從除以2看如何有效提高幾何計(jì)算教學(xué)效果—以《三角形的面積計(jì)算》教學(xué)為例

姜文敏

（江蘇省南京市生態(tài)科技島小學(xué)，江蘇南京 210019）

引 言

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了四項(xiàng)基本技能：基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。其對(duì)于幾何圖形的學(xué)習(xí)目標(biāo)為經(jīng)歷圖形的抽象、分類(lèi)、性質(zhì)探究、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過(guò)程，掌握?qǐng)D形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能[1]。由此可以看出，在幾何圖形的計(jì)算教學(xué)中，教師一定要讓學(xué)生形成自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使其通過(guò)自主探究活動(dòng)獲得真知，從而提升教學(xué)效果。

一、引導(dǎo)大膽猜想，獲得初始的感性認(rèn)識(shí)

任何偉大的定理都是從猜想開(kāi)始的。由于新知識(shí)學(xué)生沒(méi)有接觸過(guò)，但不代表學(xué)生一無(wú)所知。這時(shí)，讓學(xué)生根據(jù)自己的已有知識(shí)，結(jié)合自己的理解進(jìn)行大膽的猜想，是學(xué)生邁向知識(shí)殿堂的第一步。

教學(xué)片段一：

師：平行四邊形的面積怎樣計(jì)算？

生：平行四邊形的面積=底×高。

師：那么，等底等高三角形的面積如何計(jì)算呢？大家大膽猜測(cè)一下。

生：底×高。

師：大家比一比三角形的面積和平行四邊形面積的大小，三角形的面積能和平行四邊形一樣進(jìn)行計(jì)算嗎？

生：底×高÷2。

師：底乘高算的是什么？為什么剛好要÷2？這正是這節(jié)課需要大家通過(guò)自己的實(shí)踐去探索的問(wèn)題。

學(xué)生通過(guò)大膽的猜測(cè)，從感性上和真知拉近了距離，同時(shí)也為后面的實(shí)踐操作指明了方向。

二、經(jīng)歷操作過(guò)程，形成完整的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

著名數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾認(rèn)為，應(yīng)將數(shù)學(xué)作為一種活動(dòng)來(lái)進(jìn)行解釋和分析，建立在這一基礎(chǔ)上的教學(xué)方法，稱(chēng)為再創(chuàng)造方法。教師要讓學(xué)生經(jīng)歷三角形面積的推導(dǎo)過(guò)程，還原面積推導(dǎo)的原始操作，這樣的過(guò)程也就是弗萊登塔爾認(rèn)為的再創(chuàng)造過(guò)程。

教學(xué)片段二：

師：大家都會(huì)計(jì)算平行四邊形的面積了吧？雖然三角形的面積我們還不會(huì)算，但我們每人手里都有8個(gè)三角形，你能把它們變換成我們會(huì)計(jì)算面積的圖形嗎？分小組嘗試一下。（在8個(gè)三角形中，有3對(duì)是完全一樣的三角形，分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。還有2個(gè)是干擾圖形，和上面三組的三角形有點(diǎn)像，但又不完全一樣。這樣設(shè)計(jì)的目的是讓學(xué)生明白，只有完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形。）

學(xué)生開(kāi)始動(dòng)手拼平行四邊形，基本上都能用完全一樣的兩個(gè)三角形拼出一個(gè)平行四邊形。個(gè)別小組把干擾的平行四邊形通過(guò)剪的方式拼成了平行四邊形。學(xué)生通過(guò)自己的動(dòng)手實(shí)踐操作，用兩個(gè)完全一樣的三角形拼出了平行四邊形，這樣獲得的感性認(rèn)識(shí)特別深刻。同時(shí)，干擾圖形的出現(xiàn)也讓學(xué)生加深了對(duì)“兩個(gè)完全一樣的三角形”這樣的前提條件的認(rèn)識(shí)。

三、分析歸納推理，探索面積計(jì)算真諦

生：底和高。

美國(guó)教育家布魯納指出，數(shù)學(xué)某些領(lǐng)域的知識(shí)，不是讓學(xué)生去銘記已有的結(jié)果，而是要教其如何參與知識(shí)的獲取過(guò)程。通過(guò)上面的案例可以看出，三角形面積計(jì)算的方法是學(xué)生通過(guò)自己主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，在教師的引導(dǎo)下一步一步獲得的。這樣的學(xué)習(xí)成果學(xué)生理解得透徹，掌握得扎實(shí)，在以后的學(xué)習(xí)中也能熟練運(yùn)用，做到不犯或少犯錯(cuò)誤。

四、由具象到抽象，幾何計(jì)算心中有圖

學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的過(guò)程，就是要充分經(jīng)歷探索、觀察、操作以及思考、分析、推理的過(guò)程，取得豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，然后從實(shí)踐材料中得出需要的知識(shí)。

教學(xué)片段三：

師：請(qǐng)?jiān)诒?中把三角形和組成的平行四邊形的條件都填寫(xiě)進(jìn)去。

表1 三角形拼成的平行四邊形

學(xué)生動(dòng)手填寫(xiě)，前三個(gè)是由兩個(gè)三角形拼成的，很好填寫(xiě)。最后兩個(gè)是由一個(gè)三角形拼成的平行四邊形。（因?yàn)檎n堂時(shí)間的關(guān)系，最后兩個(gè)由獨(dú)立三角形拼成的平行四邊形，本節(jié)課暫不處理，不要求人人都能填寫(xiě)出來(lái)。）

師：你是怎樣填寫(xiě)的？為什么三角形的高是5厘米，平行四邊形的高也是5厘米。平行四邊形的底是6厘米，三角形的底也是6厘米。（突出是兩個(gè)完全一樣的三角形拼成的平行四邊形。）

師：三角形的面積為什么是平行四邊形面積的一半呢？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，教師可以多追問(wèn)幾個(gè)同學(xué)，直到學(xué)生能順利答出：“兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，每個(gè)三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半”為止。

師：小組討論，比較三角形和平行四邊形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：三角形的底相當(dāng)于平行四邊形的底，三角形的高相當(dāng)于平行四邊形的高，三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

師：由此，我們可以怎樣計(jì)算三角形的面積呢？

生：三角形的面積=底×高÷2。

師：底乘高計(jì)算的是什么？為什么要÷2？（多問(wèn)幾個(gè)學(xué)生。）

生：“底×高”算的是兩個(gè)完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積，“÷2”是因?yàn)閮蓚€(gè)完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形，每個(gè)三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半，所以要÷2。（這里的推理要考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，教師可以通過(guò)設(shè)問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理。對(duì)于三角形的面積計(jì)算公式，教師一定要進(jìn)行反復(fù)追問(wèn)，使學(xué)生明確底×高求的是什么，為什么要÷2，這對(duì)學(xué)生理解和掌握三角形的面積計(jì)算方法很重要。）

師：計(jì)算三角形的面積只要知道什么條件即可？

學(xué)生空間觀念的形成正如范希爾夫婦所提出的，以描述為主。同時(shí)，也正向著理論的層面過(guò)渡。學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌虼_立圖形的性質(zhì)并使用這些性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，同時(shí)也可以初步利用演繹推理證明幾何關(guān)系。

通過(guò)仔細(xì)研究學(xué)生在計(jì)算三角形面積時(shí)忘記÷2的情況，為了避免此類(lèi)問(wèn)題的發(fā)生，筆者認(rèn)為要做到以下兩點(diǎn)：

第一，心中有圖。學(xué)生在看到題目時(shí)，腦海中就會(huì)浮現(xiàn)出三角形的形象。這正如武俠小說(shuō)里所說(shuō)的劍客的三個(gè)層次。第一層次：手中有劍，心中有劍；第二層次：手中無(wú)劍，心中有劍；第三層次：手中無(wú)劍，心中無(wú)劍。真正的高手正是能做到手中無(wú)圖，心中無(wú)圖。

第二，逆向練習(xí)，加深認(rèn)識(shí)。如“已知三角形的面積是20平方厘米，底是5厘米，高是多少厘米？”通過(guò)這種題目的練習(xí)，特別是學(xué)生在列出算式20×2÷5時(shí)，教師一定要反復(fù)追問(wèn)學(xué)生：“20×2求的是什么？為什么要先×2？”

五、變化形象萬(wàn)千，推演圖形計(jì)算的真知

我們?cè)诔鍪救切螘r(shí)，一般都是標(biāo)準(zhǔn)的銳角三角形。在練習(xí)中，多數(shù)出現(xiàn)的也是這類(lèi)看起來(lái)比較舒服的三角形。這樣長(zhǎng)時(shí)間的潛移默化，會(huì)讓學(xué)生形成三角形就是這樣的感性認(rèn)識(shí)，不利于學(xué)生對(duì)三角形計(jì)算方法的全面掌握。“題有千變，貴在有根”，這是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)先生在談起數(shù)學(xué)解題時(shí)對(duì)其學(xué)生說(shuō)過(guò)的一句名言。因此，教師在進(jìn)行三角形面積的計(jì)算時(shí)，就應(yīng)該以三角形的面積計(jì)算為根，推演出多種變式類(lèi)型，讓學(xué)生在復(fù)雜的選項(xiàng)中選出正確的解題方法[2]。

結(jié) 語(yǔ)

三角形的面積推導(dǎo)過(guò)程實(shí)際上是在學(xué)生進(jìn)行操作以后，根據(jù)自己得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察、比較、分析、推理的過(guò)程。其中，教師是參與者、引路人，千萬(wàn)不能成為知識(shí)的灌輸者。因此，教師應(yīng)積極設(shè)計(jì)教學(xué)情境，利用合理的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生逐步形成對(duì)知識(shí)的深刻認(rèn)識(shí)。