)[15]利用用電信息采集平臺(tái)數(shù)據(jù)，基于距離的離群點(diǎn)算法建立模型，識(shí)別欠壓法和欠流法竊電用戶；文獻(xiàn)[16]利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了反竊電模型。另外，還有學(xué)者利用時(shí)間序列分析[17]、Storm滑動(dòng)窗口算法[18]和粒子群算法[19]等進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)異常方面的研究。上述研究在用戶異常用電行為識(shí)別方面取得了一定成果，但在算法的精確度、魯棒性、可靠性及效率等方面還有待改進(jìn)和提高。

本文基于高維隨機(jī)矩陣?yán)碚摻⒂脩舢惓Ｓ秒娦袨樽R(shí)別模型，首先選取用戶相關(guān)運(yùn)行參數(shù)建立高維隨機(jī)矩陣及其協(xié)方差矩陣；然后構(gòu)建協(xié)方差矩陣特征值的譜分析函數(shù)，利用M-P定律和單環(huán)定律分析特征值分布情況，判斷用戶用電行為是否異常；最后利用平均譜半徑變化曲線波動(dòng)情況定位用戶異常用電時(shí)間區(qū)段，并通過(guò)實(shí)例分析，驗(yàn)證該方法具有更高的精確度、運(yùn)算效率和可靠性。

1 高維隨機(jī)矩陣?yán)碚?/h2>

高維隨機(jī)矩陣是一個(gè)維度為n×p的矩陣，如果它的元素均為隨機(jī)變量，則稱該矩陣是隨機(jī)矩陣，將n和p趨于無(wú)窮、比值趨于常數(shù)的隨機(jī)矩陣稱為高維隨機(jī)矩陣。本節(jié)介紹有關(guān)高維隨機(jī)矩陣的基本概念及本文所用的重要定理，作為異常用電行為識(shí)別方法的理論依據(jù)。

1.1 基本概念

高維樣本的經(jīng)驗(yàn)譜分析是判斷數(shù)據(jù)是否異常的主要方法，即通過(guò)分析樣本協(xié)方差矩陣的經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷異常。

令隨機(jī)矩陣Xn=(xij)m×k，其隨機(jī)變量xij可以取復(fù)值，且相互獨(dú)立并滿足期望為0、方差為1的獨(dú)立同分布，則樣本的協(xié)方差矩陣

(1)

(2)

其中x*表示x的共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)任意p×p且特征根只為實(shí)數(shù)的矩陣，記其特征根為λ1≤λ2≤…≤λp，定義矩陣的經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)

(3)

其中I為示性函數(shù)。

一般地，經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)的極限稱為極限譜分布函數(shù)[20]，通常極限譜分布函數(shù)是非隨機(jī)的。

1.2 高維隨機(jī)矩陣定律

1.2.1 M-P定律

1967年，Marchenko和Pastur首次證明了獨(dú)立同分布隨機(jī)矩陣的協(xié)方差矩陣的特征值分布，在維數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，漸近收斂到一個(gè)特定的函數(shù)，這就是M-P定律[21]。M-P定律近似描述了行數(shù)與列數(shù)不同的隨機(jī)矩陣奇異值的特征情況，當(dāng)矩陣Xn=(xij)m×k的所有元素為獨(dú)立同分布的復(fù)隨機(jī)變量，當(dāng)m/k=c→Y∈(0,)，Y為常數(shù)時(shí)，Xn滿足M-P定律，即

(4)

1.2.2 單環(huán)定律

假設(shè)隨機(jī)矩陣Xn=(xij)m×k可以分解為可分解為Xn=PTQ，其中P和Q為k階Haar酉矩陣，T為對(duì)角陣，對(duì)角線元素是Xn的奇異值。當(dāng)滿足一定條件時(shí)，矩陣Xn的極限譜分布由其奇異值的概率測(cè)度確定，極限譜分布依概率收斂到函數(shù)

(5)

式中：c為Xn的行列比；λz為Xn的任一特征值。當(dāng)所研究的系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，Xn的特征值在復(fù)平面上分布在一個(gè)內(nèi)環(huán)半徑為(1-c)k/2、外環(huán)半徑為1的圓環(huán)上。當(dāng)m,k→，且行列比m/k=c∈(0,1]時(shí)，譜分布函數(shù)的特征值在復(fù)平面上的內(nèi)徑大小由隨機(jī)矩陣Xn的行數(shù)列數(shù)確定[22-24]。

2 用戶異常用電行為識(shí)別方法

高維隨機(jī)矩陣?yán)碚摰拇髷?shù)據(jù)融合結(jié)構(gòu)靈活多變，矩陣元素可以是確定數(shù)據(jù)，也可是符合某特定分布的隨機(jī)數(shù)。高維隨機(jī)矩陣的建立原則是通過(guò)調(diào)整行和列中的數(shù)據(jù)得到最優(yōu)行列比。

電網(wǎng)運(yùn)行中產(chǎn)生很多用電數(shù)據(jù)，計(jì)量自動(dòng)化系統(tǒng)可以實(shí)時(shí)監(jiān)控并存儲(chǔ)各用戶的電流、電壓、有功功率、無(wú)功功率以及功率因數(shù)等信息[22]。當(dāng)系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)，這些參數(shù)以時(shí)間序列的形式存儲(chǔ)在系統(tǒng)中，且平穩(wěn)波動(dòng)；當(dāng)電網(wǎng)用戶存在異常用電行為時(shí)，這些參數(shù)的數(shù)據(jù)將出現(xiàn)突變點(diǎn)，波形中出現(xiàn)尖峰。結(jié)合高維隨機(jī)矩陣?yán)碚摵陀秒娦畔⒉杉脚_(tái)的參數(shù)特征，用戶異常用電行為識(shí)別方法建模步驟如下：

a)根據(jù)異常用電用戶識(shí)別的目的和大數(shù)據(jù)來(lái)源，選取某些節(jié)點(diǎn)上某些種類(lèi)的電網(wǎng)狀態(tài)變量的量測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)建高維隨機(jī)矩陣，并調(diào)整行列比，以達(dá)到最合適的比值；

b)求解構(gòu)建矩陣的協(xié)方差矩陣；

c)求解協(xié)方差矩陣的特征值，得出特征譜分布及譜密度函數(shù)，并根據(jù)M-P定律和單環(huán)定律等理論分析其分布情況，判別用電情況。

2.1 用戶用電行為的高維隨機(jī)矩陣表示

對(duì)于電網(wǎng)中的w條線路或w個(gè)量測(cè)設(shè)備，每一條線路或每個(gè)量測(cè)設(shè)備為一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，則共有w個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)在t時(shí)間區(qū)段均可得到用電參數(shù)的一個(gè)T行1列時(shí)間序列向量xi,i=1,2,…,w；則所有觀測(cè)點(diǎn)采集到的用電參數(shù)的時(shí)間序列向量構(gòu)成一個(gè)w×T的時(shí)間序列矩陣，即

(6)

(7)

當(dāng)數(shù)據(jù)采樣頻率不同，將矩陣所有元素進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，目的是去量綱化和數(shù)值歸一化，使各指標(biāo)具有可比性。

2.2 基于高維隨機(jī)矩陣的異常用電用戶識(shí)別方法

當(dāng)線路存在異常用電用戶時(shí)，高維隨機(jī)矩陣的協(xié)方差矩陣特征值分布將會(huì)偏離M-P定律，可以通過(guò)偏離程度判別異常用戶。同時(shí)，單環(huán)定律的內(nèi)徑和外徑大小與異常數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)，是一個(gè)唯一確定的值。當(dāng)存在異常數(shù)據(jù)時(shí)，隨機(jī)矩陣的特征值將會(huì)有部分落在圓環(huán)外側(cè)，可用通過(guò)特征值譜分布分析來(lái)識(shí)別異常用戶數(shù)據(jù)?；诟呔S隨機(jī)矩陣的用戶異常用電行為識(shí)別步驟如圖1所示，具體步驟如下：

步驟1，從計(jì)量自動(dòng)化系統(tǒng)采集某臺(tái)區(qū)不同線路某時(shí)間區(qū)段內(nèi)各線路的總有功功率或其他各用戶的用電數(shù)據(jù)(包括電壓、電流、有功功率、無(wú)功功率、功率因數(shù)等)；

步驟2，選取該臺(tái)區(qū)不同線路的日用電量構(gòu)建高維隨機(jī)矩陣，并求取其復(fù)數(shù)域的等效矩陣；

步驟3，通過(guò)該矩陣的特征譜分布及譜密度函數(shù)判斷各線路用電情況；

步驟4，判斷為異常的線路，進(jìn)一步選取該線路上各用戶的用電數(shù)據(jù)構(gòu)建高維隨機(jī)矩陣，并通過(guò)圓環(huán)定律及平均譜半徑精確定位異常用戶和異常時(shí)間區(qū)段并輸出識(shí)別結(jié)果。

3 實(shí)例分析

基于上述提出的高維隨機(jī)理論建模與異常用戶識(shí)別方法，本文選取某電網(wǎng)公司某臺(tái)區(qū)的線路進(jìn)行判別，該臺(tái)區(qū)供電網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。該臺(tái)區(qū)有a、b兩條分支線路，共12個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)1為電源節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)均為用戶節(jié)點(diǎn)。本節(jié)將首先對(duì)該臺(tái)區(qū)分支線路a、b進(jìn)行分析，判斷各分支線路的用電情況；然后根據(jù)判別結(jié)果對(duì)于存在用電異常的線路進(jìn)一步選取該線路上的用戶進(jìn)行分析，精確定位異常用戶及該用戶異常用電的時(shí)間區(qū)段。

3.1 異常線路確定

從計(jì)量自動(dòng)化系統(tǒng)獲取線路a和b于2015年1月至2016年7月的日用電總量數(shù)據(jù)，構(gòu)成維度分別為5 810×1和8 715×1的時(shí)間序列矩陣。2個(gè)矩陣經(jīng)式(7)變化并歸一化處理后變?yōu)榫S度分別為10×581和15×581的高維隨機(jī)矩陣；2個(gè)矩陣的譜分布特性如圖3和圖4所示。

表1 用戶用電行為高維隨機(jī)矩陣Tab.1 High dimensional random matrix for user’s electricity consumption behavior

圖1 基于高維隨機(jī)矩陣的用戶異常用電行為識(shí)別步驟Fig.1 Recognition steps aboutabnormal electricity consumption behavior based on high dimensional random matrix

圖2 某臺(tái)區(qū)供電網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Power supply network topology of a certain area grid

基于大數(shù)據(jù)理論，當(dāng)系統(tǒng)正常運(yùn)行無(wú)異常情況發(fā)生時(shí)，日用電總量數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差特征值集中分布于圓環(huán)內(nèi)，且特征值譜半徑平均值介于內(nèi)外環(huán)半徑之間；當(dāng)存在異常時(shí)，協(xié)方差矩陣的特征值集中分布在內(nèi)圓環(huán)心，且特征值譜半徑平均值小于內(nèi)環(huán)半徑。所以對(duì)比圖3中的(a)和(b)可知，線路a存在用電異常用戶。

圖3 兩條線路協(xié)方差矩陣特征值譜分布Fig.3 Spectral distribution of eigenvalues of covariance matrix of two lines

圖4 兩條線路譜密度函數(shù)與M-P律Fig.4 Spectral density functions and M-P’s laws of two lines

基于大數(shù)據(jù)理論，當(dāng)系統(tǒng)正常運(yùn)行無(wú)異常發(fā)生時(shí)，矩陣的特征值譜密度函數(shù)遵循M-P定律；當(dāng)存在異常時(shí)，由于構(gòu)成矩陣的數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，不再滿足獨(dú)立同分布，故矩陣的特征值譜密度函數(shù)偏離M-P定律，由圖4(a)和(b)譜密度函數(shù)與M-P定律的重合度知，線路a存在異常用電用戶。

3.2 異常用戶確定

線路a下共有專用變壓器用戶4戶，根據(jù)第3.1節(jié)的分析，進(jìn)一步分析線路a的4戶用戶。從計(jì)量自動(dòng)化系統(tǒng)獲取同時(shí)間段內(nèi)每戶用戶的15 min有功功率數(shù)據(jù)，構(gòu)建高維隨機(jī)矩陣，其原矩陣維數(shù)和經(jīng)式(7)變化后的矩陣維數(shù)及行列比見(jiàn)表2。4個(gè)高維隨機(jī)矩陣協(xié)方差矩陣的特征值譜分布如圖5所示，譜密度函數(shù)與M-P定律的偏移情況如圖6所示。

表2 線路a各用戶高維隨機(jī)矩陣維度Tab.2 Dimensions ofhigh dimensional random matrix of users of line a

由圖5可知，線路a中A機(jī)械制造廠、C涂料有限公司、D塑料膠制品有限公司的協(xié)方差矩陣特征值的平均譜半徑基本都分布于圓環(huán)內(nèi)，但B鋁業(yè)有限公司的協(xié)方差矩陣特征值的平均譜半徑小于內(nèi)徑，存在異常用電的重大嫌疑。進(jìn)一步研究B鋁業(yè)有限公司的譜密度函數(shù)(圖6)，該用戶的譜密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)M-P定律的重合率為65.8%，重合率較低。綜合單環(huán)定律和M-P定律可以判斷，B鋁業(yè)有限公司存在異常用電情況。

3.3 異常時(shí)間區(qū)段確定

高維隨機(jī)理論中，當(dāng)電網(wǎng)正常運(yùn)行、無(wú)擾動(dòng)發(fā)生時(shí)，全網(wǎng)日用電總量協(xié)方差矩陣的特征值平均譜半徑在整個(gè)觀測(cè)時(shí)間區(qū)段內(nèi)變化平穩(wěn)，即使有波動(dòng)，也是由于正常用電負(fù)荷微小波動(dòng)所致。當(dāng)異常發(fā)生后，協(xié)方差矩陣的特征值譜半徑分別在譜半徑曲線上有兩個(gè)顯著的突變點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)異常的起止時(shí)間，總時(shí)長(zhǎng)為兩突變點(diǎn)之間的時(shí)間區(qū)段。

圖7為線路b整條線路2015年1月至2016年7月期間總?cè)沼秒娏科骄V半徑波動(dòng)曲線，圖8(a)為線路a整條線路2015年1月至2016年7月期間總?cè)沼秒娏科骄V半徑波動(dòng)曲線，圖8(b)為線路a中B鋁業(yè)有限公司2015年1月至2016年7月期間日用電量平均譜半徑波動(dòng)曲線。

圖5 線路a中4個(gè)用戶協(xié)方差矩陣特征值譜分布Fig.5 Spectral distribution of eigenvalues of four users’ covariance matrices of line a

圖6 B鋁業(yè)有限公司譜密度函數(shù)Fig.6 Spectral density functions of B aluminum limited company

圖7 線路b總?cè)沼秒娏科骄V半徑Fig.7 Mean spectral radius of daily total electricity consumption of line b

圖8 線路a及用戶平均譜半徑Fig.8 Mean spectral radius of line a and users

對(duì)比圖7和圖8可知，線路b在研究時(shí)間區(qū)段內(nèi)平均譜半徑曲線僅水平方向呈微小波動(dòng)，結(jié)合高維隨機(jī)矩陣?yán)碚?，線路b在2015年1月至2016年7月不存在異常。而線路a存在2個(gè)突出的突變點(diǎn)，不再是水平方向的微小波動(dòng)，數(shù)據(jù)存在異常。如圖8所示，線路a總?cè)沼秒娏康钠骄V半徑和異常用電用戶日用電量平均譜半徑均顯示，異常起止時(shí)間分別為2015年11月至2016年5月，異常時(shí)間區(qū)段為7個(gè)月。經(jīng)電力部門(mén)的實(shí)踐考察與實(shí)際異常時(shí)間區(qū)段基本吻合。

用電信息采集平臺(tái)采集的數(shù)據(jù)構(gòu)成的高維隨機(jī)矩陣的平均譜半徑的變化規(guī)律可以反映系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，并且判斷出具體的異常用電時(shí)間，便于電力部門(mén)進(jìn)行下一步的工作。

4 結(jié)論

本文選取電力大數(shù)據(jù)建立高維隨機(jī)矩陣，提出一種基于高維隨機(jī)矩陣?yán)碚摰挠秒姰惓Ｐ袨樽R(shí)別方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)用戶異常用電行為的精確和可靠識(shí)別，主要做法如下：

a)計(jì)算高維隨機(jī)矩陣的協(xié)方差矩陣和譜密度函數(shù)，分析特征值在復(fù)平面上的分布特性，基于M-P定律和單環(huán)定律實(shí)現(xiàn)對(duì)用電行為異常的精確識(shí)別。

b)基于高維隨機(jī)矩陣?yán)碚?，研究正常用電條件下的協(xié)方差矩陣平均譜半徑波動(dòng)的平穩(wěn)性；通過(guò)分析用戶實(shí)際平均譜半徑的波動(dòng)特性以及波動(dòng)突變區(qū)間，確定用戶異常用電的時(shí)間區(qū)段。

c)通過(guò)對(duì)某電網(wǎng)臺(tái)區(qū)歷史異常用電用戶進(jìn)行實(shí)例分析，驗(yàn)證本文所提方法能準(zhǔn)確定位用電異常發(fā)生的線路，鎖定異常用電用戶，進(jìn)而確定用戶異常用電的時(shí)間區(qū)段。

本文所提方法能充分挖掘相關(guān)電力大數(shù)據(jù)的價(jià)值，相比傳統(tǒng)方法，更具時(shí)效性、精確性和可靠性，具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值和推廣價(jià)值。