尋找本源 通法解題

周曉

【摘 要】針對高三復(fù)習(xí)課中的一道基本不等式問題，本文利用學(xué)生的一種錯(cuò)誤解法展開討論，通過對引例的層層變式，說明各種錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，探究出一種解決雙變量最值問題的一種通法。教師在解題教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目考查的本源，利用解決這類問題的通法解決問題。

【關(guān)鍵詞】通法；雙變量；消元法

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0072-02

高三的學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中會做大量的題，很多題目聽得懂，但是自己動手卻經(jīng)常會錯(cuò)，這是因?yàn)闆]有理解這道題目所要考察的數(shù)學(xué)本質(zhì)，因此，教師在教學(xué)過程不應(yīng)盲目給學(xué)生做大量的題，應(yīng)該在教學(xué)中采用變式法教會學(xué)生做一類題。以下是高三復(fù)習(xí)中的一道輻射功能很強(qiáng)的例題，其內(nèi)容是均值不等式極其應(yīng)用。

1 拋出問題，集思廣益

引例：已知且，求（1）的最小值；（2）的最小值。

學(xué)生1：（1）≥，

≥2，≥4當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。（2），≥4。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。

這種做法充分利用了均值不等式及其推論的結(jié)構(gòu)，課堂上學(xué)生解決該問題時(shí)很順利。但是筆者將這題進(jìn)行變式，解答情況出乎筆者意料。

變式一：已知。（1）求最小值，（2）求最小值。

學(xué)生2：跟引例類似解法≥，

≥8，≥64當(dāng)且僅當(dāng)即、時(shí)，取等號。但是該生在解答（2）時(shí)卻做不下去了。

≤……

學(xué)生3（錯(cuò)解）：由（1）知最小值為64，≥≥。

2 發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)改正

此題錯(cuò)誤原因?yàn)閷W(xué)生不知道兩次基本不等式等號成立條件不一樣。第一個(gè)是時(shí)取等號，第二個(gè)是時(shí)。個(gè)別學(xué)生雖然發(fā)現(xiàn)了這個(gè)“取等”問題，但是又不知道該如何正確解答。有的干脆放棄，只有極少數(shù)學(xué)生得出以下解法：學(xué)生4：兩邊同除以，

得，≥18。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號。

學(xué)生5：將變形得。于是+10≥，當(dāng)且僅當(dāng)即、時(shí)取等號。

3 再次變式，尋找通法

變式二：判斷和有無最值。

，換元，轉(zhuǎn)化為≥0，解得≥7或≤1。即≥49或≤1，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值49，但是還有一個(gè)最大值1，此時(shí)，有最大值1？最小值49？學(xué)生困惑了。問題出在哪里呢？顯然這種方法是有缺陷的。

第二問：的形式無法進(jìn)行下去。下面用因式分解的方法：，化簡為，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，看似沒問題，但這個(gè)基本不等式應(yīng)用的前提是，顯然不符合定義域要求。因此我們要回到這個(gè)問題的本源上去考慮，研究目標(biāo)：和的最值。由已知得。則，現(xiàn)在我們來研究和對應(yīng)的關(guān)于的函數(shù)的最值問題了，求解一個(gè)函數(shù)的最值的方法就多了，我們先來看下最常見也最保險(xiǎn)的導(dǎo)

數(shù)法。

令或

得=1，所以在區(qū)間和（1，+∞）上單調(diào)

遞增，在區(qū)間（8，1）上單調(diào)遞減。因此只有一個(gè)極小值，無最大值和最小值。令，

，得=2或=14都在定義域范圍內(nèi)，在區(qū)間（0，2）和（14，+∞），上單調(diào)遞增，在區(qū)間和（8，14）上單調(diào)遞減。因此的極大值為，的極小值為（14）=49，的值域?yàn)椋?，1]∪[49，+∞）。

4 使用通法，解決引例

變式一：已知（1）求最小值，（2）求最小值。

解：由，得，因此，（這點(diǎn)很重要），，

，解得，因此在區(qū)間（8，12）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（12，+∞）上單調(diào)遞增。因此有最小值。變式二由解得的范圍就是，之后的基本不等式≥就不能使用了。因此借助消元法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)最值問題是解決這類問題的最通用最保險(xiǎn)的方法。但是在一定條件下也可以用均值不等式。

由以上可以發(fā)現(xiàn)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決問題的一般方法，而不僅僅是一些技巧，一般方法是通途，技巧是輔助。找到解決問題的通法的有效途徑就是把握數(shù)學(xué)的學(xué)科思維特征，遵循數(shù)學(xué)的思維特征看待問題。如函數(shù)的思維特征就是分析一個(gè)變量的變化引起另一個(gè)變量如何變化，當(dāng)遇到兩個(gè)變量的時(shí)候就要轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量，代換、消元的時(shí)候要注意新元的范圍。再如解析幾何的思維特征就是用代數(shù)方法研究幾何問題，首先要在坐標(biāo)系內(nèi)把幾何圖形進(jìn)行代數(shù)表示，進(jìn)而用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，理成方程，通過研究方程得到幾何圖形的性質(zhì)。這些數(shù)學(xué)通法的扎實(shí)把握是落實(shí)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的有效途徑。在解決問題中重視通法，有利于強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。